diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf index 5e5de2e..822e163 100644 Binary files a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf and b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf differ diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex index a20e326..f79a928 100644 --- a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex +++ b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex @@ -894,7 +894,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación: \begin{gather*} \text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\ - \text{$M$ módulo libre} \xLeftarrow[\text{Teorema de Quillen-Suslin}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\ + \text{$M$ módulo libre} \xLeftarrow[\substack{\text{Teorema de Quillen-Suslin} \\ \text{\cite{ALGEBRA} }}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\ \end{gather*} \todo[inline]{¿Lo de que reflexivo implica proyectivo es si es un módulo de con como mucho dos variables o que es de rango 2? ¿Y la referencia dónde está?} Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. diff --git a/bibliografia.bib b/bibliografia.bib index 6400d2f..e72e0e1 100644 --- a/bibliografia.bib +++ b/bibliografia.bib @@ -40,7 +40,7 @@ doi = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}, series = {Graduate Texts in Mathematics}} @Book{LIBROPROYECTIVOS, - shorthand = {Lectures}, + shorthand = {LectMoRi}, author = {T. Y. Lam}, title = {Lectures on Modules and Rings}, edition = {1}, @@ -83,3 +83,10 @@ urldate = {2025-05-28}, year = {2025} } +@misc {DGPS, + shorthand = {Singular}, + title = {{\sc Singular} {4-4-0} --- {A} computer algebra system for polynomial computations}, + author = {Decker, Wolfram and Greuel, Gert-Martin and Pfister, Gerhard and Sch\"onemann, Hans}, + year = {2024}, + howpublished = {\url{http://www.singular.uni-kl.de}}, +} \ No newline at end of file