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568
TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex
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\begin{document} \begin{document}
\frontmatter % Parte primera del texto \frontmatter % Parte primera del texto
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%--- RESUMEN %--- RESUMEN
\chapter{Resumen} \chapter{Resumen}
En este trabajo respondemos a varias preguntas acerca del módulo de derivaciones polinómicas de un polinomio: qué clase de objeto es, para lo cual necesitaremos utilizar la teoría de módulos; cómo calcularlo, donde explicaremos herramientas como las bases de \Groebner{} y las sicigias; y por último, una demostración del Criterio de Saito, que nos permite saber si el dicho módulo de derivaciones admite una base o no. El presente trabajo se enmarca dentro del contexto de la Conjetura de Terao~\cite{Terao} para configuraciones de hiperplanos. En esta conjetura, Terao afirma que la libertad de una configuración de hiperplanos depende solo del patrón de intersecciones, es decir, que la dependencia es puramente combinatoria. Las configuraciones de divisores son un caso particular de divisores en los que también se plantea el problema de libertad; de manera más algebraica podemos estudiar los divisores a partir de polinomios. El divisor asociado a un polinomio es libre si el módulo de derivaciones polinómicas tangentes al divisor lo es. Así pues, parte del camino hacia la Conjetura de Terao pasa por comprender estos divisores y, en particular, conocer cuándo son libres. Debido a que este tema es vasto y un trabajo de estas dimensiones no es recipiente suficiente, solo nos dedicaremos a dichos dos objetivos. El primero de ellos lo resolveremos en la segunda parte con la introducción de las sicigias y el segundo en la tercera parte con el Criterio de Saito.
In this paper we answer several questions about the module of polynomial derivations of a polynomial: which kind of object it is, where we will need to use module theory; how to compute it, with an explanation of tools like \Groebner{} bases and syzygies; and lastly, a proof of Saito's Criterion, which allows us to know whether the derivations module admits a basis or not. La estructura de nuestro documento está dividida en tres. En la primera de las partes nos familiarizaremos con el tipo de objeto que estamos trabajando: el módulo. Exploraremos sus propiedades básicas, las relaciones con espacios similares como el espacio vectorial y desarrollaremos en moderada profundidad algunos aspectos concretos más relacionados con el contexto en el que nos encontramos.
%--- FIN DEL RESUMEN
En la segunda de estas partes, el objetivo será enfrentarnos al problema de determinar si un elemento cualquiera pertenece o no a un módulo de polinomios. Para ello, exploraremos algo más en detalle el comportamiento en los casos más sencillos donde esto es todavía factible sin necesidad de introducir ninguna herramienta nueva. Eso nos llevará a abstraer el algoritmo de la división a este nuevo espacio en el que nos encontramos, conocer sus propiedades y como estas están fuertemente con la elección del término <<principal>> de un elemento que utilizamos para reducir en la división. A partir de aquí, mostraremos cómo construir nuevos conjuntos que nos permitan utilizar esta nueva división, las bases de \Groebner, y utilizaremos estas para obtener otro objeto que generaliza a las soluciones de sistemas lineales, la sicigia. Con todo esto, ya seremos capaces de calcular el módulo de derivaciones.
Por último, en la tercera parte, daremos una detallada demostración del Criterio de Saito, el resultado que nos da un criterio para garantizar si un conjunto de derivaciones de este módulo forma una base de este. Con lo cual damos fin al trabajo habiendo no solo contextualizado estos objetos sino también presentado dos resultados fundamentales en esta teoría.
\selectlanguage{english}
\chapter{Abstract}
This work is framed within the context of Terao’s Conjecture \cite{Terao} for hyperplane arrangements. In this conjecture, Terao asserts that the freeness of a hyperplane arrangement depends solely on the pattern of intersections, i.e. the dependency is purely combinatorial. Divisor configurations form a particular case of divisors in which the problem of freeness is posed too; in a more algebraic manner, we can study divisors from polynomials. A divisor associated with a polynomial is free if the module of polynomial derivations tangent to the divisor is too.
Thus, part of the path towards Terao’s Conjecture goes through understanding these divisors and, in particular, knowing when they are free. Given the vastness of this topic and that a work of this dimensions would not fit it, we will focus exclusively on said objectives. The first will be addressed in the second part with the introduction of syzygies and the second in the third part using Saito’s Criterion.
The structure of our document is divided into three. In the first part, we will familiarize ourselves with the type of object we are working with: the module. We will explore its basic properties, its relationships with similar spaces such as the vector space, and develop with moderate deepness some specific aspects more closely related to the context in which we find ourselves.
In the second part, our objective will be to tackle the problem of determining whether any given element belongs to a module of polynomials. To do so, we will explore with some greater detail the behavior in simpler cases where this is still feasible without introducing any new tools. This will lead us to abstract the division algorithm to this new space we are in, get to know its properties, and understand how they are strongly tied to the choice of the principal term of an element that we use for reduction in division. From here, we will demonstrate how to construct new sets that allow us to apply this new division, Gröbner bases, and we will use them to obtain another object that generalizes the solutions of linear systems: the syzygy. With all this, we will finally be equipped to compute the module of derivations.
Finally, in the third part, we will give a detailed proof of Saito’s Criterion, the result that offers a criterion to guarantee whether a set of derivations of this module forms a basis of it. With that we conclude our work having not only contextualized these objects but also presented two fundamental results in this theory.
\selectlanguage{spanish}
\clearemptydoublepage \clearemptydoublepage
@ -268,39 +306,39 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{equation*} \begin{equation*}
a_1 \diffp{}{x_1} + a_2\diffp{}{x_2} + \dots + a_n\diffp{}{x_n}\quad a_i \in \Kx \ \forall i. a_1 \diffp{}{x_1} + a_2\diffp{}{x_2} + \dots + a_n\diffp{}{x_n}\quad a_i \in \Kx \ \forall i.
\end{equation*} \end{equation*}
Al conjunto de todas estas derivaciones lo llamaremos \derivaciones{\Kx}. Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor al evaluarlas en $f$ es un múltiplo escalar de la propia $f$. Es decir, conocer el conjunto Al conjunto de todas estas derivaciones lo llamaremos \derivaciones{\Kx}. Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor al evaluarlas en $f$ es un múltiplo de la propia $f$. Es decir, conocer el conjunto
\begin{equation*} \begin{equation*}
\derivaciones{f} := \definicionconjunto{ \delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) = hf, h \in \Kx}. \derivaciones{f} := \definicionconjunto{ \delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) = hf, h \in \Kx}.
\end{equation*} \end{equation*}
Es decir, con estas derivaciones de \derivaciones{f} estamos obteniendo campos de vectores tangentes a la hipersuperficie $f=0$. Este conjunto será el principal objeto de estudio de este documento. Con estas derivaciones de \derivaciones{f} estamos obteniendo campos de vectores tangentes a la hipersuperficie $f=0$. Este conjunto será el principal objeto de estudio de este documento.
A primera vista, es apreciable la relación con los vectores, pero no se tratará de espacios vectoriales, sino de una generalización de estos a coeficientes en un anillo: los módulos. Desarrollaremos una descripción de este tipo de objeto en el Capítulo \ref{Capítulo de Módulos}. A continuación, notemos que la condición $\delta\!\left( f \right) = hf$ puede reescribirse como A primera vista, es apreciable la relación con los vectores, pero no se tratará de espacios vectoriales, sino de una generalización de estos a coeficientes en un anillo: los módulos. Desarrollaremos una descripción de este tipo de objeto en el Capítulo \ref{Capítulo de Módulos}. A continuación, notemos que la condición $\delta\!\left( f \right) = hf$ puede reescribirse como
\begin{equation*} \begin{equation*}
\sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} = hf \iff \sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} - hf = 0 \iff \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} \vectorvertical{a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ -h} = 0. \sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} = hf \iff \sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} - hf = 0 \iff \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} \vectorvertical{a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ -h} = 0.
\end{equation*} \end{equation*}
El vector de coeficientes expresa una <<relación>> entre los elementos de \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} al igual que una solución de un sistema lineal homogéneo expresa una relación entre las columnas de una matriz. El conjunto de todas estas relaciones o soluciones del sistema se conoce como el módulo de sicigias. Para poder calcularlo, necesitaremos las Bases de \Groebner: una herramienta que nos ayuda a la hora de determinar si un elemento pertenece o no a un ideal de \Kx, pero en este caso generalizada también a módulos. Todo esto lo desarrollaremos en el Capítulo \ref{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}. El vector de coeficientes expresa una <<relación>> entre los elementos de \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} al igual que una solución de un sistema lineal homogéneo expresa una relación entre las columnas de una matriz. El conjunto de todas estas relaciones o soluciones del sistema se conoce como el módulo de sicigias. Para poder calcularlo, necesitaremos las Bases de \Groebner: una herramienta que nos ayuda a la hora de determinar si un elemento pertenece o no a un ideal de \Kx, pero en este caso generalizada también a módulos. Todo esto lo desarrollaremos en el Capítulo \ref{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}.
Por último, una de las principales dificultades que presentan los módulos es conocer si son libres y, en caso afirmativo, conseguir una base. Así como en cualquier espacio vectorial sabemos que siempre hay una base y que todo subespacio también la tiene, no tiene por qué ser así en el caso de módulos. Para poder discernir en particular si \derivaciones{f} admite una base, la herramienta a utilizar es el Criterio de Saito. Este resultado afirma que \derivaciones{f} admite una base si y solo si se pueden encontrar $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \in \derivaciones{f}$ de forma que ---viéndolos como vectores de $\Kx^n$--- se cumpla Por último, una de las principales dificultades que presentan los módulos es conocer si son libres y, en caso afirmativo, conseguir una base. Así como en cualquier espacio vectorial sabemos que siempre hay una base y que todo subespacio también la tiene, no tiene por qué ser así en el caso de módulos. Para poder discernir en particular si \derivaciones{f} admite una base, la herramienta a utilizar es el Criterio de Saito. Este resultado afirma que \derivaciones{f} admite una base si y solo si se pueden encontrar $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \in \derivaciones{f}$ de forma que ---viéndolos como vectores de $\Kx^n$--- se cumpla
\begin{equation*} \begin{equation*}
\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf\quad \text{donde $u$ es una unidad de \Kx}. \det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf\quad \text{donde $u$ es una unidad de \Kx}.
\end{equation*} \end{equation*}
En el Capítulo \ref{Capítulo del Criterio de Saito} desarrollaremos la demostración de este criterio basados en \cite{VALLES}. En el Capítulo \ref{Capítulo del Criterio de Saito} desarrollaremos la demostración de este criterio basados en \cite{VALLES}.
De hecho, este concepto de que \derivaciones{f} admita una base no se comprende del todo bien actualmente. Por ejemplo, si tomamos $f := x^2z + y^3 \in \anillodepolinomios{K}{x,y,z}$ nos encontramos con la superficie De hecho, este concepto de que \derivaciones{f} admita una base no se comprende del todo bien actualmente. Por ejemplo, si tomamos $f := x^2z + y^3 \in \anillodepolinomios{K}{x,y,z}$ nos encontramos con la superficie
\begin{figure}[h] \begin{figure}[h]
\centering \centering
\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/primerasuperficie.png}\\ \includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/primerasuperficie.png}\\
$x^2z + y^3 = 0$ $x^2z + y^3 = 0$
\end{figure} \end{figure}
En este caso, \derivaciones{x^2z + y^3} no es libre. Puede encontrarse el cálculo de todo lo comentado hasta ahora para este caso en el Apéndice \ref{Apéndice Cálculo}. Sin embargo, añadiendo un plano que cree una especie de <<continuación tangente>> a esas esquinas que aparecen, que se consigue multiplicando por $x$, nos queda la siguiente superficie: En este caso, \derivaciones{x^2z + y^3} no es libre. Puede encontrarse el cálculo de todo lo comentado hasta ahora para este caso en el Apéndice \ref{Apéndice Cálculo}. Sin embargo, añadiendo un plano que cree una especie de <<continuación tangente>> a esas esquinas que aparecen, que se consigue multiplicando por $x$, nos queda la siguiente superficie:
\begin{figure}[h] \begin{figure}[h]
\centering \centering
\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/segundasuperficie.png}\\ \includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/segundasuperficie.png}\\
$x\left( x^2z + y^3 \right) = 0$ $x\left( x^2z + y^3 \right) = 0$
\end{figure} \end{figure}
Y en este caso, \derivaciones{f} sí que admite una base. Para garantizarlo, hacemos uso del Criterio de Saito (véase el \nolbreaks{Teorema \ref{Criterio de Saito}}) con Y en este caso, \derivaciones{f} sí que admite una base. Para garantizarlo, hacemos uso del Criterio de Saito (véase el \nolbreaks{Teorema \ref{Criterio de Saito}}) con
% \begin{align*} % \begin{align*}
% \delta_1 &:= \left( x^2z + y^3 \right)\diffp{}{z},\\ % \delta_1 &:= \left( x^2z + y^3 \right)\diffp{}{z},\\
@ -328,22 +366,20 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{pmatrix} = 9x(x^2z+y^3) = 9f. \end{pmatrix} = 9x(x^2z+y^3) = 9f.
