diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf index c09d067..adcb821 100644 Binary files a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf and b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf differ diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex index 5f367b7..1d9c1de 100644 --- a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex +++ b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex @@ -73,6 +73,7 @@ \usepackage{url} \usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black, urlcolor=black]{hyperref} +\newcommand{\referenciamodomatematico}[2]{\hyperref[#2]{#1 \ref*{#2}}} %------ Cabeceras y pies de página \usepackage{titleps} @@ -158,6 +159,11 @@ urlcolor=black]{hyperref} \newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}} +\newcommand{\nombrefuncionexterior}[2]{\ensuremath{\bigwedge^{#1} #2}} +\newcommand{\funcionexterior}[3]{\ensuremath{\nombrefuncionexterior{#1}{#2}\!\left( #3 \right)}} + +\newcommand{\cuerpofracciones}[1]{\ensuremath{\mathrm{Q}\!\left( #1 \right)}} + \begin{document} \frontmatter % Parte primera del texto @@ -234,7 +240,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} \chapter{Módulos} \section{Conceptos básicos} - Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. + Los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. \begin{definicion} Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si \begin{itemize} @@ -254,7 +260,6 @@ urlcolor=black]{hyperref} A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. \end{ejemplo} - \todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?} De aquí en adelante, para todos los resultados, daremos por sentado que $A$ sea un anillo y $M$ un \modulo{A}. \begin{definicion} @@ -265,11 +270,11 @@ urlcolor=black]{hyperref} Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores, \begin{equation*} - \engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}}, + \engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}} = \definicionconjunto{\vectordos{a\left( x^2y + xy^2 \right) + by^3}{a\left( x + y \right) + bx^3}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. \end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$. \end{ejemplo} \begin{definicion} - Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si + Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $G$ un subconjunto cualquiera de $N$. Diremos que $N$ está generado por $G$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si \begin{equation*} N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}. \end{equation*} @@ -333,6 +338,10 @@ urlcolor=black]{hyperref} [\textsc{Demostración}] \end{proof} + \begin{definicion} + Sea $M$ un \modulo{A}. Diremos que $M$ es libre de torsión si el único $m \in M$ tal que $am = 0$ para todo $a \in A$ es $0$. + \end{definicion} + \begin{definicion} Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por \begin{equation*} @@ -367,6 +376,7 @@ urlcolor=black]{hyperref} Una discusión más profunda acerca de los módulos reflexivos y sus propiedades puede encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}. + En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas. \begin{definicion} Diremos que una expresión del siguiente estilo: @@ -383,6 +393,29 @@ urlcolor=black]{hyperref} 0 \rightarrow \derivaciones{f} \xrightarrow{\iota} \derivaciones{\Kx} \xrightarrow{\kappa} \Kx^n \xrightarrow{\Phi} J \xrightarrow{\pi} \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \rightarrow 0. \end{equation} La función $\iota$ es una inclusión, la función $\kappa$ es el homomorfismo que envía $\partial_i$ a \vectorbasecanonica{i}, $\Phi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica. + + Un tipo de módulo muy importante en la demostración del Criterio de Saito es el módulo proyectivo, que nos sirve en muchos casos como tipo de módulo intermedio para algunos razonamientos. + \begin{definicion} \label{Definición Módulo Proyectivo} + Un \modulo{A} $P$ es proyectivo si para cada epimorfismo de \modulo{A}s $e : M \rightarrow N$ y cada homomorfismo de \modulo{A} $h: P \rightarrow N$ existe un homomorfismo de \modulo{A}s $\phi : P \rightarrow M$ de forma que $h = e \circ \phi$. + \end{definicion} + \todo[inline]{Aquí habrá que poner el diagrama de las secuencias exactas que expresan esto como en el Lectures.