Aclaración de la noción de divisibilidad entre monomios de un módulo: ahora, la definición de divisibilidad se da en general para módulos y, en base a esta, se explica para el caso de los monomios.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -247,6 +247,9 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			\end{equation*}
 			En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$.
 		\end{definicion}
+		\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
+			Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ divide a $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
+		\end{definicion}
 		\begin{definicion}
 			Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
 		\end{definicion}
@@ -290,7 +293,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$.
 		\end{definicion}
 		\begin{lema}
-			Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano.\todo[inline]{¿A partir de qué momento se pueden suprimir las premisas genéricas?} Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.	
+			Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano. Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.	
 		\end{lema}
 		\begin{proof}
 			[\textsc{Demostración}]
@@ -302,19 +305,19 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			[\textsc{Demostración}]
 		\end{proof}
 		
-		\begin{definicion}
+		\begin{definicion} 
 			Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por
 			\begin{equation*}
 				\Hom{A}{M}{N} := \definicionconjunto{\phi : M \longrightarrow N}{\text{$\phi$ es un homomorfismo de \modulo{A}s}}.
 			\end{equation*}
 		\end{definicion}
-		\begin{definicion}
+		\begin{definicion} 
 			Se define el módulo dual \dual{M} como el conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ en $A$:
 			\begin{equation*}
 				\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
 			\end{equation*}
 		\end{definicion}
-		\begin{definicion}
+		\begin{definicion} \label{Definición Módulo Reflexivo}
 			Sea $\psi : M \rightarrow \dualdual{M}$ el homomorfismo de \modulo{A}s que envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$:
 			\begin{align*}
 				\psi : M &\longrightarrow \Hom{A}{\Hom{A}{M}{A}}{A} \\
@@ -451,11 +454,8 @@ urlcolor=black]{hyperref}
  			\end{itemize}
  		\end{definicion}
  		
- 		Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Por lo tanto, damos ya nuestro algoritmo de la división.
+ 		Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Lo primero es entender cuándo pueden dividirse dos monomios de $\Kx^r$. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$. Ahora sí, podemos dar un algoritmo de la división.
  		
- 		\begin{definicion}
- 			Sean $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx. Diremos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ y lo notaremos por $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} \vert x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$.
- 		\end{definicion}
  		\begin{definicion}[algoritmo de la división]
  			Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en \Kx. Para dividir $f$ entre $g$ aplicaremos un algoritmo que consiste en replicar el algoritmo que ya conocemos para los polinomios en una variable. Sin embargo, ahora los términos que guían los coeficientes que vamos poniendo son $\LT{f}$ y $\LT{g}$: