diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf index dbb95ee..4d4b9f4 100644 Binary files a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf and b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf differ diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex index 67f3f70..7e04dec 100644 --- a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex +++ b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex @@ -49,8 +49,8 @@ \usepackage{stix} % Bibliografía. -%\usepackage[backend=biber]{biblatex} -%\addbibresource{bibliografia.bib} +\usepackage[backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{bibliografia.bib} \usepackage{algpseudocodex} \algrenewcommand\algorithmicwhile{\textbf{mientras}} @@ -268,8 +268,8 @@ urlcolor=black]{hyperref} \chapter{Módulos} \section{Conceptos básicos} - Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. - \todo{Añadir referencia para todo el capítulo de módulos, etc.} + Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. En este capítulo veremos solo algunas de las propiedades y definiciones necesarias para nuestros propósitos. Sin embargo, la teoría de módulos se extiende mucho más allá de esta exigua presentación, por lo que recomendamos que se consulte un texto introductorio como \cite{SINGULARLIBRO} o \cite{COCOA}. + \begin{definicion} Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si \begin{itemize} @@ -351,18 +351,26 @@ urlcolor=black]{hyperref} \partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\ p &\mapsto \diffp{p}{x_i}. \end{align*} - Observamos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales: \begin{equation*} \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}. \end{equation*} - Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar de $f$ forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$: + Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Y para cada $\delta \in \derivaciones{\Kx}$ definimos $\delta \cdot p := \delta\!\left( p \right)$. Observemos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\Kx}s debido al comportamiento con el producto de la derivada. De hecho, los elementos $\delta \in \Kx$ se comportan como sigue: + \begin{equation*} + \begin{cases} + \delta\!\left( f_1 + f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right) + \delta\!\left( f_2 \right), \\ + \delta\!\left( f_1 f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right)f_2 + f_1\delta\!\left( f_2 \right)\quad \text{y} \\ + \delta\!\left( af_1 \right) = a\delta\!\left( f_1 \right) + \end{cases} + \end{equation*} + para $f_1$ y $f_2$ polinomios de \Kx{} y $a$ una constante de $K$. + + Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar de $f$ forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$: \begin{equation} \label{Definicion Modulo Derivaciones de f} \derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}. \end{equation} Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{\Kx} es isomorfo a $\Kx^n$ y, por esta misma razón, \derivaciones{f} puede verse como un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$. - \todo{Caracterizar las derivaciones con la regla de Leibniz} \begin{definicion} Diremos que un anillo $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados. Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}$. @@ -378,11 +386,10 @@ urlcolor=black]{hyperref} Sea $M$ un \modulo{A}. Diremos que $M$ es libre de torsión si el único $m \in M$ tal que $am = 0$ para todo $a \in A$ es $0$. \end{definicion} \begin{definicion} - Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por + Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ es también un \modulo{A} y se denota por \begin{equation*} \Hom{A}{M}{N} := \definicionconjunto{\phi : M \longrightarrow N}{\text{$\phi$ es un homomorfismo de \modulo{A}s}}. \end{equation*} - \todo{Decir que es un $A$-módulo} \end{definicion} \begin{definicion} Se define el módulo dual \dual{M} como el conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ en $A$: @@ -477,7 +484,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} \end{definicion} - Con las secuencias exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f} \subseteq \Kx$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}. Esto último es equivalente a decir que nos interesan aquellos elementos que son $0$ cuando hacemos el cociente de $J$ por \engendrado{f}. Todo esto lo podemos expresar como una secuencia exacta: + Con las secuencias exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f} \subseteq \Kx$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}. Esto último es equivalente a decir que nos interesan aquellos elementos que son $0$ cuando hacemos el cociente de $J$ por \engendrado{f}. Este cociente se puede hacer de dos formas que son isomorfas: $\cociente{J + \engendrado{f}}{\engendrado{f}}$ o $\cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}$. Todo esto lo podemos expresar como una secuencia exacta: \begin{equation} \label{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones} \begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & \derivaciones{f} \arrow[r, "\Phi"] & \derivaciones{\Kx} \arrow[r, "\pi \circ \xi"] \arrow[d, leftrightarrow] & \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \arrow[r] & 0 & \\ @@ -486,8 +493,6 @@ urlcolor=black]{hyperref} \end{equation} La función $\Phi$ es una inclusión, $\xi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica de $J$ a \cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}. - \todo{Decir que es isomorfo a $J+(f)/(f)$} - \begin{wrapfigure}[3]{r}{0.3\textwidth} \vspace{-1.3cm} \begin{equation*} @@ -562,7 +567,15 @@ urlcolor=black]{hyperref} x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta} \end{equation*} para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$. - \todo{Decir que el orden es bueno o hablar de órdenes locales y globales y mixtos.} + \end{definicion} + Sin embargo esta propiedad deja en el aire el papel del $1$. ¿Cómo debemos ordenarlo? + \begin{definicion} + Sea $>$ un orden monomial. Si para todo $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$ + \begin{itemize} + \item $x^{\mathbf{\alpha}} > 1$, diremos que el orden es global; + \item $x^{\mathbf{\alpha}} < 1$, diremos que el orden es local; + \item si no son ninguna de las dos anteriores, diremos que el orden es mixto. + \end{itemize} \end{definicion} \begin{ejemplo}[Orden lexicográfico] Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal, @@ -623,17 +636,16 @@ urlcolor=black]{hyperref} Con todo esto, ya podemos definir un algoritmo de la división de un elemento por otro en $\Kx^r$. En esencia, imitaremos al algoritmo tradicional solo que, en este caso, nos guiaremos por los monomios líderes y no por el grado. \begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Simple} - \todo{diferenciar vectores y polinomios. Por ejemplo $f$ es un vector pero cociente $c$ es un polinomio.} - Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este. + Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en $\Kx^r$ junto con un orden monomial sobre este. \begin{algorithmic}[1] - \State Definimos $D \gets f$, $d \gets g$, $c \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente. + \State Definimos $D \gets f$, $d \gets g$, $c \gets 0$ y $r \gets \mathbf{0}$ como las variables que representan el dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente. Nótese que $D$, $d$ y $r$ son vectores de $\Kx^r$ mientras que $c$ es un polinomio de \Kx. \Repeat \While{$\LM{d} \vert \LM{D}$} \State Sea $m \in \Kx$ de forma que $\LM{D} = m\LM{d}$. \State $D \gets D - m d$, $c \gets c + m$ \EndWhile \State $D \gets D - \LM{D}$, $r \gets r + \LM{D}$ - \Until{$D = 0$} + \Until{$D = \mathbf{0}$} \end{algorithmic} Al finalizar este algoritmo, tendremos que $f = c g + r$ donde ninguno de los términos de $r$ es divisible por \LM{g}. \end{definicion} @@ -958,8 +970,6 @@ urlcolor=black]{hyperref} \end{ejemplo} Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$. - \todo{Añadir la relación con el determinante y decir que si $n$ es mayor que el número de generadores del módulo entonces el producto exterior es cero} - Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <>, esto no tiene por qué ser así. \begin{ejemplo} @@ -974,7 +984,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} \end{ejemplo} Lo que ocurre en estos casos es que los distintos órdenes en los que pongamos los elementos de un producto exterior $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_k$ solo lo cambian en signo. Podemos resumir lo que ocurre en el siguiente lema. \begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior} - Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. + Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. En particular, nótese que si $k > n$, entonces $\bigwedge^k V = \conjunto{0}$. \end{lema} Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural. @@ -984,10 +994,19 @@ urlcolor=black]{hyperref} m_1\wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_k \longmapsto \phi\!