} + + \begin{ejemplo} + Sean $M = \cociente{\enteros}{4\enteros}$, $N = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ y $P = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ vistos como \modulo{\enteros}s. Como $e$ es un epimorfismo de \modulo{\enteros}s, necesariamente tendremos que $e\!\left( 0 \right) = e\!\left( 2 \right) = 0$ y $e\!\left( 1 \right) = e\!\left( 3 \right) = 1$. Como $h$ simplemente tomaremos la identidad. Sea ahora $\phi$ un homomorfismo de \modulo{\enteros}s cualquiera; existen dos posibilidades para $\phi\!\left( 1 \right)$: + \begin{itemize} + \item si $\phi\!\left( 1 \right) = 0$, entonces $e\!\left( \phi\!\left( 1 \right) \right) = 0 \neq h\!\left( 1 \right)$; + \item si por el contrario $\phi\!\left( 1 \right) = 1$, entonces $\phi\!\left( 0 \right) = \phi\!\left( 2\cdot 1 \right) = 2\phi\!\left( 1 \right) = 2$ y de nuevo llegamos a que $e\!\left( \phi\!\left( 1 \right) \right) = 0 \neq h\!\left( 1 \right)$. + \end{itemize} + En conclusión, $\cociente{\enteros}{2\enteros}$ no es un \modulo{\enteros} proyectivo. + \end{ejemplo} + Damos ahora dos propiedades que nos permitirán relacionar los módulos proyectivos con los libres. + \begin{lema} \label{Lema Libre implica Proyectivo} + Todo módulo libre es proyectivo. + \end{lema} + \begin{proof} + Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la definición \ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$. + \end{proof} + Una discusión más exhaustiva acerca de los módulos proyectivos en \cite{LIBROPROYECTIVOS}. \chapter{Bases de Gröbner y Syzygias} A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos. @@ -712,10 +745,133 @@ urlcolor=black]{hyperref} En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en [\textsc{Referencia al artículo de Vallés}]. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración. \section{Producto Exterior} - De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos - - \cite{SINGULAR} + De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para entender esta, necesitaremos entender primero el producto tensorial. En esencia, el producto tensorial aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $O$ son \modulo{A}s donde $A$ es un anillo y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal, o sea, que $b\left( \bullet, n \right)$ y $b\left( m, \bullet \right)$ son homorfismos de \modulo{A}s para cualquier $m \in M$ y $n \in N$; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos que para cada $\left( m, n \right)$ en $M \times N$ exista un elemento $m * n$ en $E$ de forma que $b'\left( m*n \right) = b\left( m, n \right)$. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial. + \begin{definicion} + Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Tomemos $E$ al \modulo{A} definido como $\bigoplus_{\substack{m \in M \\ n \in N}} A \cdot \vectorbasecanonica{m, n}$ donde \vectorbasecanonica{m, n} debe entenderse como la tupla $\left( m, n \right)$ sin ningún tipo de operación asociada, es decir, no debemos pensar que $\vectorbasecanonica{m, n} + \vectorbasecanonica{m', n'} = \vectorbasecanonica{m+m', n+n'}$ al igual que no pensamos que $\euno + \edos = \etres$. Ahora, consideremos dentro $E$ el \submodulo{A} $S$ definido por + \begin{equation*} + S = \engendrado{ \left.\begin{gathered} + \vectorbasecanonica{m + m', n} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m', n}, \quad + \vectorbasecanonica{m, n + n'} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m, n'}, \\ + \vectorbasecanonica{am, n} - a\vectorbasecanonica{m, n}, \quad + \vectorbasecanonica{m, an} - a\vectorbasecanonica{m, n} + \end{gathered} \right\rvert a \in A, m \in M, n \in N}. + \end{equation*} + Definimos el producto tensorial de $M$ por $N$ como $M \otimes N := \cociente{E}{S}$ y denotaremos a la clase de equivalencia de cada $\vectorbasecanonica{m, n}$ como $m \otimes n$. + \end{definicion} + \begin{ejemplo} + Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \reales^3 \times \reales^3 \rightarrow \reales$. En este caso, todo elemento de $\reales^3 \otimes \reales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---: + \begin{equation}\label{Desglose Producto Tensorial} + \begin{aligned} + \vectortres{a}{b}{c} \otimes \vectortres{d}{e}{f} + S &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \otimes \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) + S \\ + &= ad \euno\otimes\euno + ae\euno\otimes\edos + af\euno\otimes\etres + bd\edos\otimes\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\otimes\edos + bf\edos\otimes\etres + cd\etres\otimes\euno + ce\etres\otimes\edos + cf\etres\otimes\etres + S + \end{aligned} + \end{equation} + (De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente.) + + Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\reales^3 \otimes \reales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \reales^3 \otimes \reales^3 \rightarrow \reales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso, + \begin{equation*} + \phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases} + 1 &\text{si $i = j$;}\\ + 0 &\text{si $i \neq j$.