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Sixto 2025-05-06 13:15:59 +02:00
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284
TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex Normal file
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%&pdflatex
%!TEX TS-program = pdflatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
%
% PLANTILLA PARA UN TRABAJO DE FIN DE GRADO
% EN EL GRADO DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
%
% Mario Pérez Riera
% Área de Análisis Matemático, Universidad de Zaragoza
%
% Última modificación: 1 de agosto de 2021
%
% Escrito para pdfLaTeX
%
%
\documentclass[11pt]{book}
% Paquetes y fuentes
%---------------------------------------------------------------------------
\usepackage{geometry} % define las dimensiones de la página
\geometry{
a4paper, % Tamaño del papel
centering, % Zona útil centrada
margin = 25mm, % Márgenes en blanco: 25mm
% includehead, % Incluir la cabecera en el área del texto
% includefoot, % Incluir el pie en el área del texto
}
\usepackage[utf8]{inputenc} % para usar el teclado normalmente
\usepackage[spanish]{babel} % selecciona idioma
\usepackage[T1]{fontenc} % gestión de fuentes con acentos
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG/Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza}}
% Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas:
\usepackage{amssymb} % para cargar las fuentes de la A.M.S.
\usepackage{amsmath} % para usar letras griegas en negrita
\usepackage{amsthm} % mejora los entornos tipo-teorema y proof
\usepackage{mathptmx} % fuente Times
\usepackage{diffcoeff}
\usepackage{nolbreaks}
\usepackage{nicefrac}
%\usepackage{lmodern} % fuente Times
\usepackage{tikz} % para los dibujos
\usetikzlibrary{babel} % para evitar conflictos entre TikZ y babel
%\usepackage{longtable} % permite saltos de páginas en tablas largas
%------ Enlaces en el pdf
\usepackage{url}
\usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black,
urlcolor=black]{hyperref}
%------ Cabeceras y pies de página
\usepackage{titleps}
\newpagestyle{miestilo}{
%-- Cabecera par y cabecera impar
\sethead[\thepage][][\textsl{\chaptername\ \thechapter. \chaptertitle}]
{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage}
%-- Pie de página par y pie de página impar
%\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][]
%{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{}
}
\newpagestyle{primeraparte}{
%-- Cabecera par y cabecera impar
\sethead[\thepage][][\textsl{\chaptertitle}]
{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage}
%-- Pie de página par y pie de página impar
%\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][]
%{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{}
}
%------ \S 4.3, p. 93, de The LaTeX Companion 1a ed. (Figura 4.2) (Juan Luis)
\newcommand{\clearemptydoublepage}{\newpage{\pagestyle{empty}\cleardoublepage}}
\newcommand{\sectionmarkwithoutsections}[1]{\markright{#1}}
\makeindex
\theoremstyle{plain} % Entornos tipo teorema
\newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter]
\newtheorem{proposicion}[teorema]{Proposición}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema} % La misma numeración que 'teorema'
\newtheorem{definicion}[teorema]{Definición}
\theoremstyle{definition} % Entornos tipo definición
\newtheorem*{defin}{Definición} % El asterisco hace que no se numere
%\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo}
\newtheorem{ejemplo}[teorema]{Ejemplo}
% Conjuntos
\usepackage[pizarra, barra]{conjuntos_TFG}
% Vectores
\usepackage[negrita, parentesis, vertical]{vectores_TFG}
% Cosas propias
\newcommand{\modulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-módulo}}
\newcommand{\submodulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-submódulo}}
\DeclareMathOperator{\imagen}{im}
\usepackage[loadshadowlibrary, shadow, textwidth=20mm, textsize=tiny]{todonotes}
\newcommand{\engendrado}[1]{\ensuremath{\left\langle #1 \right\rangle}}
\newcommand{\anillodepolinomios}[2]{\ensuremath{#1\!\left[#2\right]}}
\newcommand{\LT}[1]{\ensuremath{\text{LT}\left(#1\right)}}
\newcommand{\LM}[1]{\ensuremath{\text{LM}\left(#1\right)}}
\newcommand{\syz}[1]{\ensuremath{\text{syz}\left(#1\right)}}
\DeclareMathOperator{\grado}{grado}
\newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}}
\begin{document}
\frontmatter % Parte primera del texto
\pagestyle{primeraparte} % Estilo de cabeceras para la parte primera del texto
%\pagenumbering{roman} % Incluido en \frontmatter
%--- PORTADA DEL TFG
\begin{titlepage}
\begin{center}
\null
\vfill
\Huge{\bfseries Una plantilla en {\LaTeX}}\\%
\Huge{\bfseries para el trabajo de fin de grado}
\vfill
\noindent
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{ciencias.png}\\%
\includegraphics[width=100mm]{logoUZ.png}
\end{figure}
\vfill
\Huge{\bfseries Sixto José Martínez Gan}\\%
