Sixto/TFG_Sixto
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Añadida la definición de base de Gröbner y el teorema que garantiza que sirven para determinar la pertenencia a un submódulo.

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Sixto 2025-05-26 16:44:39 +02:00
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@ -518,12 +518,12 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{block} \end{block}
\begin{block}{rrrrrrrcl} \begin{block}{rrrrrrrcl}
\cmidrule{1-5} \cmidrule{1-5}
& +$2x^3\euno$ & +$2x^2y\edos$ & $-6x^2y\etres\phantom{)}$ & +$x^2\euno$ & & & & \\ & +$2x^3\euno$ & +$2x^2y\edos$ & $-6x^2y\etres\phantom{)}$ & +$x^2\euno$ & & & & \\
& $-(2x^3\euno$ & & & & $+4xy\etres)$ & & & \\ \cmidrule{2-6} & $-(2x^3\euno$ & & & & $+4xy\etres)$ & & & \\ \cmidrule{2-6}
& \tiny 1\textsuperscript{a} iteración: & \sout{$2x^2y\edos$} & \sout{$-6x^2y\etres\phantom{)}$} & +$x^2\euno$ & $-4xy\etres\phantom{)}$ & & & \\ & \tiny 1\textsuperscript{a} iteración: & \sout{$2x^2y\edos$} & \sout{$-6x^2y\etres\phantom{)}$} & +$x^2\euno$ & $-4xy\etres\phantom{)}$ & & & \\
& & \tiny $\uparrow$ 1\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 2\textsuperscript{a} iteración & $-(x^2\euno$ & & $+2y\etres)$ & & \\ \cmidrule{5-7} & & \tiny $\uparrow$ 1\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 2\textsuperscript{a} iteración & $-(x^2\euno$ & & $+2y\etres)$ & & \\ \cmidrule{5-7}
& & & & \tiny 3\textsuperscript{a} iteración: & \sout{$-4xy\etres\phantom{)}$} & \sout{$-2y\etres$} & & \\ & & & & \tiny 3\textsuperscript{a} iteración: & \sout{$-4xy\etres\phantom{)}$} & \sout{$-2y\etres$} & & \\
& & & & & \tiny $\uparrow$ 3\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 4\textsuperscript{a} iteración & & \\ & & & & & \tiny $\uparrow$ 3\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 4\textsuperscript{a} iteración & & \\
\end{block} \end{block}
\end{blockarray} \end{blockarray}
\end{center} \end{center}
@ -539,16 +539,13 @@ urlcolor=black]{hyperref}
Cuando obtenemos el resto de $f$ dividido por $g$ lo que esencialmente buscamos es un representante $r$ <<canónico>> de la clase de equivalencia de $f$ en \cociente{\Kx^r}{\engendrado{g}}. En este caso, entendemos canónico como que no tenga ningún término divisible por $\LT{g}$, es decir, que sea <<irreducible>>. Entendida así, la noción de <<dividir>> puede extenderse a submódulos de $\Kx^r$ en general. Es decir, dado cualquier \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$, podemos <<dividir>> $f$ por $N$ encontrando el representante <<canónico>> de la clase de $f$ en \cociente{\Kx^r}{N}. En este caso, nuestra idea de canónico será que no haya ningún elemento $g$ en $N$ de forma que $\LT{g}$ sea uno de los términos de este representante. Para formalizar esta idea de división más general, necesitamos de algunos resultados previos. Cuando obtenemos el resto de $f$ dividido por $g$ lo que esencialmente buscamos es un representante $r$ <<canónico>> de la clase de equivalencia de $f$ en \cociente{\Kx^r}{\engendrado{g}}. En este caso, entendemos canónico como que no tenga ningún término divisible por $\LT{g}$, es decir, que sea <<irreducible>>. Entendida así, la noción de <<dividir>> puede extenderse a submódulos de $\Kx^r$ en general. Es decir, dado cualquier \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$, podemos <<dividir>> $f$ por $N$ encontrando el representante <<canónico>> de la clase de $f$ en \cociente{\Kx^r}{N}. En este caso, nuestra idea de canónico será que no haya ningún elemento $g$ en $N$ de forma que $\LT{g}$ sea uno de los términos de este representante. Para formalizar esta idea de división más general, necesitamos de algunos resultados previos.