} + \end{cases} + \end{equation*} + Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado. + \end{ejemplo} + + Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$. + \begin{definicion} + Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como + \begin{equation*} + T = \engendrado{m \otimes m' - m' \otimes m \vert m, m' \in M}. + \end{equation*} + Definiremos el producto exterior de $M$ por $M$ como $M \wedge M := \cociente{\left( M \otimes M \right)}{T}$ y denotaremos la clase de equivalencia de cada $\left( m, m' \right)$ como $m \wedge m'$. + \end{definicion} + Nótese que ahora $m \wedge m = 0$. + \begin{ejemplo} + El ejemplo natural en el caso de aplicaciones bilineales alternadas es el producto vectorial $\bullet \times \bullet : \reales^3 \times \reales \rightarrow \reales^3$. Podemos aplicar el mismo proceso que en \eqref{Desglose Producto Tensorial}. + \begin{align*} + \vectortres{a}{b}{c} \wedge \vectortres{d}{e}{f} &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \wedge \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) \\ + &= ad \euno\wedge\euno + ae\euno\wedge\edos + af\euno\wedge\etres + bd\edos\wedge\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\wedge\edos + bf\edos\wedge\etres + cd\etres\wedge\euno + ce\etres\wedge\edos + cf\etres\wedge\etres; \\ + \intertext{suprimimos los elementos de la forma $\vectorbasecanonica{i} \wedge \vectorbasecanonica{i}$ y ponemos todas las parejas $\vectorbasecanonica{i} \wedge \vectorbasecanonica{j}$ de forma que $i < j$;} + &= ae\euno\wedge\edos + af\euno\wedge\etres - bd\euno\wedge\edos + bf\edos\wedge\etres - cd\euno\wedge\etres - ce\edos\wedge\etres \\ + &= \left( ae - bd \right)\euno\wedge\edos + \left( af - cd \right)\euno\wedge\etres + \left( bf - ce \right)\edos\wedge\etres. + \end{align*} + Vemos por lo tanto que $\reales^3 \wedge \reales^3$ tiene como base $\left\lbrace \euno\wedge\edos, \euno\wedge\etres, \edos\wedge\etres \right\rbrace$ y las imágenes de estos son + \begin{equation*} + \phi\!\left( \euno\wedge\edos \right) = \euno \times \edos = \etres, \quad \phi\!\left( \euno\wedge\etres \right) = \euno \times \etres = -\edos \ \text{y} \ \phi\!\left( \edos\wedge\etres \right) = \edos \times \etres = \euno. + \end{equation*} + Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial. + \end{ejemplo} + + Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$. + + Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <>, esto no tiene por qué ser así. + \begin{ejemplo} + Consideremos $\reales^3 \wedge \reales^3 \wedge \reales^3$. Los elementos son de la forma + \begin{align} + \vectortres{a}{b}{c} \wedge \vectortres{d}{e}{f} \wedge \vectortres{g}{h}{i} &= aei\euno\wedge\edos\wedge\etres + afh\euno\wedge\etres\wedge\edos + bdi\edos\wedge\euno\wedge\etres \nonumber \\ + &\phantom{text} + bfg\edos\wedge\etres\wedge\euno + cdh\etres\wedge\euno\wedge\edos + ceg\etres\wedge\edos\wedge\euno; \nonumber \\ + \intertext{donde podemos ver que, por ejemplo, $\edos\wedge\etres\wedge\euno = -\edos\wedge\euno\wedge\etres = \euno\wedge\edos\wedge\etres$ y así expresamos todos estos productos en términos de $\euno\wedge\edos\wedge\etres$;} + &= \left( aei + bfg + cdh - \left( ceg + afh + bdi \right) \right) \euno\wedge\edos\wedge\etres. \label{Producto Exterior Como Determinante} + \end{align} + Vemos, por lo tanto, que $\reales^3\wedge\reales^3\wedge\reales^3$ es en realidad $\reales\left( \euno\wedge\edos\wedge\etres \right)$, un espacio isomorfo a \reales. + \end{ejemplo} + Lo que ocurre en estos casos es que los distintos órdenes en los que pongamos los elementos de un producto exterior $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_k$ solo lo cambian en signo. + \begin{lema} + Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. + \end{lema} + + Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural. + \begin{definicion} + Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la aplicación $\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue: + \begin{equation*} + m_1\wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_k \longmapsto \phi\!