Diagramas de Rudolph de curvas algebraicas

Miguel Angel Marco Buzunariz

Encuentro RSME 2022

Topología de curvas algebraicas

Curvas algebraicas

Definición

Una curva algebraica afín es un conjunto V(f):=\{(x,y)\in \mathbb{C}^2\mid f(x,y)=0\} con f\in\mathbb{C}[x,y].

Una curva algebraica proyectiva es un conjunto V(f):=\{[x:y:z]\in \mathbb{CP}^2\mid f(x,y,z)=0\} con f\in\mathbb{C}[x,y,z] homogéneo.

Motivación: comprender la topología de las curvas algebraicas.

Superficies de Riemann

Considerar f(x,y)=x^2+y^2-1.

y = \pm \sqrt{1-x^2}

Superficies de Riemann

Considerar f(x,y)=x^2+y^2-1.

y = \pm \sqrt{1-x^2}

Superficies de Riemann

Teorema

Una curva proyectiva lisa dada por un polinomio de grado d tiene la topología de una superficie orientada de género \frac{(d-1)(d-2)}{2}.

Teorema

La topología de una curva proyectiva singular es el resultado de colapsar los ciclos evanescentes en una curva algebraica lisa.

Topología del encaje

Definición

Dos curvas C_i:=V(f_i) forman un par de Zariski aritmético fuerte si

  • Los polinomios f_1,f_2 están definidos en un cuerpo de números F
  • Son conjugados por un automorfismo de Galois F\to F
  • Los grupos fundamentales \pi_1(\mathbb{CP}^2\setminus C_1), \pi_1(\mathbb{CP}^2\setminus C_2) son no isomorfos.

Teorema

Existen pares de Zariski aritméticos fuertes.

Corolario

La topología del par (\mathbb{CP}^2,C) no está determinada por la estructura algebraica.

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Grupo fundamental del complementario

Definición

La aplicación \pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\to \mathbb{B_d} recibe el nombre de monodromía de trenzas.

Grupo fundamental del complementario

Definición

La aplicación \pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\to \mathbb{B_d} recibe el nombre de monodromía de trenzas.

Grupo fundamental del complementario

Definición

La aplicación \pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\to \mathbb{B_d} recibe el nombre de monodromía de trenzas.

Topología del par

Teorema

El grupo \pi_1(\mathbb{CP}^2\setminus C) es el cociente del grupo libre por la acción de la monodromía de trenzas

Teorema

La topología del par (\mathbb{CP}^2,C) está determinada por la monodromía de trenzas.

Diagramas de Rudolph

Diagramas de Rudolph

Definición

El Diagrama de Rudolph de una curva algebraica afín C es el conjunto

S:=\left\{x\in\mathbb{C} \mid \exists (x,y_1)\neq (x,y_2) \in C, Re(y_1)=Re(y_2) \right\}

Diagramas de Rudolph

Además, se decora indicando qué orden ocupan las partes reales iguales.

Algunas propiedades de S:

  • S es un conjunto semialgebraico (visto en \mathbb{R}^2\simeq \mathbb{C})
  • S está formado por segmentos de curvas lisas (para proyecciones genéricas)
  • Los puntos de \Delta son los puntos límite de S

Propiedades del diagrama de Rudolph

Localmente, se pueden dar uno de estos tres modelos (genéricamente):

Propiedades del diagrama de Rudolph

Cuando un camino cruza transversalmente el diagrama de Rudolph, se produce un cruce en la trenza correspondiente:

El diagrama de Rudolph determina la monodromía de trenzas, y por lo tanto la topología del par (\mathbb{C}^2,C).

Más aún: nos da una una forma explícita de construirlo, cortando a lo largo del diagrama y pegando según el modelo local.

Ejemplo

(4x^3+12x+3-y^2)^2-8y-48x+52

Calculado numéricamente por Orevkov (con errores).

Cálculo del diagrama de Rudolph.

Enfoque basado en descomposición algebraica cilíndrica:

  • Tomar f(x,y).
  • Expandir como f_r(x_r,x_i,y_r,y_i)+i\cdot f_i(x_r,x_i,y_r,y_i) con x=x_r+i\cdot x_i, y=y_r+i\cdot y_i.
  • Tomar g_0:=Res_{y_i}(f_r,f_i)\in \mathbb{R}[x_r,x_i,y_r]
  • Tomar g_1:=Disc_{y_r}(g_0)\in \mathbb{R}[x_r,x_i]
  • S está contenido en el lugar de ceros reales de g_1.
    • Calcular los puntos singulares, descomponer en segmentos, tomar un punto de cada segmento y comprobar si efectivamente está en S.

Inviable para casos no triviales.

Cálculo de un diagrama de Rudolph compatible.

  • Podemos calcular la trenza asociada a un camino rectilíneo.
  • Tomando un diagrama de Voronoi del discriminante, tenemos suficiente para calcular la monodromía de trenzas:

  • Cualquier diagrama de Rudolph compatible con esas trenzas permite construir un modelo para el par.
  • El problema se traduce a encontrar posibles diagramas de Rudolph dentro de cada región.

Movimientos cruzando elementos del diagrama

Movimientos cruzando elementos del diagrama

Movimientos cruzando elementos del diagrama

Movimientos cruzando elementos del diagrama

Movimientos cruzando elementos del diagrama

Atravesar cruces y tangencias con el camino corresponde a hacer movimientos elementales sobre la palabra de la trenza.

Y viceversa: una secuencia de movimientos en la palabra corresponde a un posible diagrama de Rudolph.

Se sabe que alrededor de cada punto del discriminante, tenemos una trenza positiva. Por lo tanto traducir la trenza cíclica a una positiva nos da un posible diagrama de Rudolph en cada región.

Ejemplo

Ejemplo

Preguntas

  • Dadas las tenzas lineales, ¿Cómo se puede encontrar el diagrama más simple?
    • Equivalentemente: ¿Cual la secuencia más corta de movimientos que transforma la palabra de una trenza en una positiva?
  • ¿Puede ser útil en otro ámbito?
    • Interpretar las trenzas como una categoría de cobordismos:
      • Los objetos son las palabras
      • Los morfismos son los diagramas de Rudolph

GRACIAS