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los términos líderes de $N$ lo denotaremos por Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los monomios líderes de $N$ lo denotaremos por
\begin{equation*} \begin{equation*}
\LT{N} := \definicionconjunto{\LT{g}}{g \in N}. \LM{N} := \definicionconjunto{\LM{g}}{g \in N}.
\end{equation*} \end{equation*}
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{lema}[de Dickson]
Todo ideal monomial está finitamente generado. Más formalmente:
sea $N \subseteq \naturales^n$ e $I := \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \ \vert \ \mathbf{\alpha} \in N}$ un ideal monomial. Entonces existen $\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \dots, \mathbf{\alpha}_k$ en $N$ de forma que $I = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}}$.
\end{lema}
\begin{teorema}[de la base de Hilbert] \begin{teorema}[de la base de Hilbert]
Sea $A$ un anillo noetheriano. Entonces el anillo de polinomios \anillodepolinomios{A}{x_1, \dots, x_n} es también noetheriano. Sea $A$ un anillo noetheriano. Entonces el anillo de polinomios \anillodepolinomios{A}{x_1, \dots, x_n} es también noetheriano.
\end{teorema} \end{teorema}
@ -559,7 +556,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
Como $K$ es un cuerpo, todos sus ideales son principales, así que es noetheriano. Por el teorema de la base de Hilbert, \Kx{} es noetheriano también. Y por último, por la proposición \ref{Proposición Kx^r noetheriano}, $\Kx^r$ es igualmente noetheriano. Esto es de gran importancia, ya que nos asegura que es suficiente con tener un algoritmo de la división para $N$ finitamente generado. Como $K$ es un cuerpo, todos sus ideales son principales, así que es noetheriano. Por el teorema de la base de Hilbert, \Kx{} es noetheriano también. Y por último, por la proposición \ref{Proposición Kx^r noetheriano}, $\Kx^r$ es igualmente noetheriano. Esto es de gran importancia, ya que nos asegura que es suficiente con tener un algoritmo de la división para $N$ finitamente generado.
\begin{definicion} \begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Compuesta}
Sean $f$ un elemento y $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$. Definimos el algoritmo de la división de $f$ entre $N$ como sigue: Sean $f$ un elemento y $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$. Definimos el algoritmo de la división de $f$ entre $N$ como sigue:
\begin{algorithmic}[1] \begin{algorithmic}[1]
\State Definimos $D \gets f$, $d_i \gets g_i$, $c_i \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, los divisores, los cocientes y el resto, respectivamente. \State Definimos $D \gets f$, $d_i \gets g_i$, $c_i \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, los divisores, los cocientes y el resto, respectivamente.
@ -575,11 +572,48 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{definicion} \end{definicion}
En este caso, procedemos como en el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Simple} pero, en vez de intentar reducir en cada paso por un solo divisor, buscamos si alguno de todos ellos nos sirve para anular \LM{D} y, en caso de que sí, lo utilizamos para reducir. Nótese que puede haber varios, en cuyo caso, puede elegirse el que se prefiera. En este caso, procedemos como en el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Simple} pero, en vez de intentar reducir en cada paso por un solo divisor, buscamos si alguno de todos ellos nos sirve para anular \LM{D} y, en caso de que sí, lo utilizamos para reducir. Nótese que puede haber varios, en cuyo caso, puede elegirse el que se prefiera.
Pudiera parecer que ya hemos solucionado el problema que planteábamos al principio del capítulo puesto que ya tenemos un algoritmo de la división y además sabemos que todos los submódulos de $\Kx^n$ son finitamente generados. Sin embargo, todavía podemos encontrarnos con casos como el siguiente: supongamos que $N := \engendrado{x\euno + y\edos, y\euno + x\edos}$ es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x,y}} de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y queremos saber si $f := x^2\edos - y^2\edos$ pertenece a $N$. Al aplicar el algoritmo de la división siguiendo el orden \mayorqueposlex{} de \ref{Algoritmo de la División Compuesta} nos encontramos que ninguno de los dos generadores de $N$ puede reducir a $f$, por lo tanto el resto es el propio $f$. Como el resto es distinto de $0$, estaríamos tentados a decir que $f$ no pertenece a $N$, pero démonos cuenta de que $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$ y, por ende, sí que pertenece.