\end{equation*} \end{equation*}
El determinante es un escalar por $f$, y por lo tanto, $\delta_1$, $\delta_2$ y $\delta_3$ forman una base de \derivaciones{f}. El determinante es un escalar por $f$, y por lo tanto, $\delta_1$, $\delta_2$ y $\delta_3$ forman una base de \derivaciones{f}.
\chapter{Módulos} \label{Capítulo de Módulos} \chapter{Módulos} \label{Capítulo de Módulos}
\section{Conceptos básicos} \section{Conceptos básicos}
Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. En este capítulo veremos solo algunas de las propiedades y definiciones necesarias para nuestros propósitos. Sin embargo, la teoría de módulos se extiende mucho más allá de esta exigua presentación, por lo que recomendamos que se consulte un texto introductorio como \cite{SINGULARLIBRO} o \cite{COCOA}. Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. En este capítulo veremos solo algunas de las propiedades y definiciones necesarias para nuestros propósitos. Sin embargo, la teoría de módulos se extiende mucho más allá de esta exigua presentación, por lo que recomendamos que se consulte un texto introductorio como \cite{SINGULARLIBRO} o \cite{COCOA}.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \emph{\modulo{A}} si Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \emph{\modulo{A}} si
\begin{itemize} \vspace{0cm}\begin{equation*}
\item $(M, +)$ es un grupo abeliano y (M, +) \ \ \text{es un grupo abeliano y} \ \ \begin{cases}
\item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned} \left( a + b \right) \cdot \left( m + m' \right) = a\cdot m + a \cdot m' + b \cdot m + b \cdot m', \\
&\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\ \left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
&a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\ 1 \cdot m = m
&\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\ \end{cases} \!\!\!\!\!\!\forall a,b \in A, \ \forall m,m'\in M.
&1 \cdot m = m \vspace{0cm}\end{equation*}
\end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$
\end{itemize}
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
El producto cartesiano $\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}. El producto cartesiano $\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
@ -382,7 +418,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ es \emph{libre} si admite una base. Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ es \emph{libre} si admite una base.
\end{definicion} \end{definicion}
Ahora introducimos el concepto de torsión, que juega un papel muy importante con respecto a la libertad de los módulos. Ahora introducimos el concepto de torsión, que juega un papel muy importante con respecto a la libertad de los módulos.
\begin{definicion} \begin{definicion}
El submódulo de torsión de $M$ se define como El submódulo de torsión de $M$ se define como
@ -398,6 +434,8 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{equation*} \end{equation*}
Por lo tanto, la representación de $z$ no es única en términos de la base y, por ende, \enterosmodulo{p} no es libre. Por lo tanto, la representación de $z$ no es única en términos de la base y, por ende, \enterosmodulo{p} no es libre.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
De hecho, todo módulo libre es libre de torsión, aunque el converso no tiene por qué ser cierto. Un caso donde este converso es falso es el \nolbreaks{Ejemplo \ref{Ejemplo de No Tener Base}}.
Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos. Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos.
\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos} \begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$. Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
@ -405,7 +443,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: \nolbreaks{$m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$}. Definimos el \emph{cociente de un módulo por un submódulo} como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$, que es un \modulo{A} con las operaciones heredadas. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$. Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: \nolbreaks{$m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$}. Definimos el \emph{cociente de un módulo por un submódulo} como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$, que es un \modulo{A} con las operaciones heredadas. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
\end{definicion} \end{definicion}
Por último, una definición que es independiente de los módulos pero que condiciona los polinomios que podremos estudiar con el Criterio de Saito. Por último, una definición que es independiente de los módulos pero que condiciona los polinomios que podremos estudiar con el Criterio de Saito.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Un polinomio $p \in \Kx$ se dice \emph{libre de cuadrados} si, en caso de poder expresarlo de la forma $p = a^2b$, se tiene que $a$ es una unidad de \Kx. Un polinomio $p \in \Kx$ se dice \emph{libre de cuadrados} si, en caso de poder expresarlo de la forma $p = a^2b$, se tiene que $a$ es una unidad de \Kx.
@ -420,7 +458,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y \item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$ \item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
\end{itemize} \end{itemize}
para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. En ocasiones, nos referiremos a los homomorfismos de \modulo{A}s como a aplicaciones \lineal{A}es. para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. En ocasiones, nos referiremos a los homomorfismos de \modulo{A}s como aplicaciones \lineal{A}es.
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}. La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
@ -433,7 +471,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{tikzcd}[row sep=0pt] \begin{tikzcd}[row sep=-3pt]
\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}\rar["\partial_i"]&\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\ \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}\rar["\partial_i"]&\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}. p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
@ -444,7 +482,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\begin{equation*} \begin{equation*}
\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}. \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
\end{equation*} \end{equation*}
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Y para cada $\delta \in \derivaciones{\Kx}$ definimos $\delta \cdot p := \delta\!\left( p \right)$. Observemos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\Kx}s debido al comportamiento con el producto de la derivada. De hecho, los elementos $\delta \in \Kx$ se comportan como sigue: Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Para cada $\delta \in \derivaciones{\Kx}$ definimos $\delta \cdot p := \delta\!\left( p \right)$. Observemos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\Kx}s debido al comportamiento con el producto de la derivada. De hecho, los elementos $\delta \in \Kx$ se comportan como sigue:
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{cases} \begin{cases}
\delta\!\left( f_1 + f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right) + \delta\!\left( f_2 \right), \\ \delta\!\left( f_1 + f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right) + \delta\!\left( f_2 \right), \\
@ -471,7 +509,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\begin{lema} \begin{lema}
Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ llega a ser estacionaria en algún momento. Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ llega a ser estacionaria en algún momento.
\end{lema} \end{lema}
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El \emph{conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s} de $M$ a $N$ es también un \modulo{A} y se denota por Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El \emph{conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s} de $M$ a $N$ es también un \modulo{A} y se denota por
\begin{equation*} \begin{equation*}
@ -484,15 +522,15 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}. \dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
\end{equation*} \end{equation*}
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{definicion} \begin{definicion}\label{Definicion_bilineal}
Dados dos \modulo{A}s $M$ y $N$, una forma \emph{bilineal} $\Phi:M\times N\to A$ es una aplicación tal que Dados dos $M, N, O$ \modulo{A}s, una \emph{aplicación bilineal} $\Phi:M\times N\to O$ cumple
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{cases} \begin{cases}
\Phi\!\left( a m + a'm', n \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m', n \right) \ \ \text{y} \\ \Phi\!\left( a m + a'm', n \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m', n \right) \ \ \text{y} \\
\Phi\!\left( m, a n + a'n' \right)\; = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m, n' \right) \Phi\!\left( m, a n + a'n' \right)\; = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m, n' \right)
\end{cases} \quad \forall a,a'\in A, \ \forall m, m'\in M, \ \forall n, n'\in N. \end{cases} \quad \forall a,a'\in A, \ \forall m, m'\in M, \ \forall n, n'\in N.
\end{equation*} \end{equation*}
Una forma bilineal induce homomorfismos $\Phi_1:M\to\dual{N}$, $\Phi_2:N\to\dual{M}$, dados por Si $O=A$, diremos que es una \emph{forma bilineal}, e induce homomorfismos $\Phi_1:M\to\dual{N}$, $\Phi_2:N\to\dual{M}$, dados por
\begin{equation*} \begin{equation*}
\Phi_1(m)(n):=\Phi(m, n)=:\Phi_2(n)(m). \Phi_1(m)(n):=\Phi(m, n)=:\Phi_2(n)(m).
\end{equation*} \end{equation*}
@ -506,16 +544,19 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $\Psi$ es un isomorfismo. Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $\Psi$ es un isomorfismo.
\end{definicion} \end{definicion}
Esta noción será de gran importancia como puede verse en el esquema \ref{Esquema Demostración} puesto que los módulos reflexivos son libres de torsión.
\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} \begin{ejemplo} \label{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo}
Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \dual{V} admite como base a la base dual compuesta por los $\mathbf{e}^*_{i}$ definidos como Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \dual{V} admite como base a la \emph{base dual} compuesta por los $v^*_{i}$ definidos como
\begin{equation*} \begin{equation*}
\mathbf{e}^{*}_{i}\!\left( \vectorbasecanonica{j} \right) := \begin{cases} v^{*}_{i}\!\left( v_j \right) := \begin{cases}
1 & \text{si $i = j$;} \\ 1 & \text{si $i = j$;} \\
0 & \text{si no.} 0 & \text{si no.}
\end{cases} \end{cases}
\end{equation*} \end{equation*}
Como una base de \dual{V} tiene tantos elementos como una de $V$, $V$ y \dual{V} deben ser isomorfos y, por ende, \dual{V} y \dualdual{V} también. Así pues, $V$ y \dualdual{V} son isomorfos. Pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\Psi$ sea un isomorfismo. Para ello, supongamos que $\Psi\!\left( v \right) = \Psi\!\left( v' \right)$; entonces, como $\mathrm{id} \in \dual{V}$, $\mathrm{id}\!\left( v \right) = \mathrm{id}\!\left( v' \right)$ por lo que $\Psi$ es inyectiva, lo cual ya nos garantiza que sea un isomorfismo. Este ejemplo aplica también a módulos libres de rango finito. Como una base de \dual{V} tiene tantos elementos como una de $V$, $V$ y \dual{V} deben ser isomorfos y, por ende, \dual{V} y \dualdual{V} también: estas bases inducen isomorfismo $\phi_1:V\to\dual{V}$
y $\phi_2:\dual{V}\to\dualdual{V}$ que dependen de las bases. Es fácil ver que $\Psi=\phi_2\circ\phi_1$ y es por tanto un isomorfismo. A partir de ahora en espacios vectoriales identificaremos un espacio y su bidual.
%Así pues, $V$ y \dualdual{V} son isomorfos. Pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\Psi$ sea un isomorfismo. Para ello, supongamos que $\Psi\!\left( v \right) = \Psi\!\left( v' \right)$; entonces, como $\mathrm{id} \in \dual{V}$, $\mathrm{id}\!\left( v \right) = \mathrm{id}\!\left( v' \right)$ por lo que $\Psi$ es inyectiva, lo cual ya nos garantiza que sea un isomorfismo.
Este ejemplo aplica también a módulos libres de rango finito.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
Consideremos ahora el \modulo{\enteros} \cociente{\enteros}{p\enteros} donde $p$ es un número primo. Sabemos que $\cociente{\enteros}{p\enteros} = \engendrado{1}$; por lo tanto, cualquier $\phi \in \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$ está unívocamente determinado por la imagen de $1$. Supongamos que $\phi\!\left( 1 \right) = x \in \enteros$, se debe cumplir que Consideremos ahora el \modulo{\enteros} \cociente{\enteros}{p\enteros} donde $p$ es un número primo. Sabemos que $\cociente{\enteros}{p\enteros} = \engendrado{1}$; por lo tanto, cualquier $\phi \in \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$ está unívocamente determinado por la imagen de $1$. Supongamos que $\phi\!\left( 1 \right) = x \in \enteros$, se debe cumplir que
@ -524,39 +565,16 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{equation*} \end{equation*}
Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo. Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.3\textwidth}
\vspace{-1.2cm}
\begin{equation*} \begin{lema}\label{Lema_Reflexivo_dual}
\begin{tikzcd}
M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
\end{wrapfigure}
\begin{lema}
Si $M$ es un \modulo{\Kx} finitamente generado, entonces \dual{M} es reflexivo. Si $M$ es un \modulo{\Kx} finitamente generado, entonces \dual{M} es reflexivo.
\end{lema} \end{lema}
\begin{proof}
Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición \ref{Definición Extensión de Escalares}). Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx} de la figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $m \otimes 1$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}. La demostración de deja para más adelante ya que necesitamos introducir algún nuevo concepto.
Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, pensaremos en $\dual{M}$ como en
\begin{equation*}
\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q}}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
\end{equation*}
o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
Ahora recordemos por el \ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos permite ver \dualdual{M} como
\begin{equation*}
\definicionconjunto{m \in M_\mathrm{Q}}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}.
