Cambio de la definición de aplicación bilineal y reflexividad.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -456,27 +456,26 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
 				\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
 			\end{equation*}
 		\end{definicion}
-
-{\color{red} Hago una propuesta alternativa que creo que simplifica y aclara.
 		\begin{definicion}
-			Dados dos $A$-módulos $M,N$, una forma \emph{bilineal} $\Phi:M\times N\to A$ es una aplicación tal que
-			\begin{itemize}
-				\item $\Phi\!\left( a m + a'm', n \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m', n \right)$ y
-				\item $\Phi\!\left( m, a n + a'n' \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m, n' \right)$
-			\end{itemize}
-$\forall a,a'\in A$, $\forall m, m'\in M$, $\forall n, n'\in N$. Una forma bilineal induce homomorfismos $\Phi_1:M\to\dual{N}$, $\Phi_2:N\to\dual{M}$, dados por
-$\Phi_1(m)(n):=\Phi(m, n)=:\Phi_2(n)(m)$.
+			Dados dos \modulo{A}s $M$ y $N$, una forma \emph{bilineal} $\Phi:M\times N\to A$ es una aplicación tal que
+			\begin{equation*}
+				\begin{cases}
+					\Phi\!\left( a m + a'm', n \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m', n \right) \ \ \text{y} \\
+					\Phi\!\left( m, a n + a'n' \right)\; = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m, n' \right)
+				\end{cases} \quad \forall a,a'\in A, \ \forall m, m'\in M, \ \forall n, n'\in N.
+			\end{equation*}
+			Una forma bilineal induce homomorfismos $\Phi_1:M\to\dual{N}$, $\Phi_2:N\to\dual{M}$, dados por
+			\begin{equation*}
+				\Phi_1(m)(n):=\Phi(m, n)=:\Phi_2(n)(m).
+			\end{equation*}
 		\end{definicion}
-Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\dual{M}\to A$, definida mediante evaluación, que induce un homomorfismo natural $\Psi:=\Phi^M_1:M\to\dualdual{M}$.}
-		\begin{definicion} \label{Definición Módulo Reflexivo}
-			Sea $\psi : M \rightarrow \dualdual{M}$ el homomorfismo de \modulo{A}s que envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$:
+Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\dual{M}\to A$, definida mediante evaluación, que induce un homomorfismo natural $\Psi:=\Phi^M_1:M\to\dualdual{M}$. Esta aplicación envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\Psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$:
 			\begin{align*}
-				\psi : M &\longrightarrow \Hom{A}{\Hom{A}{M}{A}}{A} \\
-					   m &\longmapsto \psi\!\left( m \right) : \Hom{A}{M}{A} \longrightarrow A \\
-					   	 &\hspace{3.7cm} \phi \longmapsto \phi\!\left( m \right)
+				\Psi : M &\longrightarrow \dualdual{M} \\
+					   m &\longmapsto \Psi\!\left( m \right) : \dual{M} \longrightarrow A \\
+					   	 &\hspace{2.1cm} \phi \hspace{0.2cm} \longmapsto \phi\!\left( m \right)
 			\end{align*}
-			Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $M$ es isomorfo a \dualdual{M} por medio de esta aplicación $\psi$.
-		\end{definicion}
+			Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $\Psi$ es un isomorfismo.
 		\begin{ejemplo}
 \todo{Cambiaría la estructura de este ejemplo usando bases duales y lo simplificaría.}
 			Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \Hom{K}{V}{K} se compone de las aplicaciones lineales de $V$ en $K$. Cada elemento $\phi$ de \Hom{K}{V}{K} puede representarse como la multiplicación por una matriz, puesto que