Demostración de una de las direcciones de la demostración de Saito.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -906,7 +906,23 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 
 		\todo[inline]{Aquí vendría la parte en la que demostramos que $\det \Phi = f$.}
 		
-		Dadas las premisas que hemos visto en el enunciado de este criterio ---\ref{Criterio de Saito}---,
+		Ahora, por un lado, definamos $N := \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n}$ como un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{f} donde los $\delta_i$ forman una base y consideremos la inclusión $N \xrightarrow{\iota} \derivaciones{f}$. Volvamos a recordar la aplicación $\Phi$ de \ref{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}. Para aclararnos algo más, escribimos el siguiente esquema de los homomorfismos ---¡ojo!, esto no es una secuencia exacta---:
+		\begin{equation*}
+			N = \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n} \xrightarrow{\iota} \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi} \derivaciones{\Kx}.
+		\end{equation*} 
+		Como los $\delta_i \in \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}$, tenemos que existe alguna matriz $A \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx \right)$ de forma que 
+		\begin{equation*}
+			\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n} = \vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} A
+		\end{equation*}
+	    Por lo tanto, podemos pensar en que la aplicación $\Phi \circ \iota$ envía a cada $\delta_i$ a $\vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} A_i$ donde $A_i$ es la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $A$. Es decir, que las columnas de $A$ se entienden como las coordenadas de los $\delta_i$ en función de la base \conjunto{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}. Pensemos ahora en la aplicación
+		\begin{align*}
+			N &\xrightarrow{\bigwedge^n \left( \Phi \circ \iota \right)} \derivaciones{\Kx} \\
+			\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n &\xmapsto{\phantom{\bigwedge^n \left( \Phi \circ \iota \right)}} \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n \det A
+		\end{align*} Puede verse, gracias al mismo razonamiento de \ref{Aparición Determinante Función Exterior}, como $\det \left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = f \det\iota$. Vemos pues que si $N = \derivaciones{f}$, es decir, si \derivaciones{f} es libre, entonces $N = \derivaciones{f}$ y por lo tanto se cumple que $\det\iota$ es una unidad de \Kx. Para ver exactamente esto último, recordemos la regla de Cramer: como $\iota$ es un isomorfismo, necesariamente tiene inversa y eso quiere decir que $\det\iota$ es inversible. Por otro lado, observemos que $\det\left( \Phi \circ \iota \right) = \det A$. Con esto concluimos que si \derivaciones{f} es libre, entonces $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A = \det \Phi \det \iota = f \det\iota$ donde $\det\iota$ es una unidad de \Kx, como se pedía en el enunciado del teorema.
+		
+		Ahora asumamos que existen $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ de forma que $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = fu$ con $u$ una unidad de \Kx.
+		\todo[inline]{Terminar la otra implicación de Saito.}
+		
 	\nocite{*}
 	\printbibliography
 \end{document}