Miguel Angel Marco Buzunariz
Encuentro RSME 2022
Una curva algebraica afÃn es un conjunto V(f):=\{(x,y)\in \mathbb{C}^2\mid f(x,y)=0\} con f\in\mathbb{C}[x,y].
Una curva algebraica proyectiva es un conjunto V(f):=\{[x:y:z]\in \mathbb{CP}^2\mid f(x,y,z)=0\} con f\in\mathbb{C}[x,y,z] homogéneo.
Motivación: comprender la topologÃa de las curvas algebraicas.
Considerar f(x,y)=x^2+y^2-1.
y = \pm \sqrt{1-x^2}
Considerar f(x,y)=x^2+y^2-1.
y = \pm \sqrt{1-x^2}
Una curva proyectiva lisa dada por un polinomio de grado d tiene la topologÃa de una superficie orientada de género \frac{(d-1)(d-2)}{2}.
La topologÃa de una curva proyectiva singular es el resultado de colapsar los ciclos evanescentes en una curva algebraica lisa.
Dos curvas C_i:=V(f_i) forman un par de Zariski aritmético fuerte si
Existen pares de Zariski aritméticos fuertes.
La topologÃa del par (\mathbb{CP}^2,C) no está determinada por la estructura algebraica.
La aplicación \pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\to \mathbb{B_d} recibe el nombre de monodromÃa de trenzas.
La aplicación \pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\to \mathbb{B_d} recibe el nombre de monodromÃa de trenzas.
La aplicación \pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\to \mathbb{B_d} recibe el nombre de monodromÃa de trenzas.
El grupo \pi_1(\mathbb{CP}^2\setminus C) es el cociente del grupo libre por la acción de la monodromÃa de trenzas
La topologÃa del par (\mathbb{CP}^2,C) está determinada por la monodromÃa de trenzas.
El Diagrama de Rudolph de una curva algebraica afÃn C es el conjunto
S:=\left\{x\in\mathbb{C} \mid \exists (x,y_1)\neq (x,y_2) \in C, Re(y_1)=Re(y_2) \right\}
Además, se decora indicando qué orden ocupan las partes reales iguales.
Algunas propiedades de S:
Localmente, se pueden dar uno de estos tres modelos (genéricamente):
Cuando un camino cruza transversalmente el diagrama de Rudolph, se produce un cruce en la trenza correspondiente:
El diagrama de Rudolph determina la monodromÃa de trenzas, y por lo tanto la topologÃa del par (\mathbb{C}^2,C).
Más aún: nos da una una forma explÃcita de construirlo, cortando a lo largo del diagrama y pegando según el modelo local.
(4x^3+12x+3-y^2)^2-8y-48x+52
Calculado numéricamente por Orevkov (con errores).
Enfoque basado en descomposición algebraica cilÃndrica:
Inviable para casos no triviales.
Atravesar cruces y tangencias con el camino corresponde a hacer movimientos elementales sobre la palabra de la trenza.
Y viceversa: una secuencia de movimientos en la palabra corresponde a un posible diagrama de Rudolph.
Se sabe que alrededor de cada punto del discriminante, tenemos una trenza positiva. Por lo tanto traducir la trenza cÃclica a una positiva nos da un posible diagrama de Rudolph en cada región.