Mirando a través del espejo imaginario
Miguel Marco
Zaragoza, 21 de Mayo de 2019
Antes de empezar
- Muchas gracias por la invitación
¿Por qué?
- Pregunta recurrente
- Transmitir una idea general
- Aunque no sea del todo clara
- Convenceros de que puede ser interesante
- Así que relajaos y disfrutad
Mi investigación
- Topología de baja dimensión
- Álgebra computacional
- Geometría algebraica proyectiva compleja
- Geometría
- algebraica
- proyectiva
- compleja
Geometría
Los elementos de Euclides
- Escrito en Alejandría aprox. 300 a.C.
- Tratado compuesto de 13 libros
- Recoje el saber matemático de su tiempo
- Primer paradigma del método axiomático
- Segundo libro más editado de la historia
Geometría euclídea:
- Por un punto pasan infinitas rectas
- Una recta contiene infinitos puntos
- Por dos puntos distintos pasa siempre una única recta.
- Dos rectas distintas se cortan en un único punto (salvo que sean paralelas)
Geometría proyectiva
Geometría proyectiva
La recta proyectiva
La recta proyectiva es la recta afín completada con un punto del infinito
La recta proyectiva
La recta proyectiva es la recta afín completada con un punto del infinito
El plano proyectivo
- Es el plano afín completado con una recta del infinito
- La recta del infinito contiene los puntos del infinito de todas las rectas afines.
- Hay un punto del infinito por cada dirección
El plano proyectivo
Si añadimos la recta de los puntos “del infinito”
- Por un punto pasan infinitas rectas
- Una recta contiene infinitos puntos
- Por dos puntos distintos pasa siempre una única recta.
- Dos rectas distintas se cortan en un único punto.
Es decir: tenemos una dualidad entre puntos y rectas.
Geometría algebraica
Geometría algebraica
Geometría algebraica
Puntos \(\longleftrightarrow\) pares de números
Figuras \(\longleftrightarrow\) conjuntos de puntos \(\longleftrightarrow\) conjuntos de pares de números
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
- Eje de las x : \(y=0\)
- Eje de las y : \(x=0\)
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
- Eje de las x : \(y=0\)
- Eje de las y : \(x=0\)
- Rectas cualesquiera : \(5x+2y=1\)
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
- Circunferencias
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
- Circunferencias
- Otras curvas
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
- Circunferencias
- Otras curvas
- Hipérbola : \(x^2-y^2=1\)
Conjuntos algebraicos
- Definidos por una ecuación
- Rectas
- Circunferencias
- Otras curvas
¿Por qué compleja?
Una recta corta una circunferencia en dos puntos:
¿Por qué compleja?
Una recta corta una circunferencia en dos puntos:
¿Por qué compleja?
¿Una recta corta una circunferencia en dos puntos?
Algebraicamente:
\[(x-2)^2+y^2-2 = 0\]
\[y=\lambda\cdot x\]
\[(x-2)^2 + (\lambda \cdot x)^2 -2 = 0\]
\[(\lambda^2+1)x^2 - 4x + 2 = 0\]
Algebraicamente
\[x = \frac{2\pm\sqrt{2-2\lambda^2}}{\lambda^2+1}\]
- \(\lambda \leq 1\): soluciones reales
- \(\lambda > 1\): soluciones complejas
Números complejos
- Soluciones de ecuaciones algebraicas
- \(i = \sqrt{-1}\)
- Todos son de la forma \(a+bi\)
- \(a\) es la parte real
- \(b\) es la parte imaginaria
- Se pueden representar en un plano
- Las dimensiones se doblan con respecto a los reales
Algebraicamente:
A través del espejo imaginario… a otras dimensiones
¿Qué aspecto tienen los objetos en estas nuevas dimensiones?
Rectas
\(y = \lambda x\)
Rectas
\(y = \lambda x\)
Se puede proyectar al eje \(x\): el plano complejo
Rectas
Cónicas
Cónicas
Cónicas
Cónicas
Cónicas proyectivas
Grados mayores: curvas elípticas
\(y^2 = x^3-x\)
Grados mayores: curvas elípticas
\(y^2 = x^3-x\)
Grados mayores: curvas elípticas
\(y^2 = x^3-x\)
Grados mayores: curvas elípticas
\(y^2 = x^3-x\)
Grados mayores: curvas elípticas
\(y^2 = x^3-x\)
Conclusiones
- Estudio:
- Objetos geométricos
- Definidos por ecuaciones
- Con coordenadas complejas
- Considerando los puntos del infinito
- Y aparecen figuras interesantes
- Espero que os haya gustado
- ¿Lo suficiente para un bis?
Bonus track
Hasta ahora hemos visto casos lisos.
Pero también puede haber puntos singulares
Nudos y enlaces asociados a singularidades
Nudos y enlaces asociados a singularidades