\end{equation*}
\todo[inline]{Esto terminarlo.}
\end{proof}
La reflexividad jugará un papel importante en la demostración del Criterio de Saito que ilustramos en el esquema de \eqref{Esquema Demostración}. Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}. La reflexividad jugará un papel importante en la demostración del Criterio de Saito que ilustramos en el esquema de \eqref{Esquema Demostración}. Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas. En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
@ -660,9 +678,121 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la Definición~\ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$. Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la Definición~\ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$.
\end{proof} \end{proof}
Una introducción a los módulos proyectivos puede encontrarse en \cite[sección 1.2]{LIBROPROYECTIVOS}. Una introducción a los módulos proyectivos puede encontrarse en \cite[sección 1.2]{LIBROPROYECTIVOS}.
Una construcción que en este trabajo no trataremos en profundidad pero que sí es relevante para estudiar la libertad de los módulos es la resolución libre, que nos permite expresar por completo un módulo como submódulo de un módulo libre y las relaciones entre sus elementos.
\begin{definicion}
Una resolución libre de $M$ es una sucesión exacta de la forma
\begin{equation*}
\dots \longrightarrow F_{k+1} \longrightarrow F_k \longrightarrow \dots \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0
\end{equation*}
donde los $F_i$ son \modulo{A}s libres finitamente generados.
\end{definicion}
\begin{lema} \label{Lema Longitud Mínima Resolución}
Todo \modulo{A} ---recuérdese que $A$ es noetheriano--- finitamente generado que admita una resolución de longitud finita
\begin{equation*}
0 \longrightarrow F_k \longrightarrow \dots \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0
\end{equation*}tiene una resolución de longitud mínima.
\end{lema}
Dándonos cuenta de que si $M$ es libre, entonces debe admitir una resolución de la forma
\begin{equation*}
0 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0,
\end{equation*}
encontramos en este resultado un criterio de libertad más práctico sobre todo a la hora de demostrar que un módulo no es libre: intentar calcular su resolución mínima y, si tiene, ver si es de la forma anterior. Sin embargo, este cálculo no está disponible siempre lo cual hace que no nos sirva salvo en aquellas situaciones donde sí que podemos calcular resoluciones y afirmar que sean mínimas. Una exposición más detallada de esto puede encontrarse en \cite{SINGULARLIBRO}, e ilustraremos su uso en \ref{Apéndice a ordenador}.
\section{Rango de un módulo}
En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
\begin{definicion}
Sea $A$ un dominio de integridad sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado, es decir, si $s,s'\in S$, entonces $ss'\in S$ (supondremos además que $0\notin S$). Consideremos la relación de equivalencia
$\sim$ sobre $A\times S$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$\footnote{La definición de localización es, en realidad, más general: \begin{equation*}
\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff \exists\sigma \in S \ \text{tal que} \ \sigma\left( ms' - m's \right) = 0.
\end{equation*} Pero en para nosotros, como asumimos que no hay divisores del $0$, nuestra definición es suficiente.}. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
\begin{equation*}
S^{-1}A := \cociente{A\times S}{\sim}
\end{equation*}
junto con las operaciones
\begin{equation*}
\frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta}
\end{equation*}
es la \emph{localización} de $A$ respecto de $S$. Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ se trata de un cuerpo $\cuerpofracciones{A}$ llamado \emph{cuerpo de fracciones de $A$}. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
\end{definicion}
El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
% \begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
% Llamaremos \emph{extensión de escalares} del \modulo{A} $M$ al \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} $M_Q$.
% \end{definicion}
\begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
Sea $S$ un subconjunto de $A$ multiplicativamente cerrado. Definimos la \emph{localización de $M$ con respecto a $S$} como el \modulo{S^{-1}A}
\begin{equation*}
S^{-1}M := \definicionconjunto{\frac{m}{s}}{m \in M, s \in S},
\end{equation*}
donde $\frac{m}{s}$ denota la clase de equivalencia de $\left( m, s \right) \in M \times S$ con respecto a la relación de equivalencia
\begin{equation*}
\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff ms' = m's.
\end{equation*}
Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización como $M_\mathrm{Q}$ y la llamaremos $Q(A)$-\emph{extensión de escalares} de~$M$.
\end{definicion}
\begin{lema} \label{Lema Extensión es Inyección}
La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M_\mathrm{Q}$ dada por $m \mapsto \frac{m}{1}$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
\end{lema}
\begin{proof}
Para la primera afirmación, vemos que $M_\mathrm{Q}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
Para la segunda, véase que
\begin{align*}
\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
&\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
&\iff am \neq 0 \\
&\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.\qedhere
\end{align*}
% Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M_\mathrm{Q}$ puede escribirse como $ \frac{m}{q}$ para algún $m\in M$ y algún $q\in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Consideremos el homomorfismo de $M_Q$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
%
% \todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
%
\end{proof}
Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
\mbox{}\vspace{-1.7cm}
\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
\footnotesize
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}
M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\vspace{-0.8cm}
\caption{} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
\end{wrapfigure}
\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
% Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
\begin{equation*}
\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q}}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
\end{equation*}
o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_\mathrm{Q}} \simeq M_\mathrm{Q}$. Esto nos identificar
\begin{equation*}
\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_\mathrm{Q}}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}},\quad
M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q}}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
\end{equation*}
%
% \todo{Esto terminarlo.}
\end{proof}
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M_\mathrm{Q}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
\end{definicion}
Un caso particular importante es el de cualquier ideal $I$, que independientemente del número de generadores que tenga siempre es de rango $1$.
\section{Producto Exterior} \section{Producto Exterior}
De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para comprenderlo, necesitaremos entender primero el producto tensorial. Este aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $P$ son \modulo{A}s y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos convertir una aplicación bilineal en una lineal. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial. De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para comprenderlo, necesitaremos entender primero el producto tensorial
cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\ref{Definicion_bilineal} como aplicaciones lineales.
%Este aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $P$ son \modulo{A}s y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos convertir una aplicación bilineal en una lineal. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Tomemos como $E$ al \modulo{A} definido como $\bigoplus_{\substack{m \in M \\ n \in N}} A \cdot \vectorbasecanonica{m, n}$ donde \vectorbasecanonica{m, n} debe entenderse como la tupla $\left( m, n \right)$ sin ningún tipo de operación asociada, es decir, no debemos pensar que $\vectorbasecanonica{m, n} + \vectorbasecanonica{m', n'} = \vectorbasecanonica{m+m', n+n'}$ al igual que no pensamos que $\euno + \edos = \etres$. Ahora, consideremos dentro de $E$ el \submodulo{A} $S$ definido por Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Tomemos como $E$ al \modulo{A} definido como $\bigoplus_{\substack{m \in M \\ n \in N}} A \cdot \vectorbasecanonica{m, n}$ donde \vectorbasecanonica{m, n} debe entenderse como la tupla $\left( m, n \right)$ sin ningún tipo de operación asociada, es decir, no debemos pensar que $\vectorbasecanonica{m, n} + \vectorbasecanonica{m', n'} = \vectorbasecanonica{m+m', n+n'}$ al igual que no pensamos que $\euno + \edos = \etres$. Ahora, consideremos dentro de $E$ el \submodulo{A} $S$ definido por
@ -676,16 +806,17 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{equation*} \end{equation*}
Definimos el p\emph{roducto tensorial} de $M$ por $N$ como $M \otimes N := \cociente{E}{S}$ y denotaremos a la clase de equivalencia de cada $\vectorbasecanonica{m, n}$ como $m \otimes n$. Definimos el p\emph{roducto tensorial} de $M$ por $N$ como $M \otimes N := \cociente{E}{S}$ y denotaremos a la clase de equivalencia de cada $\vectorbasecanonica{m, n}$ como $m \otimes n$.
\end{definicion} \end{definicion}
Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para todo mapa bilineal $b$ podemos encontrar otro mapa lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right)$. \begin{wrapfigure}[2]{r}{0.3\textwidth}
\begin{figure}[h] \vspace{-1cm}
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
M \otimes N \arrow[rd, "l"]& & \\ M \otimes N \arrow[rd, "l"]& & \\
M \times N \arrow[r, "b"] \arrow[u]& P M \times N \arrow[r, "b"] \arrow[u]& P
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\end{equation*} \end{equation*}
\end{figure} \end{wrapfigure}
\vspace{-0.7cm} Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para toda aplicación bilineal $b$ podemos encontrar una única aplicación lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right)$:
%\vspace{-0.7cm}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \racionales^3 \times \racionales^3 \rightarrow \racionales$, que es bilineal. En este caso, todo elemento de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---: Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \racionales^3 \times \racionales^3 \rightarrow \racionales$, que es bilineal. En este caso, todo elemento de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---:
\begin{equation}\label{Desglose Producto Tensorial} \begin{equation}\label{Desglose Producto Tensorial}
@ -695,7 +826,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{aligned} \end{aligned}
\end{equation} \end{equation}
De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente. De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente.
Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \racionales^3 \otimes \racionales^3 \rightarrow \racionales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso, Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \racionales^3 \otimes \racionales^3 \rightarrow \racionales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso,
\begin{equation*} \begin{equation*}
\phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases} \phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases}
@ -705,7 +836,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{equation*} \end{equation*}
Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado. Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$. Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como
@ -730,9 +861,9 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{equation*} \end{equation*}
Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial. Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$. Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$.
Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <<más grande>>, esto no tiene por qué ser así. Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <<más grande>>, esto no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
Consideremos $\racionales^3 \wedge \racionales^3 \wedge \racionales^3$. Los elementos son de la forma Consideremos $\racionales^3 \wedge \racionales^3 \wedge \racionales^3$. Los elementos son de la forma
@ -748,7 +879,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior} \begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior}
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. En particular, nótese que si $k > n$, entonces $\bigwedge^k V = \conjunto{0}$. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. En particular, nótese que si $k > n$, entonces $\bigwedge^k V = \conjunto{0}$.
\end{lema} \end{lema}
Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural. Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la \emph{aplicación exterior }$\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue: Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la \emph{aplicación exterior }$\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue:
@ -770,75 +901,29 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\qedhere \qedhere
\end{equation} \end{equation}
\end{proof} \end{proof}
\section{El rango}
En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
\begin{definicion}
Sea $A$ un dominio de integridad y $\sim$ la relación de equivalencia sobre $A\times \left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
\begin{equation*}
\cuerpofracciones{A} := \cociente{A\times \left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)}{\sim}
\end{equation*}
junto con las operaciones
\begin{equation*}
\frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta}
\end{equation*}
forma un cuerpo al cual llamaremos cuerpo de fracciones de $A$. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
\end{definicion}
El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
\begin{definicion}
Llamaremos \emph{extensión de escalares} del \modulo{A} $M$ al \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} $M \otimes \cuerpofracciones{A}$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
Sea $S$ un subconjunto de $A$ multiplicativamente cerrado. Definimos la \emph{localización de $M$ con respecto a $S$} como el \modulo{A}
\begin{equation*}
S^{-1}M := \definicionconjunto{\frac{m}{s}}{m \in M, s \in S},
\end{equation*}
donde $\frac{m}{s}$ denota la clase de equivalencia de $\left( m, s \right) \in M \times S$ con respecto a la relación de equivalencia\footnote{La definición de localización es, en realidad, más general: \begin{equation*}
\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff \exists\sigma \in S \ \text{tal que} \ \sigma\left( ms' - m's \right) = 0.
\end{equation*} Pero en para nosotros, como asumimos que no hay divisores del $0$, nuestra definición es suficiente.}
\begin{equation*}
\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff ms' = m's.
\end{equation*}
\end{definicion}
\begin{lema} \label{Lema Extensión es Inyección}
La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M \otimes \cuerpofracciones{A}$ dada por $m \mapsto m \otimes 1$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
\end{lema}
\begin{proof}
La aplicación $m \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{m}{q}$ de es un isomorfismo así podemos ver la extensión de escalares como $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ o $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)^{-1}M$ según nos convenga. En este caso, utilizaremos la segunda para ver que
\begin{align*}
\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
&\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
&\iff am \neq 0 \\
&\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.
\end{align*}
\end{proof}
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
\end{definicion}
Recordemos que ya en el Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos. Recordemos que ya en el Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos.
\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior Módulos} \begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior Módulos}
Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$. Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$.