\left( m_1 \right)\wedge \phi\!\left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \phi\!\left( m_k \right). + \end{equation*} + \end{definicion} + Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\wedge^n V$ y $\wedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Evaluémosla en $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ para ver exactamente cuál es. Pero antes, démonos cuenta de que en \eqref{Producto Exterior Como Determinante} la forma de simplificar construía el determinate, lo cual es cierto en general; por ende, + \begin{equation*} + \funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n. + \end{equation*} + + \section{Demostración del Criterio de Saito} + + A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación: + \begin{gather*} + \text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\ + \text{$M$ módulo libre} \xLeftarrow[\text{Teorema de Quillen-Suslin}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\ + \end{gather*} + \todo[inline]{¿Lo de que reflexivo implica proyectivo es si es un módulo de con como mucho dos variables o que es de rango 2? ¿Y la referencia dónde está?} + Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. + + En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos. + + \begin{definicion} + Sea $A$ un anillo y $\sim$ la relación de equivalencia sobre $A\times \left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto + \begin{equation*} + \cuerpofracciones{A} := \cociente{A\times \left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)}{\sim} + \end{equation*} + junto con las operaciones + \begin{equation*} + \frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta} + \end{equation*} + forma un cuerpo al cual llamaremos cuerpo de fracciones de $A$. + \end{definicion} + \begin{definicion} + Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene rango $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} libre de rango $r$. + \end{definicion} + + En general, la cadena de implicaciones que nos serán útiles a lo largo de la demostración del Criterio de Saito serán las siguientes: + \begin{gather} + \left.\begin{aligned} + \left.\begin{aligned} + \text{$M$ módulo reflexivo} \xRightarrow{\text{\cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AV0}{Tag 0AV0}]{STACKS}}} \text{$M$ libre de torsión}& \\ + \text{$M$ de rango 1}& + \end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un ideal de $\Kx$}& \\ + \text{$M$ es reflexivo} + \end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un módulo libre} + \end{gather} + \todo[inline]{Demostrar que Der R es reflexivo. Propiedades de los modulos reflexivos (libre implica proyectivo implica reflexivo y los conversos condicionados), reflexivo implica libre de torsión, etc como esquema.} \nocite{*} diff --git a/bibliografia.bib b/bibliografia.bib index e00f279..6400d2f 100644 --- a/bibliografia.bib +++ b/bibliografia.bib @@ -12,6 +12,7 @@ shorthand = "CoCoA1", author= "Martin Kreuzer and Lorenzo Robbiano", title= "Computational Commutative Algebra 1", + edition= {1}, publisher= "Springer Berlin, Heidelberg", year= "2000", isbn= "978-3-540-67733-8", @@ -28,6 +29,26 @@ doi = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3}, series = {Undergraduate Texts in Mathematics} } +@Book{ALGEBRA, + shorthand = {Lang}, + author = {Serge Lang}, + title = {Algebra}, + edition = {3}, + publisher = {Springer New York}, + year = {2002}, + isbn = {978-0-387-95385-4}, + doi = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0}, + series = {Graduate Texts in Mathematics}} +@Book{LIBROPROYECTIVOS, + shorthand = {Lectures}, + author = {T. Y. Lam}, + title = {Lectures on Modules and Rings}, + edition = {1}, + publisher = {Springer New York}, + year = {1998}, + isbn = {978-0-387-98428-5}, + doi = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0525-8}, + series = {Graduate Texts in Mathematics}} % El lugar donde se puede encontrar publicado el artículo de Saito es aquí: https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39646. @article{SAITO, shorthand = {Saito},