\Huge{Trabajo de fin de grado de Matemáticas}\\%
\Huge{Universidad de Zaragoza}\\%
\vfill
\huge{Junio de 2025}
\end{center}
\end{titlepage}
%--- FIN DE LA PORTADA
\clearemptydoublepage
%\setcounter{page}{7} % Por si queremos imponer un número de página
%--- RESUMEN
\chapter{Resumen}
%--- FIN DEL RESUMEN
\clearemptydoublepage
\tableofcontents
\clearemptydoublepage
%-------------
\mainmatter % Parte principal del texto
\pagestyle{miestilo} % Estilo de cabeceras para la parte principal del texto
%--- CAPÍTULO 1 DEL TFG
\chapter{Introducción}
Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables, por ejemplo \nolbreaks{$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + xz$}, y estamos trabajando intensivamente con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones como
\begin{equation*}
y^2\diffp{f}{x} + xy\diffp{f}{y} - x^3\diffp{f}{z}, \quad \diffp{f}{x} - \diffp{f}{z}, \quad \text{o} \quad \left(x^2 - y^2\right)\diffp{f}{x} + \left( xy - yz \right)\diffp{f}{y}.
\end{equation*}
Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor es un múltiplo escalar de la propia $f$. Por ejemplo,
\begin{equation*}
x\diffp{f}{x} + y\diffp{f}{y} + z\diffp{f}{z} = x \cdot \left( 2x + z \right) + y \cdot 2y + z \cdot x = 2x^2 + 2y^2 + 2xz = 2f.
\end{equation*}
\todo{¿Cómo de larga debería ser esta introducción? ¿Tiene que <<desvelar>> ya los funcionamientos o solo plantear los problemas que queremos resolver?}¿Cuáles son estas? ¿Qué estructura siguen? ¿Y cómo podemos calcularlas?
\chapter{Módulos}
\todo[inline]{¿Hace falta introducir las definiciones de anillo y espacio vectorial o se dan por hechas?}
Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
\begin{itemize}
\item $(M, +)$ es un grupo abeliano y
\item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned}
&\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\
&a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\
&\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
&1 \cdot m = m
\end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$
\end{itemize}
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
$\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}.
A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
\end{ejemplo}
\todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?}
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \submodulo{A} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores,
\begin{equation*}
\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}},
\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
\end{ejemplo}
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
\begin{equation*}
N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
\end{equation*}
En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un homomorfismo de \modulo{A}s si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
\begin{itemize}
\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
\end{itemize}
para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. \todo[inline]{¿Se deberían introducir las nociones de isomorfismo, ser isomorfo, etc?}
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s.
\end{ejemplo}
\begin{lema}
Sea un anillo $A$, dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ e $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
\end{lema}
\todo[inline]{¿Es apropiado incluir la demostración o es suficientemente obvio?}
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A}, $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
\end{definicion}
Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
\begin{align*}
\partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
p(x, y) &\mapsto \diffp{p}{x_i}(x, y).
\end{align*}
\todo[inline]{¿Hasta qué punto interesa o deja de interesar poner los argumentos de los polinomios?}
Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto donde residen todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
\begin{equation*}
\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
\end{equation*}
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
\begin{equation*}
\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
\end{equation*}
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo. Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$.
\end{definicion}
\begin{lema}
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A} noetheriano.\todo[inline]{¿A partir de qué momento se pueden suprimir las premisas genéricas?} Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
\end{lema}
\begin{proof}
[\textsc{Demostración}]
\end{proof}
\begin{lema}
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
\end{lema}
\begin{proof}
[\textsc{Demostración}]
\end{proof}
\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
\chapter{El Criterio de Saito}
\end{document}

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42
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