\end{lema} \end{lema}
\begin{proof} \begin{proof}
Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\bigwedge^s M \otimes \cuerpofracciones{A}$ y $\bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$: Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right)_\mathrm{Q}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\left( \bigwedge^s M \right)_\mathrm{Q}$ y $\bigwedge^s\left( M_\mathrm{Q} \right)$:
\begin{align*} \begin{align*}
\bigwedge^sM \otimes \cuerpofracciones{A} &\longleftrightarrow \bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right) \\ \left( \bigwedge^sM \right)_\mathrm{Q} &\longleftrightarrow \bigwedge^s\left( M_\mathrm{Q} \right) \\
\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s \right) \otimes \frac{a}{b} &\longrightarrow \left( m_1 \otimes \frac{a}{b} \right) \wedge \left( m_2 \otimes 1 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes 1 \right) \\ \frac{a}{b}\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s \right) &\longrightarrow \left( \frac{a}{b} m_1\right) \wedge \left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \right) \\
\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s\right)\otimes \frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s} &\longleftarrow \left( m_1 \otimes \frac{a_1}{b_1} \right) \wedge \left( m_2 \otimes \frac{a_2}{b_2} \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes \frac{a_s}{b_s} \right) \frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s}\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s\right) &\longleftarrow \left( \frac{a_1}{b_1}m_1 \right) \wedge \left( \frac{a_2}{b_2}m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( \frac{a_s}{b_s} m_s \right)
\end{align*} \end{align*}
Aunque pudiera parecer que no es un isomorfismo puesto que los lados derechos no lucen iguales, recordemos que por las propiedades del producto tensorial y exterior y por ser ambos conjuntos \modulo{\cuerpofracciones{A}} tenemos que Aunque pudiera parecer que no es un isomorfismo puesto que los lados derechos no lucen iguales, recordemos que por las propiedades del producto tensorial y exterior y por ser ambos conjuntos \modulo{\cuerpofracciones{A}} tenemos que
\begin{align*} \begin{equation*}
\left( m_1 \otimes \frac{a_1}{b_1} \right) \wedge \left( m_2 \otimes \frac{a_2}{b_2} \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes \frac{a_s}{b_s} \right) &= \left[\frac{a_1}{b_1} \left( m_1 \otimes 1 \right) \right] \wedge \left[\frac{a_2}{b_2} \left( m_2 \otimes 1 \right) \right] \wedge \dots \wedge \left[\frac{a_s}{b_s} \left( m_s \otimes 1 \right) \right] \\ \left( \frac{a_1}{b_1}m_1 \right) \wedge \left( \frac{a_2}{b_2}m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( \frac{a_s}{b_s} m_s \right) = \left( \frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s}m_1 \right) \wedge \left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \right).
&= \frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s} \left( m_1 \otimes 1 \right) \wedge \left( m_2 \otimes 1 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes 1 \right) \\ \end{equation*}
&= \left( m_1 \otimes \frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s} \right) \wedge \left( m_2 \otimes 1 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes 1 \right). Ahora bien, por hipótesis $M_\mathrm{Q}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $n$ así que $\bigwedge^n \left( M_\mathrm{Q} \right)$ será también un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}, en este caso de rango $\binom{n}{s}$. Gracias al isomorfismo, $\left( \bigwedge^s M \right)_\mathrm{Q}$ es igualmente otro \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $\binom{n}{s}$ lo cual quiere decir que $M$ es de rango $\binom{n}{s}$.
\end{align*}
Ahora bien, por hipótesis $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $n$ así que $\bigwedge^n \left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$ será también un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}, en este caso de rango $\binom{n}{s}$. Gracias al isomorfismo, $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$ es igualmente otro \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $\binom{n}{s}$ lo cual quiere decir que $M$ es de rango $\binom{n}{s}$.
\end{proof} \end{proof}
\chapter{Bases de Gröbner y Sicigias} \label{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias} \chapter{Bases de Gröbner y Sicigias} \label{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}
A partir de este momento solo trabajaremos con módulos $\Kx^n$ ya que son los involucrados en el módulo de derivaciones. A partir de este momento solo trabajaremos con módulos $\Kx^n$ ya que son los involucrados en el módulo de derivaciones.
@ -853,7 +938,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{equation*} \end{equation*}
Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios de una variable que conocemos: Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios de una variable que conocemos:
\begin{equation*} \begin{equation*}
p = \underbrace{\left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)}_{\text{cociente $q$}} \underbrace{\left( x^2 - 5x + 6 \right)}_{\text{divisor $d$}} + \underbrace{7007x - 13511}_{\text{resto $r$}}. p = \left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)\left( x^2 - 5x + 6 \right) + 7007x - 13511.
\end{equation*} \end{equation*}
Por el Teorema de la División, sabemos que este resto es el único polinomio de \anillodepolinomios{\racionales}{x} que satisface $p = q d + r$ con grado menor que $d$. Por lo tanto, al no ser $0$, podemos afirmar que $p$ no está en \engendrado{f,g}. Por el Teorema de la División, sabemos que este resto es el único polinomio de \anillodepolinomios{\racionales}{x} que satisface $p = q d + r$ con grado menor que $d$. Por lo tanto, al no ser $0$, podemos afirmar que $p$ no está en \engendrado{f,g}.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
@ -871,17 +956,9 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
En resumen, para poder construir un algoritmo de la división más general necesitaremos tener un orden total dentro de los monomios para saber cómo ir construyendo el cociente, ver cómo dividir por más de un generador e integrar a las distintas componentes. En resumen, para poder construir un algoritmo de la división más general necesitaremos tener un orden total dentro de los monomios para saber cómo ir construyendo el cociente, ver cómo dividir por más de un generador e integrar a las distintas componentes.
\section{Órdenes monomiales} \section{Órdenes monomiales}
El concepto de orden monomial nos permite construir un orden total sobre los monomios de \Kx. Para poder definirlo bien, debemos identificar un monomio en $n$ variables con un vector en $\naturales^n$ que represente sus exponentes, es decir, El concepto de orden monomial nos permite construir un orden total sobre los monomios de \Kx. Para poder definirlo bien, debemos identificar un monomio en $n$ variables con un vector en $\naturales^n$ que represente sus exponentes, es decir, $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots x_n^{\alpha_n} \longleftrightarrow \left( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \right)$. Tomando $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$, notaremos $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$ como $x^\mathbf{\alpha}$. Así pues, un orden monomial se corresponde con un orden total en $\naturales^n$ de forma que sea compatible con la estructura de monoide que posee el conjunto de monomios.
\begin{equation*}
x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots x_n^{\alpha_n} \longleftrightarrow \left( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \right).
\end{equation*}
Tomando $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$, notaremos $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$ como $x^\mathbf{\alpha}$. Así pues, un orden monomial se corresponde con un orden total en $\naturales^n$ de forma que sea compatible con la estructura de monoide que posee el conjunto de monomios.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Un \emph{orden monomial} $>$ es un orden total sobre los monomios en $n$ variables que respeta la multiplicación, es decir, que satisface Un \emph{orden monomial} $>$ es un orden total sobre los monomios en $n$ variables que respeta la multiplicación, es decir, que satisface $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$ para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$.
\begin{equation*}
x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}
\end{equation*}
para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$.
\end{definicion} \end{definicion}
Sin embargo esta propiedad deja en el aire el papel del $1$. ¿Cómo debemos ordenarlo? Sin embargo esta propiedad deja en el aire el papel del $1$. ¿Cómo debemos ordenarlo?
\begin{definicion} \begin{definicion}
@ -894,34 +971,30 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{ejemplo}[Orden lexicográfico] \begin{ejemplo}[Orden lexicográfico]
Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal, Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal,
$x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$ si la primera componente no nula por la izquierda de $\alpha - \beta$ es positiva. Con los valores de antes, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$ ya que la primera componente de $\left( 3, 2, 4 \right) - \left( 2, 4, 4 \right) = \left( 1, -2, 0 \right)$ es positiva. $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$ si la primera componente no nula por la izquierda de $\alpha - \beta$ es positiva. Con los valores de antes, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$ ya que la primera componente de $\left( 3, 2, 4 \right) - \left( 2, 4, 4 \right) = \left( 1, -2, 0 \right)$ es positiva. Para referirnos a este orden en concreto utilizaremos \mayorquelex. Es fácil ver que es, en efecto, un orden monomial ya que si $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$, tendremos que la primera componente de $\mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ será positiva, y lo mismo ocurrirá con la de $\mathbf{\alpha} + \mathbf{\gamma} - \left( \mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma} \right) = \mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ por lo que $x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$.
Es fácil ver que este orden es, en efecto, un orden monomial ya que si $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$, tendremos que la primera componente de $\mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ será positiva, y lo mismo ocurrirá con la de $\mathbf{\alpha} + \mathbf{\gamma} - \left( \mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma} \right) = \mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ por lo que $x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$.
Para referirnos a este orden en concreto utilizaremos \mayorquelex.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
\begin{ejemplo}[Orden graduado-lexicográfico] \begin{ejemplo}[Orden graduado-lexicográfico]
En ocasiones no nos interesará ordenar los monomios con el orden lexicográfico puesto que no tiene en cuenta el grado: $x^2 > xy^{129}z^{34}$. Por lo tanto, podemos definir un orden que tenga en cuenta el grado; en particular, que primero ordene por el grado y, en caso de empate, utilice el orden lexicográfico: En ocasiones no nos interesará ordenar los monomios con el orden lexicográfico puesto que no tiene en cuenta el grado: $x^2 > xy^{129}z^{34}$. Por lo tanto, podemos definir un orden que tenga en cuenta el grado; en particular, que primero ordene por el grado y, en caso de empate, utilice el orden lexicográfico. Lo llamaremos <<graduado-lexicográfico>>:
\begin{equation*} \begin{equation*}
x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^\mathbf{\alpha} \mayorquedeglex x^\mathbf{\beta} \Longleftrightarrow \begin{cases}
\grado{x^\mathbf{\alpha}} > \grado{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \grado{x^\mathbf{\alpha}} = \grado{x^\mathbf{\beta}} \; \text{y} \; x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}. \grado{x^\mathbf{\alpha}} > \grado{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \grado{x^\mathbf{\alpha}} = \grado{x^\mathbf{\beta}} \; \text{y} \; x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
\end{cases} \end{cases}
\end{equation*} \end{equation*}
Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
Para poder generalizar estos órdenes a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix} Para poder generalizar estos órdenes a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
2xy + y^2 \\ x^3 \\ y 2xy + y^2 \\ x^3
\end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos + y\etres$. \end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos$.
\begin{definicion} \begin{definicion}
A las expresiones de la forma $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ con $i \in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace$ las llamaremos \emph{monomios} de \Kx. A las expresiones de la forma $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ con $i \in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace$ las llamaremos \emph{monomios} de \Kx.
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $>$ un orden monomial en \Kx. Un \emph{orden monomial de módulos} \mayorquemodulos{} es un orden total sobre los monomios de $\Kx^r$ que es compatible con la estructura de \modulo{\Kx} de $\Kx^r$ y con el orden $>$, es decir, que satisface Sea $>$ un orden monomial en \Kx. Un \emph{orden monomial de módulos} \mayorquemodulos{} es un orden total sobre los monomios de $\Kx^r$ que es compatible con la estructura de \modulo{\Kx} de $\Kx^r$ y con el orden $>$, es decir, que satisface
\begin{itemize} \begin{equation*}
\item $x^{\mathbf{\alpha}}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^{\mathbf{\beta}}\vectorbasecanonica{j} \implies x^{\mathbf{\alpha}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^{\mathbf{\beta}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{j}\quad$ y \begin{cases}
\item $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$ x^{\mathbf{\alpha}}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^{\mathbf{\beta}}\vectorbasecanonica{j} \implies x^{\mathbf{\alpha}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^{\mathbf{\beta}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{j}\quad \text{y} \\
\end{itemize} x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}
para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^n$ e $i$ y $j$ en $\left\lbrace 1, \dots, r \right\rbrace$. Por lo general, omitiremos el subíndice <<$\mathrm{m\acute{o}d}$>> ya que se sobreentenderá que estamos tratando con módulos. \end{cases} \forall \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta},\mathbf{\gamma} \in \naturales \ \forall i, j \in \left\lbrace 1, \dots, r \right\rbrace.
\end{equation*}Por lo general, omitiremos el subíndice <<$\mathrm{m\acute{o}d}$>> por claridad.