\left( m_1 \right)\wedge \phi\!\left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \phi\!\left( m_k \right). \end{equation*} \end{definicion} - Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\bigwedge^n V$ y $\bigwedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Evaluémosla en $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ para ver exactamente cuál es. Pero antes, démonos cuenta de que en \eqref{Producto Exterior Como Determinante} la forma de simplificar construía el determinate, lo cual es cierto en general: - \begin{equation} \label{Aparición Determinante Función Exterior} - \funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n. - \end{equation} + Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\bigwedge^n V$ y $\bigwedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Qué escalar es este nos lo dice el siguiente lema. + \begin{proposicion} \label{Aparición Determinante Función Exterior} + Sea $\phi : V \rightarrow W$ como en el párrafo anterior. Entonces, la aplicación lineal $\bigwedge^n \phi : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ envía + \begin{equation*} + v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n \mapsto \det\Phi w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n. + \end{equation*} + \end{proposicion} + \begin{proof} + Es suficiente con el razonamiento del párrafo anterior y un desarrollo similar al de \eqref{Producto Exterior Como Determinante}, que como puede verse, es el determinante de una matriz $3\times 3$: + \begin{equation} + \funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n. + \end{equation} + \end{proof} \section{Demostración del Criterio de Saito} @@ -1011,9 +1030,29 @@ urlcolor=black]{hyperref} \end{equation*} forma un cuerpo al cual llamaremos cuerpo de fracciones de $A$. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo. \end{definicion} - \todo{Definir la extensión de escalares como $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ y decir cuándo es inyectiva.} + + El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. \begin{definicion} - Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene rango $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} libre de rango $r$. + Llamaremos extensión de escalares del \modulo{A} $M$ al conjunto $M \otimes \cuerpofracciones{A}$. + \end{definicion} + \begin{lema} + La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M \otimes \cuerpofracciones{A}$ dada por $m \mapsto m \otimes 1$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión. + \end{lema} + \begin{proof} + Para la primera afirmación, vemos que $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial. + + Para la segunda, véase que + \begin{equation*} + \begin{array}{rcll} + \ker\varphi = 0 &\iff& m \otimes 1 \neq 0 &\forall m \in M\setminus\conjunto{0} \\ + &\iff & am \otimes \displaystyle\frac{1}{a} \neq 0 &\forall a \in A \setminus \conjunto{0} \\ + &\implies& am \neq 0 & + \end{array} + \end{equation*} + \todo{La otra implicación.} + \end{proof} + \begin{definicion} + Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene rango $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$. \end{definicion} Recordemos que ya en \ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos. @@ -1021,7 +1060,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$. \end{lema} \begin{proof} - Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\bigwedge^s \otimes \cuerpofracciones{A}$ y $\bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$: + Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\bigwedge^s M \otimes \cuerpofracciones{A}$ y $\bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$: \begin{align*} \bigwedge^sM \otimes \cuerpofracciones{A} &\longleftrightarrow \bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right) \\ \left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s \right) \otimes \frac{a}{b} &\longrightarrow \left( m_1 \otimes \frac{a}{b} \right) \wedge \left( m_2 \otimes 1 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes 1 \right) \\ @@ -1348,7 +1387,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} \end{equation*} \section{Con ordenador} - Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULAR} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta. + Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULARPROGRAMA} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta. Lo primero de todo es definir el anillo sobre el que estamos trabajando: \begin{lstlisting} @@ -1406,11 +1445,37 @@ x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0, \chapter{Demostración del Criterio de Buchberger} \label{Apéndice Demostración del Criterio de Buchberger} Si $G$ es una base de \Groebner, entonces, como $\spoly{f}{g} \in \engendrado{G}$, por el teorema \ref{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner} tenemos que el resto de su división entre los elementos de $G$ será $0$. - Como $\Kx^n$ es noetheriano, podemos asumir desde el principio que $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_k}$ - \todo[inline]{Terminar} + La implicación contraria es la que conlleva más trabajo. Lo primero que debemos hacer es introducir un orden monomial nuevo en función del conjunto generador. Como $\Kx^r$ es noetheriano, podemos asumir desde el principio que $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_k}$. Definimos, por tanto, el siguiente orden monomial de módulos en $\Kx^k$: + \begin{equation*} + x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} >_\mathrm{Schreyer} x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \iff \begin{cases} + \LM{x^\mathbf{\alpha}g_i} > \LM{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ + \LM{x^\mathbf{\alpha}g_i} = \LM{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{e} \quad $i < j$. + \end{cases} + \end{equation*} + Ahora, para dos generadores $g_i$ y $g_j$ de forma que $\LM{g_i}$ y $\LM{g_j}$ estén en la misma componente, tomamos $c_jm_{ji}$ y $c_im_{ij}$ elementos de \Kx{} de forma que $c_i, c_j \in K$ y $m_{ji}, m_{ij}$ son monomios de \Kx y cumplen + \begin{equation*} + \spoly{g_i}{g_j} = c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j. + \end{equation*} + Esto último lo podemos expresar en términos de los elementos de $G$ como + \begin{equation*} + c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j = \sum_{\nu = 1}^{k} a_{\nu}^{(ij)} g_{\nu}. + \end{equation*} + Con todo esto, definimos la expresión + \begin{equation*} + s_{ij} := c_jm_{ji}\vectorbasecanonica{i} - c_im_{ij}\vectorbasecanonica{j} - \sum_{\nu = 1}^{k} a_{\nu}^{(ij)} \vectorbasecanonica{\nu} \in \Kx^k. + \end{equation*} + Que puede entenderse como un vector que registra una combinación lineal que anula los generadores, es decir, $s_{ij} \in \syz{g_1, g_2, \dots, g_k}$. Además, con respecto al orden de Schreyer, $\LM{s_{ij}} = m_{ji}\vectorbasecanonica{i}$. Esto se debe por un lado a que $\LM{m_{ij}g_j} = \LM{m_{ji}g_i}$ pero $i < j$; y por otro a que + \begin{equation*} + \LM{a_{\nu}^{(ij)} g_{\nu}} \leq \LM{c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j} < \LM{m_{ji}g_i}. + \end{equation*} - \bibliography{bibliografia} - \bibliographystyle{plain} + Con los preliminares terminados, pasamos a demostrar que si el resto de \spoly{g_i}{g_j} entre $G$ es $0$ para todo $i$ y $j$, entonces tenemos una base de \Groebner. Lo primero es tomar un $f \in \engendrado{G}$ y un $a = \left( a_1, a_2, \dots, a_k \right) \in \Kx^k$ de forma que $f = \sum_{i = 1}^{k} a_i g_i$. Ahora consideremos la expresión + \begin{equation*} + a = h + \sum + \end{equation*} + \todo{Completar la demostración.} + %\bibliography{bibliografia} + %\bibliographystyle{plain} \nocite{*} - %\printbibliography + \printbibliography \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/bibliografia.bib b/bibliografia.bib index e72e0e1..17b0b70 100644 --- a/bibliografia.bib +++ b/bibliografia.bib @@ -1,5 +1,5 @@ -@Book{SINGULAR, - shorthand = "Singular", +@Book{SINGULARLIBRO, + shorthand = "Greuel", author="Gert-Martin Greuel and Gerhard Pfister", title="A Singular Introduction to Commutative Algebra", publisher = "Springer", @@ -83,7 +83,7 @@ urldate = {2025-05-28}, year = {2025} } -@misc {DGPS, +@misc {SINGULARPROGRAMA, shorthand = {Singular}, title = {{\sc Singular} {4-4-0} --- {A} computer algebra system for polynomial computations}, author = {Decker, Wolfram and Greuel, Gert-Martin and Pfister, Gerhard and Sch\"onemann, Hans},