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
Una manera de extender el orden monomial \mayorquelex{} a los monomios de $\Kx^n$ es ordenar primero en función de la posición, haciendo que las primeras posiciones vayan antes que las últimas ---por ejemplo $\vectorbasecanonica{2} > \vectorbasecanonica{3}$---, y si hubiese un empate, entonces se utilizase el orden \mayorquelex. Así definimos el siguiente orden monomial de módulos: Una manera de extender el orden monomial \mayorquelex{} a los monomios de $\Kx^n$ es ordenar primero en función de la posición, haciendo que las primeras posiciones vayan antes que las últimas ---por ejemplo $\vectorbasecanonica{2} > \vectorbasecanonica{3}$---, y si hubiese un empate, entonces se utilizase el orden \mayorquelex. Así definimos el siguiente orden monomial de módulos:
@ -984,18 +1057,18 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
& & & & & \tiny $\uparrow$ 3\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 4\textsuperscript{a} iteración & & \\ & & & & & \tiny $\uparrow$ 3\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 4\textsuperscript{a} iteración & & \\
\end{block} \end{block}
\end{blockarray} \end{blockarray}
\vspace{-0.4cm}
\end{center} \end{center}
\begin{description}[wide, leftmargin=0pt,itemindent=6pt] \begin{description}[wide, leftmargin=0pt,itemindent=6pt]
\item[1\textsuperscript{a} iteración:] reducimos $D$ dos veces, lo cual se corresponde con dos ejecuciones del bucle interno o las dos primeras restas que aparecen arriba. Después, eliminamos el término líder de $D$, $2x^2y\edos$, ya que no es divisible por $\LM{x^2\euno + 2y\etres} = x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos$. \item[1\textsuperscript{a} iteración:] reducimos $D$ dos veces, lo cual se corresponde con dos ejecuciones del bucle interno o las dos primeras restas que aparecen arriba. Después, eliminamos el término líder de $D$, $2x^2y\edos$, ya que no es divisible por $\LM{x^2\euno + 2y\etres} = x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos$.
\item[2\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-6x^2y\etres$, sigue sin ser divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos este de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres$. \item[2\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-6x^2y\etres$, sigue sin ser divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos este de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres$.
\item[3\textsuperscript{a} iteración:] reducimos una vez. Después, eliminamos el término líder de $D$, $-4xy\etres$, ya que no es divisible por $x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = -2y\etres$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres$. \item[3\textsuperscript{a} iteración:] reducimos una vez. Después, eliminamos el término líder de $D$, $-4xy\etres$, ya que no es divisible por $x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = -2y\etres$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres$.
\item[4\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-2y\etres$, el último que queda, no es divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos el término líder de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = 0$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres - 2y\etres$. Al ser ya $D = 0$, el algoritmo para. \item[4\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-2y\etres$, el último que queda, no es divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos el término líder de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = 0$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres - 2y\etres$. Al ser ya $D = 0$, el algoritmo para y nos queda
\begin{equation*}
f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g + 2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres
\end{equation*}
donde ninguno de los términos en $r$ es divisible por \LT{g}.
\end{description} \end{description}
Queda por lo tanto
\begin{equation*}
f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g + \underbrace{2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres}_{\text{resto $r$}}
\end{equation*}
donde ninguno de los términos en $r$ es divisible por \LT{g}.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
A partir de este algoritmo, podemos generalizar más para afrontar un número finito de divisores. La clave para esta generalización será buscar entre estos divisores a alguno que pudiera reducir $D$ y, caso de encontrarlo, reducir por ese. Puede que haya casos donde haya más de un divisor que pueda reducir, en cuyo caso se puede escoger el que se prefiera. A partir de este algoritmo, podemos generalizar más para afrontar un número finito de divisores. La clave para esta generalización será buscar entre estos divisores a alguno que pudiera reducir $D$ y, caso de encontrarlo, reducir por ese. Puede que haya casos donde haya más de un divisor que pueda reducir, en cuyo caso se puede escoger el que se prefiera.
@ -1028,10 +1101,7 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
Para entender bien lo que ocurre en este ejemplo, necesitamos el siguiente objeto. Para entender bien lo que ocurre en este ejemplo, necesitamos el siguiente objeto.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El\emph{ \submodulo{\Kx} de los monomios líderes} de $G$ lo denotaremos por Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El\emph{ \submodulo{\Kx} de los monomios líderes} de $G$ lo denotaremos por $\LM{N} := \engendrado{\LM{g} \vert g \in N}$.
\begin{equation*}
\LM{N} := \engendrado{\LM{g} \vert g \in N}.
\end{equation*}
\end{definicion} \end{definicion}
¿Qué es lo que ocurre en el Ejemplo~\ref{Ejemplo Fallo División}? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$. ¿Qué es lo que ocurre en el Ejemplo~\ref{Ejemplo Fallo División}? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$.
@ -1068,6 +1138,7 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\begin{teorema} \label{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner} \begin{teorema} \label{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ y sea $G = \left\lbrace g_1, g_2, \dots, g_k \right\rbrace$ una base de Gröbner de $N$. Un elemento $f$ de $\Kx^r$ pertenece a $N$ si y solo si el resto de $f$ dividido por $G$ según el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Compuesta} es $0$. Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ y sea $G = \left\lbrace g_1, g_2, \dots, g_k \right\rbrace$ una base de Gröbner de $N$. Un elemento $f$ de $\Kx^r$ pertenece a $N$ si y solo si el resto de $f$ dividido por $G$ según el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Compuesta} es $0$.
\end{teorema} \end{teorema}
\vspace{-0.3cm}
\begin{proof} \begin{proof}
Como ya mencionamos antes, si el resto es $0$ sabemos que $f \in N$. Asumamos ahora que el resto no es $0$. Eso quiere decir que en alguna iteración nos hemos encontrado con que $\LM{D}$ no es divisible por ninguno de los $\LM{g_i}$. En todo momento, $D$ es de la forma $f - g$ donde $g$ es una combinación lineal de los elementos de $G$ ---los cocientes por los divisores---. Por lo tanto, si $\LM{D}$ no pertenece a \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}, como $G$ es una base de Gröbner, tampoco pertenecerá a $\LM{N}$ y, por lo tanto, $f-g = D \notin N$ lo cual, como $g$ sí que pertenece a $N$, es equivalente a decir que $f \notin N$. Como ya mencionamos antes, si el resto es $0$ sabemos que $f \in N$. Asumamos ahora que el resto no es $0$. Eso quiere decir que en alguna iteración nos hemos encontrado con que $\LM{D}$ no es divisible por ninguno de los $\LM{g_i}$. En todo momento, $D$ es de la forma $f - g$ donde $g$ es una combinación lineal de los elementos de $G$ ---los cocientes por los divisores---. Por lo tanto, si $\LM{D}$ no pertenece a \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}, como $G$ es una base de Gröbner, tampoco pertenecerá a $\LM{N}$ y, por lo tanto, $f-g = D \notin N$ lo cual, como $g$ sí que pertenece a $N$, es equivalente a decir que $f \notin N$.
\end{proof} \end{proof}
@ -1080,6 +1151,7 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\frac{a}{\LC{f}}f - \frac{b}{\LC{g}}g &\text{si $i = j$;} \\ \frac{a}{\LC{f}}f - \frac{b}{\LC{g}}g &\text{si $i = j$;} \\
0 &\text{si $i \neq j$.} 0 &\text{si $i \neq j$.}
\end{cases} \end{cases}
\vspace{-0.3cm}
\end{equation*} \end{equation*}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
Sean $f = 3x^2y\euno + 2x\edos$ y $g = 13x\euno + y^5\edos$ elementos de $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^2$ con el orden \mayorquelexpos. Como $\LM{f} = x^2y\euno$ y $\LM{g} = x\euno$ están en la misma componente ---\euno---, y $\mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right) = x^2y = \LM{f} = xy\LM{g}$, tenemos que Sean $f = 3x^2y\euno + 2x\edos$ y $g = 13x\euno + y^5\edos$ elementos de $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^2$ con el orden \mayorquelexpos. Como $\LM{f} = x^2y\euno$ y $\LM{g} = x\euno$ están en la misma componente ---\euno---, y $\mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right) = x^2y = \LM{f} = xy\LM{g}$, tenemos que
@ -1103,41 +1175,32 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\end{algorithmic} \end{algorithmic}
Al final del algoritmo, $\left\lbrace d_1, \dots, d_t \right\rbrace$ es una base de Gröbner de $N$. Al final del algoritmo, $\left\lbrace d_1, \dots, d_t \right\rbrace$ es una base de Gröbner de $N$.
\end{definicion} \end{definicion}
El funcionamiento de este algoritmo se sustenta en dos pilares. El primero es que, como cada vez que añadimos un nuevo elemento este es un resto cuyo término líder por definición no es múltiplo de ningún \LM{d_i}, tenemos que los \submodulo{\Kx} \engendrado{\LM{d_1}, \dots, \LM{d_t}} forman una cadena ascendente la cual, por ser $\Kx^r$ noetheriano, debe finalizar en algún momento. Por esto mismo, el algoritmo termina. El segundo es el Teorema~\ref{Criterio de Buchberger}, que nos garantiza que cuando este algoritmo pare, el conjunto que tendremos será una base de \Groebner. El funcionamiento de este algoritmo se sustenta en dos pilares. El primero es que, como cada vez que añadimos un nuevo elemento este es un resto cuyo término líder por definición no es múltiplo de ningún \LM{d_i}, tenemos que los \submodulo{\Kx} \engendrado{\LM{d_1}, \dots, \LM{d_t}} forman una cadena ascendente la cual, por ser $\Kx^r$ noetheriano, debe finalizar en algún momento. Por esto mismo, el algoritmo termina. El segundo es el Teorema~\ref{Criterio de Buchberger} (véase \cite[Teorema 1.7.3 y 2.5.9]{SINGULARLIBRO} para la demostración), que nos garantiza que cuando este algoritmo pare, el conjunto que tendremos será una base de \Groebner.
\begin{teorema}[criterio de Buchberger] \label{Criterio de Buchberger} \begin{teorema}[criterio de Buchberger] \label{Criterio de Buchberger}
Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$, este último equipado con un orden monomial de módulos $>$. $G$ es una base de Gröbner de \engendrado{G} si y solo si para toda pareja de elementos $f$ y $g$ en $G$ se tiene que el resto de $\spoly{f}{g} = 0$ entre $G$ es $0$. Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$, este último equipado con un orden monomial de módulos $>$. $G$ es una base de Gröbner de \engendrado{G} si y solo si para toda pareja de elementos $f$ y $g$ en $G$ se tiene que el resto de $\spoly{f}{g} = 0$ entre $G$ es $0$.
\end{teorema} \end{teorema}
\begin{proof}
Véase el apéndice \ref{Apéndice Demostración del Criterio de Buchberger}.\todo[inline]{Creo que es mejor gastar energía en otras cosas.}
\end{proof}
Un ejemplo de cálculo de base de \Groebner{} puede encontrarse en apéndice \ref{Sección A mano}.
\section{Sicigias} \section{Sicigias}
En la sección anterior hemos solucionado el problema de pertenencia a un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$, pero necesitamos conocer los generadores de este submódulo. Por lo tanto, hasta el momento solo hemos resuelto la mitad del problema ya que para $\derivaciones{f}$ todavía no sabemos calcular todavía un conjunto de generadores. Para poder hacer esto, introducimos el concepto de sicigia, una noción que extiende el concepto de solución de un sistema lineal en el caso de un espacio vectorial. En la sección anterior hemos solucionado el problema de pertenencia a un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$, pero necesitamos conocer los generadores de este submódulo. Por lo tanto, hasta el momento solo hemos resuelto la mitad del problema ya que para $\derivaciones{f}$ todavía no sabemos calcular todavía un conjunto de generadores. Para poder hacer esto, introducimos el concepto de sicigia, una noción que extiende el concepto de solución de un sistema lineal en el caso de un espacio vectorial.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Una sicigia de los elementos $f_1, f_2, \dots, f_k$ es una \nolbreaks{$k$-tupla} $\left( g_1, g_2, \dots, g_k \right)$ de $A^k$ de forma que $f_1g_1 + f_2g_2 + \dots + f_kg_k = 0$. Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Una sicigia de los elementos $f_1, f_2, \dots, f_k$ es una \nolbreaks{$k$-tupla} $\left( g_1, g_2, \dots, g_k \right)$ de $A^k$ de forma que $f_1g_1 + f_2g_2 + \dots + f_kg_k = 0$.
\end{definicion} \end{definicion}
Nótese que el conjunto de sicigias de $f_1, f_2, \dots, f_k$ forma un \submodulo{A} de $A^k$ puesto que es el kernel del homomorfismo de \modulo{A}s Nótese que el conjunto de sicigias de $f_1, f_2, \dots, f_k$ forma un \submodulo{A} de $A^k$ puesto que es el kernel del homomorfismo de \modulo{A}s
\begin{equation} \label{Definición Funcón Sicigias} \vspace{-0.5cm}\begin{equation} \label{Definición Funcón Sicigias}
\begin{tikzcd}[row sep=0pt,/tikz/column 1/.append style={anchor=base east},/tikz/column 2/.append style={anchor=base west}] \begin{tikzcd}[row sep=0pt,/tikz/column 1/.append style={anchor=base east},/tikz/column 2/.append style={anchor=base west}]
A^k\rar["\sigma"]&M\\ A^k\rar["\sigma"]&M\\
a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2f_2 + \dots + a_kf_k a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2f_2 + \dots + a_kf_k
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\vspace{-0.3cm}
\end{equation} \end{equation}
Con la definición, ya podemos dar por respondida la primera pregunta que nos hacíamos en la introducción: ¿qué es \derivaciones{f}? Con la definición, ya podemos dar por respondida la primera pregunta que nos hacíamos en la introducción: ¿qué es \derivaciones{f}?
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Denotaremos por $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$ \emph{al \submodulo{A} de $A^k$ formado por todas las sicigias de} $f_1, f_2, \dots, f_k$. Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Denotaremos por $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$ \emph{al \submodulo{A} de $A^k$ formado por todas las sicigias de} $f_1, f_2, \dots, f_k$.
\end{definicion} \end{definicion}
Vemos que \derivaciones{f}, tal y como está definido en \eqref{Definicion Modulo Derivaciones de f} puede expresarse prácticamente como un módulo de sicigias: Vemos que \derivaciones{f}, tal y como está definido en \eqref{Definicion Modulo Derivaciones de f} puede expresarse prácticamente como un módulo de sicigias:
\begin{align*} \begin{align*}
\derivaciones{f} &= \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_1\partial_1f + a_2\partial_2f + \dots + a_n\partial_nf = pf, p \in \Kx}; \\ \derivaciones{f} &= \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_1\partial_1f + a_2\partial_2f + \dots + a_n\partial_nf - pf = 0, p \in \Kx}; \\
\intertext{recordemos que podemos ver $\partial_i$ como \vectorbasecanonica{i};} &\simeq \definicionconjunto{\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) \in \Kx^n}{\left( a_1, a_2, \dots, a_n, p \right) \in \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f}, p \in \Kx}.
&\simeq \definicionconjunto{\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) \in \Kx^n}{a_1\partial_1f + a_2\partial_2f + \dots + a_n\partial_nf - pf = 0, p \in \Kx} \\
&= \definicionconjunto{\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) \in \Kx^n}{\left( a_1, a_2, \dots, a_n, p \right) \in \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f}, p \in \Kx}.
\end{align*} \end{align*}
Por lo tanto, para calcular \derivaciones{f} obtendremos primero \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f} y nos olvidaremos de la última componente. Ahora nuestro objetivo será calcular sicigias, para lo cual necesitaremos dos resultados. El primero nos permite restringir una base de Gröbner a solamente unas coordenadas. Por lo tanto, para calcular \derivaciones{f} obtendremos primero \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f} y nos olvidaremos de la última componente. Ahora nuestro objetivo será calcular sicigias, para lo cual necesitaremos dos resultados. El primero nos permite restringir una base de Gröbner a solamente unas coordenadas.
\begin{lema} \label{Lema Restricción Groebner} \begin{lema} \label{Lema Restricción Groebner}
@ -1149,11 +1212,12 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{cases} \quad \text{donde $>'$ es un orden monomial.} \end{cases} \quad \text{donde $>'$ es un orden monomial.}
\end{equation} \end{equation}
Es decir, un orden que mira primero la posición en el orden usual. Sea $M$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$ y $G$ una base de \Groebner{} de este con respecto al orden $>$. Entonces, para el módulo restringido a las componentes a partir de la \nolbreaks{$s$-ésima}, es decir, Es decir, un orden que mira primero la posición en el orden usual. Sea $M$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$ y $G$ una base de \Groebner{} de este con respecto al orden $>$. Entonces, para el módulo restringido a las componentes a partir de la \nolbreaks{$s$-ésima}, es decir,
\begin{equation*} \vspace{-0.4cm}\begin{equation*}
M_{s} := \Big\lbrace\left.\vectorhorizontalcuatro{m_s}{m_{s+1}}{\dots}{m_n} \right\rvert (\underbrace{0, 0, \dots, 0}_{s-1}, m_s, m_{s+1}, \dots, m_n) \in M \Big\rbrace, M_{s} := \Big\lbrace\left.\vectorhorizontalcuatro{m_s}{m_{s+1}}{\dots}{m_n} \right\rvert (\overbrace{0, 0, \dots, 0}^{s-1}, m_s, m_{s+1}, \dots, m_n) \in M \Big\rbrace,
\end{equation*} \end{equation*}
el conjunto $G_s$ es una base de \Groebner{} con respecto al orden $>$. el conjunto $G_s$ es una base de \Groebner{} con respecto al orden $>$.
\end{lema} \end{lema}
\vspace{-0.3cm}
\begin{proof} \begin{proof}
Tomemos un $f_s = \vectorhorizontalcuatro{f_s}{f_{s+1}}{\dots}{f_n}$ en $M_s$. Por definición, este tiene un elemento asociado en $M$, $f = \left( 0, 0, \dots, 0, f_s, f_{s+1}, \dots, f_m \right)$. Al ser $G$ una base de \Groebner{} de $M$, tendremos que habrá algún $g \in G$ de forma que $\LM{g} \vert \LM{f}$. Ahora bien, por la condición que satisface el orden, sabemos que todos los términos de $g$ deben encontrarse en la \nolbreaks{$s$-ésima} componente o por debajo, lo cual nos garantiza que $g = \left( 0, 0, \dots, 0, g_s, g_{s+1}, \dots, g_n \right)$. Gracias a esto, sabemos que también se cumplirá que $\LM{g_s} \vert \LM{f_s}$ y, como $G_s \subseteq M_s$, esto es equivalente a que $\LM{M_s} = \engendrado{\LM{G}}$ lo cual nos garantiza que $G_s$ es base de \Groebner{} con respecto a este orden. Tomemos un $f_s = \vectorhorizontalcuatro{f_s}{f_{s+1}}{\dots}{f_n}$ en $M_s$. Por definición, este tiene un elemento asociado en $M$, $f = \left( 0, 0, \dots, 0, f_s, f_{s+1}, \dots, f_m \right)$. Al ser $G$ una base de \Groebner{} de $M$, tendremos que habrá algún $g \in G$ de forma que $\LM{g} \vert \LM{f}$. Ahora bien, por la condición que satisface el orden, sabemos que todos los términos de $g$ deben encontrarse en la \nolbreaks{$s$-ésima} componente o por debajo, lo cual nos garantiza que $g = \left( 0, 0, \dots, 0, g_s, g_{s+1}, \dots, g_n \right)$. Gracias a esto, sabemos que también se cumplirá que $\LM{g_s} \vert \LM{f_s}$ y, como $G_s \subseteq M_s$, esto es equivalente a que $\LM{M_s} = \engendrado{\LM{G}}$ lo cual nos garantiza que $G_s$ es base de \Groebner{} con respecto a este orden.
\end{proof} \end{proof}
@ -1163,7 +1227,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{teorema} \label{Teorema Calculo Sicigias} \begin{teorema} \label{Teorema Calculo Sicigias}
Sean $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $\Kx^r$ y sean $f_1^+, f_2^+, \dots, f_k^+$ los correspondientes elementos en $\Kx^{r+k}$ pero en este caso por el principio, es decir, si $f_i = \vectorhorizontalcuatro{a_1}{a_2}{\dots}{a_r}$ entonces Sean $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $\Kx^r$ y sean $f_1^+, f_2^+, \dots, f_k^+$ los correspondientes elementos en $\Kx^{r+k}$ pero en este caso por el principio, es decir, si $f_i = \vectorhorizontalcuatro{a_1}{a_2}{\dots}{a_r}$ entonces
\begin{equation*} \begin{equation*}
f_i^+ = (a_1, a_2, \dots, a_r, \underbrace{0, 0, \dots, 0}_{k}). f_i^+ = (a_1, a_2, \dots, a_r, 0, 0, \dots, 0) \in \Kx^{r+k}.
\end{equation*} \end{equation*}
Entonces, si $G$ es una base de \Groebner{} de $M := \engendrado{f_1^+ + \vectorbasecanonica{r + 1}, f_2^+ + \vectorbasecanonica{r + 2}, \dots, f_k^+ + \vectorbasecanonica{r + k}}$ con respecto a un orden $>$ que satisfaga la condición \eqref{Condición Orden Eliminación}, se tiene que ---siguiendo la notación introducida en el Lema~\ref{Lema Restricción Groebner}--- Entonces, si $G$ es una base de \Groebner{} de $M := \engendrado{f_1^+ + \vectorbasecanonica{r + 1}, f_2^+ + \vectorbasecanonica{r + 2}, \dots, f_k^+ + \vectorbasecanonica{r + k}}$ con respecto a un orden $>$ que satisfaga la condición \eqref{Condición Orden Eliminación}, se tiene que ---siguiendo la notación introducida en el Lema~\ref{Lema Restricción Groebner}---
\begin{equation*} \begin{equation*}
@ -1171,6 +1235,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*} \end{equation*}
En particular, $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} con respecto al orden $>$. En particular, $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} con respecto al orden $>$.
\end{teorema} \end{teorema}
\vspace{-0.3cm}
\begin{proof} \begin{proof}
Por el lema anterior sabemos que $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de $M_{r+1}$. Queda pues comprobar que $M_{r+1} = \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. Supongamos\footnote{Para que el lector sepa en todo momento cuándo un elemento está en $\Kx^{r+k}$ o $\Kx^{k}$, utilizamos el subíndice en el elemento dándole consistencia con la notación utilizada en el lema anterior. Pero este no debe ser interpretado de forma distinta que si pusiéramos $m'$ o $\overline{m}$; es decir, el subíndice sobre un elemento no debe verse como el resultado de una <<proyección>>.} que $m_{r+1} = \left(\mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M_{r+1}$, entonces existe un elemento asociado $m = \left( 0, 0, \dots, 0, \mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M$. Podemos expresar $m$ de dos formas, una en términos de los vectores de la base canónica y otra en términos de los $f_i^+ + \vectorbasecanonica{r + i}$ que generan $M$: Por el lema anterior sabemos que $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de $M_{r+1}$. Queda pues comprobar que $M_{r+1} = \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. Supongamos\footnote{Para que el lector sepa en todo momento cuándo un elemento está en $\Kx^{r+k}$ o $\Kx^{k}$, utilizamos el subíndice en el elemento dándole consistencia con la notación utilizada en el lema anterior. Pero este no debe ser interpretado de forma distinta que si pusiéramos $m'$ o $\overline{m}$; es decir, el subíndice sobre un elemento no debe verse como el resultado de una <<proyección>>.} que $m_{r+1} = \left(\mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M_{r+1}$, entonces existe un elemento asociado $m = \left( 0, 0, \dots, 0, \mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M$. Podemos expresar $m$ de dos formas, una en términos de los vectores de la base canónica y otra en términos de los $f_i^+ + \vectorbasecanonica{r + i}$ que generan $M$:
\begin{align*} \begin{align*}
@ -1192,7 +1257,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así. En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo} \label{Ejemplo de No Tener Base}
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que
\begin{equation*} \begin{equation*}
p_1a_1 + p_2a_2 + \dots + p_ka_k = x \quad \text{y} \quad q_1a_1 + q_2a_2 + \dots + q_ka_k = y. p_1a_1 + p_2a_2 + \dots + p_ka_k = x \quad \text{y} \quad q_1a_1 + q_2a_2 + \dots + q_ka_k = y.
@ -1203,7 +1268,6 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*} \end{equation*}
Ahora bien, por ser $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$ una base, necesariamente tendremos que $yp_i = xq_i$ para todo $i$. Como $\mcd{x, y} = 1$, es necesario que $p_i = xp_i'$. Esto nos lleva a que Ahora bien, por ser $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$ una base, necesariamente tendremos que $yp_i = xq_i$ para todo $i$. Como $\mcd{x, y} = 1$, es necesario que $p_i = xp_i'$. Esto nos lleva a que
\begin{align*} \begin{align*}
xp_1'a_1 + xp_2'a_2 + \dots + xp_k'a_k &= x \\
x\left( p_1'a_1 + p_2a_2' + \dots + p_k'a_k \right) &= x, \\ x\left( p_1'a_1 + p_2a_2' + \dots + p_k'a_k \right) &= x, \\
\intertext{El anillo $\Kx$ es un dominio de integridad por lo que podemos simplificar,} \intertext{El anillo $\Kx$ es un dominio de integridad por lo que podemos simplificar,}
p_1'a_1 + p_2a_2' + \dots + p_k'a_k &= 1. p_1'a_1 + p_2a_2' + \dots + p_k'a_k &= 1.
@ -1217,40 +1281,36 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{teorema} \end{teorema}
En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en \cite{VALLES}. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración. En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en \cite{VALLES}. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración.
% A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación:
% \begin{gather*}
% \text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
% \text{$M$ módulo libre} \ \xLeftarrow[\substack{\text{Teorema de Quillen-Suslin} \\ \text{\cite{ALGEBRA} }}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \ \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo}
% \end{gather*}
% Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. Más que solucionar nuestro problema, estos resultados nos sirven para ilustrar la gran dificultad que supone garantizar que un módulo reflexivo sea libre.
\section{Demostración del Criterio de Saito}
A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación: \section{Comienzo de la demostración}
\begin{gather*} Puede encontrarse en \cite[corolario 1.7]{SAITO} una demostración de que \derivaciones{f} es un módulo reflexivo de rango $n$. Siguiendo el esquema siguiente, tenemos que \derivaciones{f} es libre de torsión, pero necesitaríamos que tuviese rango $1$ para continuar hacia delante. Lo que haremos será estudiar el módulo $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ para reducir este rango y poder continuar.
\text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\text{$M$ módulo libre} \ \xLeftarrow[\substack{\text{Teorema de Quillen-Suslin} \\ \text{\cite{ALGEBRA} }}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \ \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo}
\end{gather*}
Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. Más que solucionar nuestro problema, estos resultados nos sirven para ilustrar la gran dificultad que supone garantizar que un módulo reflexivo sea libre.
\subsection{Comienzo de la demostración}
Puede encontrarse en \cite[corolario 1.7]{SAITO} una demostración de que \derivaciones{f} es un módulo reflexivo de rango $n$. Siguiendo el esquema, tenemos que \derivaciones{f} es libre de torsión, pero necesitaríamos que tuviese rango $1$ para continuar hacia delante. Lo que haremos será estudiar el módulo $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ para reducir este rango y poder continuar.
Esta cadena de implicaciones que recogemos aquí nos será muy útil a lo largo de esta demostración: Esta cadena de implicaciones que recogemos aquí nos será muy útil a lo largo de esta demostración:
\begin{gather} \label{Esquema Demostración} \begin{gather} \label{Esquema Demostración}
\left.\begin{aligned} \left.\begin{aligned}
\left.\begin{aligned} \left.\begin{aligned}
\text{$M$ módulo reflexivo} \xRightarrow{\text{\cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AV0}{Tag 0AV0}]{STACKS}}} \text{$M$ libre de torsión}& \\ \text{$M$ módulo reflexivo} \implies \text{$M$ libre de torsión}& \\
\text{$M$ de rango 1}& \text{$M$ de rango 1}&
\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un ideal de $\Kx$}& \\ \end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un ideal de $\Kx$}& \\
\text{$M$ es reflexivo} \text{$M$ es reflexivo}
\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un módulo libre} \end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un módulo libre}
\end{gather} \end{gather}
El Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior Módulos} nos garantiza que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} reflexivo de rango $1$. Siguiendo el esquema en \ref{Esquema Demostración}, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es también libre de torsión y, por lo tanto, $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es isomorfo a un ideal de \Kx. Por último, aplicando la última de las implicaciones, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} libre y además de rango $1$. Sumado a esto tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \submodulo{\Kx} de $\bigwedge^n \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$, por lo tanto, $\derivaciones{f} = \engendrado{p \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$ para algún $p$. Nótese que este $p$ está bien definido salvo por alguna unidad de \Kx, es decir, tanto nos daría poner $p$ que $kp$ siempre y cuando exista $k^{-1} \in \Kx$. El Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior Módulos} nos garantiza que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} reflexivo de rango $1$. Siguiendo el esquema en \ref{Esquema Demostración}, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es también libre de torsión y, por lo tanto, $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es isomorfo a un ideal de \Kx. Por último, aplicando la última de las implicaciones, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} libre y además de rango $1$. Sumado a esto tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \submodulo{\Kx} de $\bigwedge^n \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$, por lo tanto, $\derivaciones{f} = \engendrado{p \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$ para algún $p$. Nótese que este $p$ está bien definido salvo por alguna unidad de \Kx, es decir, tanto nos daría poner $p$ que $kp$ siempre y cuando exista $k^{-1} \in \Kx$.
Ahora bien, recordemos la sucesión exacta \eqref{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}. Podemos aplicar productos exteriores a los elementos, pero esto hace que la sucesión pueda dejar de ser exacta. Sin embargo, habrá un homomorfismo Ahora bien, recordemos la sucesión exacta \eqref{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}. Podemos aplicar productos exteriores a los elementos, pero esto hace que la sucesión pueda dejar de ser exacta. Sin embargo, habrá un homomorfismo
\begin{equation*} \vspace{-0.2cm}\begin{equation*}
\bigwedge^n \derivaciones{f} \xrightarrow{\bigwedge^n \Phi} \bigwedge^n \derivaciones{\Kx}. \textstyle \bigwedge^n \derivaciones{f} \xrightarrow{\bigwedge^n \Phi} \bigwedge^n \derivaciones{\Kx}.
\end{equation*} \vspace{-0.15cm}\end{equation*}
Recordemos lo que ocurría en \ref{Aparición Determinante Función Exterior}. De forma similar, aquí tendremos que $\bigwedge^n \Phi$ se corresponde con multiplicar por el escalar $p$ ---o $up$ donde $u$ es una unidad de \Kx---. Sin embargo, el hecho de que no tengamos base de \derivaciones{f} impide que se pueda ver $\Phi$ como una matriz. Aun así, nos permitimos el abuso de notación de llamar $\det\Phi := p$, pero no es más que una convención, no se trata de un determinante de una matriz como ocurre en el caso de las aplicaciones entre espacios vectoriales. Tenemos pues que $\bigwedge^n\derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$. Recordemos lo que ocurría en \ref{Aparición Determinante Función Exterior}. De forma similar, aquí tendremos que $\bigwedge^n \Phi$ se corresponde con multiplicar por el escalar $p$ ---o $up$ donde $u$ es una unidad de \Kx---. Sin embargo, el hecho de que no tengamos base de \derivaciones{f} impide que se pueda ver $\Phi$ como una matriz. Aun así, nos permitimos el abuso de notación de llamar $\det\Phi := p$, pero no es más que una convención, no se trata de un determinante de una matriz como ocurre en el caso de las aplicaciones entre espacios vectoriales. Tenemos pues que $\bigwedge^n\derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$.
\subsection{\derivaciones{f} libre implica $\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$} \section{\derivaciones{f} libre implica $\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$}
Ahora, por un lado, definamos $N := \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n}$ como un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{f} donde los $\delta_i$ forman una base de \derivaciones{f} y consideremos la inclusión $N \xrightarrow{\iota} \derivaciones{f}$. Para aclararnos algo más, escribimos el siguiente esquema de los homomorfismos ---¡ojo!, esto no es una sucesión exacta---: Ahora, por un lado, definamos $N := \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n}$ como un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{f} donde los $\delta_i$ forman una base de \derivaciones{f} y consideremos la inclusión $N \xrightarrow{\iota} \derivaciones{f}$. Para aclararnos algo más, escribimos el siguiente esquema de los homomorfismos ---¡ojo!, esto no es una sucesión exacta---:
\begin{equation}\label{Secuencia Demostración Saito} \begin{equation}\label{Secuencia Demostración Saito}
N = \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n} \xrightarrow{\phantom{s}\iota\phantom{s}} \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi\phantom{s}} \derivaciones{\Kx}. N = \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n} \xrightarrow{\phantom{s}\iota\phantom{s}} \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi\phantom{s}} \derivaciones{\Kx}.
@ -1269,19 +1329,17 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*} \end{equation*}
Vemos\footnote{De nuevo, recordemos que $\det\Phi$ no es el determinante de una matriz, sino una convención que hemos explicado antes. Por otro lado, $\det\left( \Phi \circ \iota \right)$ sí que es el determinante de una matriz ya que tanto $N$ como \derivaciones{\Kx} son módulos libres.} por ella que $\det\left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = \det A$. Como $\iota$ es un monomorfismo, puede representarse como una matriz que tiene inversa en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$ y por la regla de Cramer\footnote{Por si no la recordamos, esta dice que toda matriz $C$ inversible cumple que $C^{-1} = \frac{1}{\det C} \mathrm{adj}\!\left( C \right)$, con $\mathrm{adj}\!\left( C \right)$ la matriz de adjuntos.} para la matriz inversa, $\det i$ debe ser unidad de \Kx. Vemos\footnote{De nuevo, recordemos que $\det\Phi$ no es el determinante de una matriz, sino una convención que hemos explicado antes. Por otro lado, $\det\left( \Phi \circ \iota \right)$ sí que es el determinante de una matriz ya que tanto $N$ como \derivaciones{\Kx} son módulos libres.} por ella que $\det\left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = \det A$. Como $\iota$ es un monomorfismo, puede representarse como una matriz que tiene inversa en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$ y por la regla de Cramer\footnote{Por si no la recordamos, esta dice que toda matriz $C$ inversible cumple que $C^{-1} = \frac{1}{\det C} \mathrm{adj}\!\left( C \right)$, con $\mathrm{adj}\!\left( C \right)$ la matriz de adjuntos.} para la matriz inversa, $\det i$ debe ser unidad de \Kx.
\subsubsection{El valor del determinante} Nos dedicaremos ahora a obtener el valor del determinante. Por un lado, fijamos $f\partial_i \in \derivaciones{f}$; y por otro, definimos $\dertheta{i}{j} := \diffp{f}{x_i}\partial_j - \diffp{f}{x_j}\partial_i \in \derivaciones{f}$. Así,
Por un lado, fijamos $f\partial_i \in \derivaciones{f}$; y por otro, definimos $\dertheta{i}{j} := \diffp{f}{x_i}\partial_j - \diffp{f}{x_j}\partial_i \in \derivaciones{f}$. Así,
\begin{equation*} \begin{equation*}
\dertheta{i}{1} \wedge \dertheta{i}{2} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{i-1} \wedge f\partial_i \wedge \dertheta{i}{i+1} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{n-1} \wedge \dertheta{i}{n} \in \bigwedge^n \derivaciones{f}. \textstyle \dertheta{i}{1} \wedge \dertheta{i}{2} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{i-1} \wedge f\partial_i \wedge \dertheta{i}{i+1} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{n-1} \wedge \dertheta{i}{n} \in \bigwedge^n \derivaciones{f}.
\end{equation*} \end{equation*}
Pero, simplificando todos los productos exteriores nulos nos queda Pero, simplificando todos los productos exteriores nulos nos queda
\begin{equation*} \begin{equation*}
f\left( \diffp{f}{x_i} \right)^{n-1} \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n \in \bigwedge^n \derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}. \textstyle f\left( \diffp{f}{x_i} \right)^{n-1} \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n \in \bigwedge^n \derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}.
\end{equation*} \end{equation*}
Esto quiere decir que $\det\Phi \vert f\left( \diffp{f}{x_i} \right)^{n-1}$ para todo $i$. Asimismo, el máximo común divisor de todos ellos también será divisible por $\det\Phi$: Esto quiere decir que $\det\Phi \vert f\left( \diffp{f}{x_i} \right)^{n-1}$ para todo $i$. Esto también ocurre con su máximo común divisor:
\begin{equation*} \begin{equation*}
\det\Phi \left\lvert f\mcd{f^{n-1}, \left( \diffp{f}{x_1} \right)^{n-1}, \left(\diffp{f}{x_2} \right)^{n-1}, \dots, \left( \diffp{f}{x_n} \right)^{n-1}}\right.. \textstyle \det\Phi \left\lvert f\mcd{f^{n-1}, \left( \diffp{f}{x_1} \right)^{n-1}, \left(\diffp{f}{x_2} \right)^{n-1}, \dots, \left( \diffp{f}{x_n} \right)^{n-1}}\right..
\end{equation*} \end{equation*}
No nos olvidemos de que gracias al Lema~\ref{Lema MCD Parciales} sabemos que ese máximo común divisor es $1$. Por esta razón, $\det\Phi$ debe dividir a $f$. No nos olvidemos de que gracias al Lema~\ref{Lema MCD Parciales} sabemos que ese máximo común divisor es $1$. Por esta razón, $\det\Phi$ debe dividir a $f$.
@ -1295,9 +1353,10 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{lema} \begin{lema}
Sea $f$ un polinomio libre de cuadrados de \Kx{} que puede ser descompuesto en factores irreducibles como $f = f_1f_2\cdots f_r$. Entonces, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$. Sea $f$ un polinomio libre de cuadrados de \Kx{} que puede ser descompuesto en factores irreducibles como $f = f_1f_2\cdots f_r$. Entonces, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
\end{lema} \end{lema}
\vspace{-0.3cm}
\begin{proof} \begin{proof}
Sea $\delta \in \derivaciones{f}$ y llamemos $f_{-i} := f_1 f_2 \cdots f_{i-1} f_{i+1} \cdots f_{r-1} f_r$. Por la regla del producto tenemos que Sea $\delta \in \derivaciones{f}$ y llamemos $f_{-i} := f_1 f_2 \cdots f_{i-1} f_{i+1} \cdots f_{r-1} f_r$. Por la regla del producto tenemos que
\begin{align*} \vspace{-0.4cm}\begin{align*}
\delta\!\left( f \right) &= \delta\!\left( f_1 f_2 \cdots f_r \right) \\ \delta\!\left( f \right) &= \delta\!\left( f_1 f_2 \cdots f_r \right) \\
pf_1 f_2 \cdots f_r &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} + f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) \\ pf_1 f_2 \cdots f_r &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} + f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) \\
pf_1 f_2 \cdots f_r - f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} \\ pf_1 f_2 \cdots f_r - f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} \\
@ -1308,9 +1367,8 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{align*} \begin{align*}
\delta\!\left( f_1f_2\cdots f_{k+1} \right) &= \delta\!\left( f_{k+1} \right) f_{-\left( k+1 \right)} + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right) \\ \delta\!\left( f_1f_2\cdots f_{k+1} \right) &= \delta\!\left( f_{k+1} \right) f_{-\left( k+1 \right)} + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right) \\
&= pf_{k+1}f_{-\left( k+1 \right)} + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right), \quad \text{donde $p \in \Kx$,} \\ &= pf_{k+1}f_{-\left( k+1 \right)} + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right), \quad \text{donde $p \in \Kx$,} \\
&= pf + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right); &= pf + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right) \\
\intertext{por la hipótesis de inducción, $\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right) = qf_{-\left( k+1 \right)}$ con $q \in \Kx$;} &\overset{*}{=} pf + f_{k+1}qf_{-\left( k+1 \right)} \\
&= pf + f_{k+1}qf_{-\left( k+1 \right)} \\
&= \left( p + q \right)f. &= \left( p + q \right)f.
\end{align*} \end{align*}
Por lo tanto, concluimos $\bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i} \subseteq \derivaciones{f}$ y, por ende, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$. Por lo tanto, concluimos $\bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i} \subseteq \derivaciones{f}$ y, por ende, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
@ -1323,8 +1381,8 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A = \det \left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = u'f \det\iota = uf, \quad \text{con $u$ una unidad de \Kx.} \det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A = \det \left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = u'f \det\iota = uf, \quad \text{con $u$ una unidad de \Kx.}
\end{equation*} \end{equation*}
\subsection{$\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ implica que \derivaciones{f} es libre} \section{$\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ implica que \derivaciones{f} es libre}
Ahora asumamos que existen $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ de forma que $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ con $u$ una unidad de \Kx{} y volvamos al esquema de \ref{Secuencia Demostración Saito}. A partir de este, sabemos que tenemos Ahora asumamos que existen $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ de forma que $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ con $u$ una unidad de \Kx{} y volvamos al esquema de \ref{Secuencia Demostración Saito}. A partir de este, sabemos que tenemos
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{array}{rcccl} \begin{array}{rcccl}
@ -1342,7 +1400,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*} Fijémonos ahora en la relación \ref{Relación Matricial Derivadas}. Recordando la regla de Cramer, sabemos que \end{equation*} Fijémonos ahora en la relación \ref{Relación Matricial Derivadas}. Recordando la regla de Cramer, sabemos que
\begin{equation*} \begin{equation*}
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{uf}\mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{f}B A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{uf}\mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{f}B
\end{equation*} donde $\mathrm{adj}\!\left( A \right)$ es la matriz adjunta de $A$. $A^{-1}$ está en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \cuerpofracciones{\Kx} \right)$ pero los adjuntos de la matriz $A$ están en \Kx, por lo que podemos expresar $A^{-1}$ como vemos al final de la igualdad con $B \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$. Como \end{equation*} donde $\mathrm{adj}\!\left( A \right)$ es la matriz adjunta de $A$. La matriz $A^{-1}$ está en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \cuerpofracciones{\Kx} \right)$ pero los adjuntos de la matriz $A$ están en \Kx, por lo que podemos expresar $A^{-1}$ como vemos al final de la igualdad con $B \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$. Como
\begin{equation*} \begin{equation*}
\vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} = \vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}A^{-1} = \frac{1}{f}\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}B, \vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} = \vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}A^{-1} = \frac{1}{f}\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}B,
\end{equation*} \end{equation*}
@ -1356,7 +1414,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_{i-1} \wedge \delta \wedge \delta_{i+1} \wedge \dots \wedge \delta_{n-1} \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N. \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_{i-1} \wedge \delta \wedge \delta_{i+1} \wedge \dots \wedge \delta_{n-1} \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N.
\end{equation*} \end{equation*}
Percatémonos de que esta expresión, una vez eliminamos todos los productos exteriores nulos, queda como $\overline{b}_i \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N$, lo cual es solo posible si $\overline{b}_i \in \Kx$. Con esto concluimos que $\delta \in N$ y, por tanto, que $N = \derivaciones{f}$. Percatémonos de que esta expresión, una vez eliminamos todos los productos exteriores nulos, queda como $\overline{b}_i \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N$, lo cual es solo posible si $\overline{b}_i \in \Kx$. Con esto concluimos que $\delta \in N$ y, por tanto, que $N = \derivaciones{f}$.
\appendix \appendix
\chapter{Un ejemplo completo de cálculo}\label{Apéndice Cálculo} \chapter{Un ejemplo completo de cálculo}\label{Apéndice Cálculo}
@ -1513,8 +1571,18 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{equation*} \begin{equation*}
\derivaciones{x^2z + y^3} = \engendrado{\vectorvertical{3x \\ 2y \\ 0}, \vectorvertical{3y^2 \\ -2xz \\ 0 }, \vectorvertical{0 \\ y \\ 3z}, \vectorvertical{0 \\ x^2 \\ -3y^2}, \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2z + y^3}}. \derivaciones{x^2z + y^3} = \engendrado{\vectorvertical{3x \\ 2y \\ 0}, \vectorvertical{3y^2 \\ -2xz \\ 0 }, \vectorvertical{0 \\ y \\ 3z}, \vectorvertical{0 \\ x^2 \\ -3y^2}, \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2z + y^3}}.
\end{equation*} \end{equation*}
\section{Con ordenador} Debido a que no hemos más que mencionado las resoluciones, no ilustraremos su cálculo aquí. De todas formas, como idea intuitiva, obsérvese que para $M := \engendrado{f_1, f_2, \dots, f_k}$,
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} \hookrightarrow \Kx^k \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto f_i} M \longrightarrow 0.
\end{equation*}
Pero, por supuesto, \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} no tiene por qué ser libre. Aun así, sí que sabemos que es finitamente generado así que $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k} = \engendrado{s_1, s_2, \dots, s_l}$. Pero esto quiere decir que
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \syz{s_1, s_2, \dots, s_l}\hookrightarrow \Kx^l \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto s_i} \Kx^k \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto f_i} M \longrightarrow 0.
\end{equation*}
Siguiendo de esta forma calcularíamos una resolución, que no tiene por qué ser la mínima. De hecho, ni siquiera sabemos cómo podríamos calcularla. En este caso, sin embargo, por ser $x^2z + y^3$ homogéneo, sí que hay una forma de calcularla. No la explicamos aquí pero sí la ilustramos en el siguiente apartado.
\section{Con ordenador} \label{Apéndice a ordenador}
Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULARPROGRAMA} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta. Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULARPROGRAMA} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta.
Lo primero de todo es definir el anillo sobre el que estamos trabajando: Lo primero de todo es definir el anillo sobre el que estamos trabajando:
@ -1570,38 +1638,24 @@ x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0,
-x2, -3,0, 0, 0 -x2, -3,0, 0, 0
\end{lstlisting} \end{lstlisting}
\chapter{Demostración del Criterio de Buchberger} \label{Apéndice Demostración del Criterio de Buchberger} Por último, veamos que no es libre calculando una resolución mínima con la instrucción \texttt{mres}. Téngase en cuenta que podemos calcular esto porque $x^2z + y^3$ es homogéneo y que en general no será posible:
Si $G$ es una base de \Groebner, entonces, como $\spoly{f}{g} \in \engendrado{G}$, por el Teorema~\ref{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner} tenemos que el resto de su división entre los elementos de $G$ será $0$. \begin{lstlisting}
module Siz = [0, 0, x2z+y3], [0, y, 3z], [0,x2,-3y2], [x, 0, -2z], [3y2,-2xz,0];
mres(Siz,0);
\end{lstlisting}
\newpage
Esto nos devuelve
\begin{lstlisting}
3 4 1
R <-- R <-- R
La implicación contraria es la que conlleva más trabajo. Lo primero que debemos hacer es introducir un orden monomial nuevo en función del conjunto generador. Como $\Kx^r$ es noetheriano, podemos asumir desde el principio que $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_k}$. Definimos, por tanto, el siguiente orden monomial de módulos en $\Kx^k$: 0 1 2
\begin{equation*} \end{lstlisting}
x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} >_\mathrm{Schreyer} x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \iff \begin{cases} Así pues, una resolución mínima es de la forma
\LM{x^\mathbf{\alpha}g_i} > \LM{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \begin{equation*}
\LM{x^\mathbf{\alpha}g_i} = \LM{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{e} \quad $i < j$. 0 \longrightarrow \Kx^1 \longrightarrow \Kx^4 \longrightarrow \Kx^3 \longrightarrow \derivaciones{x^2z + y^3} \longrightarrow 0,
\end{cases} \end{equation*}
\end{equation*} y por el Lema \ref{Lema Longitud Mínima Resolución}, tenemos que \derivaciones{f} no puede ser libre.
Ahora, para dos generadores $g_i$ y $g_j$ de forma que $\LM{g_i}$ y $\LM{g_j}$ estén en la misma componente, tomamos $c_jm_{ji}$ y $c_im_{ij}$ elementos de \Kx{} de forma que $c_i, c_j \in K$ y $m_{ji}, m_{ij}$ son monomios de \Kx y cumplen
\begin{equation*}
\spoly{g_i}{g_j} = c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j.
\end{equation*}
Esto último lo podemos expresar en términos de los elementos de $G$ como
\begin{equation*}
c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j = \sum_{\nu = 1}^{k} a_{\nu}^{(ij)} g_{\nu}.
\end{equation*}
Con todo esto, definimos la expresión
\begin{equation*}
s_{ij} := c_jm_{ji}\vectorbasecanonica{i} - c_im_{ij}\vectorbasecanonica{j} - \sum_{\nu = 1}^{k} a_{\nu}^{(ij)} \vectorbasecanonica{\nu} \in \Kx^k.
\end{equation*}
Que puede entenderse como un vector que registra una combinación lineal que anula los generadores, es decir, $s_{ij} \in \syz{g_1, g_2, \dots, g_k}$. Además, con respecto al orden de Schreyer, $\LM{s_{ij}} = m_{ji}\vectorbasecanonica{i}$. Esto se debe por un lado a que $\LM{m_{ij}g_j} = \LM{m_{ji}g_i}$ pero $i < j$; y por otro a que
\begin{equation*}
\LM{a_{\nu}^{(ij)} g_{\nu}} \leq \LM{c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j} < \LM{m_{ji}g_i}.
\end{equation*}
Con los preliminares terminados, pasamos a demostrar que si el resto de \spoly{g_i}{g_j} entre $G$ es $0$ para todo $i$ y $j$, entonces tenemos una base de \Groebner. Lo primero es tomar un $f \in \engendrado{G}$ y un $a = \left( a_1, a_2, \dots, a_k \right) \in \Kx^k$ de forma que $f = \sum_{i = 1}^{k} a_i g_i$. Ahora consideremos la expresión
\begin{equation*}
a = h + \sum
\end{equation*}
\todo{Completar la demostración.}
\ifbibtex \ifbibtex
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\bibliographystyle{plain} \bibliographystyle{plain}

37
bibliografia.bib
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@misc{VALLES, @article {VALLES,
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author={Daniele Faenzi and Marcos Jardim and Jean Vallès}, TITLE = {Saito criterion and its avatars},
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4
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