¿Qué es lo que ocurre aquí? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$. Esto supone un duro golpe para nuestros algoritmos de la división, ya que cuando para un \submodulo{\Kx} $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ tengamos que $\LM{N} \neq \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}$, aunque el resto sea distinto de $0$, no podremos garantizar que el elemento esté fuera de $N$. Por supuesto, si el resto es $0$ sí que podemos garantizar que sí está.
Para solucionar este problema, necesitamos encontrar una representación de los submódulos algo mejor. Esta mejor representación se conoce como base de Gröbner.
\section{Bases de Gröbner} \section{Bases de Gröbner}
Para conseguir esta mejor representación, simplemente exigimos la condición que discutíamos en la sección anterior.
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$ y $G$ un subconjunto de $N$. Este subconjunto $G$ es una base de Gröbner de $N$ si $N = \engendrado{G}$ y $\engendrado{\LM{G}} = \LM{\engendrado{G}}$.
\end{definicion}
Para verificar si esta clase de conjuntos generadores soluciona de una vez por todas estos problemas, necesitamos unos resultados intermedios.
\begin{lema}[de Dickson]
Sea \nolbreaks{$N \subseteq \naturales^n$} e $I := \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \ \vert \ \mathbf{\alpha} \in N}$ un ideal monomial. Entonces existen $\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \dots, \mathbf{\alpha}_k$ en $N$ de forma que \nolbreaks{$I = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}}$}.
\end{lema}
Aunque el lema de Dickson habla de ideales monomiales dentro del anillo de polinomios \Kx, extenderlo a submódulos es inmediato. Si pensamos en un \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$ generado por monomios, es decir $N := \engendrado{x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i_\mathbf{\alpha}} \vert \mathbf{\alpha} \in J}$ donde $J \subset \naturales^n$, podemos expresarlo como
\begin{align*}
N &= \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = 1}\euno + \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = 2}\edos + \dots + \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = r}\vectorbasecanonica{r}; \\
\intertext{por el lema anterior, cada uno de estos <<coeficientes>> que acompañan a los vectores \vectorbasecanonica{i} es un ideal monomial finitamente generado;}
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}}\euno + \engendrado{x^{\mathbf{\beta}_1}, x^{\mathbf{\beta}_2}, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}}\edos + \dots + \engendrado{x^{\mathbf{\gamma}_1}, x^{\mathbf{\gamma}_2}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}}\vectorbasecanonica{r} \\
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\euno, x^{\mathbf{\alpha}_2}\euno, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}\euno, x^{\mathbf{\beta}_1}\edos, x^{\mathbf{\beta}_2}\edos, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}\edos, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_1}\vectorbasecanonica{r}, x^{\mathbf{\gamma}_2}\vectorbasecanonica{r}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}\vectorbasecanonica{r}}.
\end{align*}
Este resultado nos permite ver una condición más fuerte sobre los \submodulo{\Kx}s monomiales de $\Kx^r$: no solo son finitamente generados, como ya sabíamos gracias a la proposición \ref{Proposición Kx^r noetheriano}; sino que además admiten conjuntos generadores finitos formados por monomios.
\begin{lema}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$ de forma que $N = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\vectorbasecanonica{i_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}\vectorbasecanonica{i_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}\vectorbasecanonica{i_k}}$. Un monomio $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$ pertenece a $N$ si y solo si es un múltiplo de alguno de los monomios generadores. En otras palabras, existe $j \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ de forma que $x^{\mathbf{\alpha}_j}\vectorbasecanonica{i_j} \vert x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$.
\end{lema}
Este pequeño resultado nos da una forma bastante rápida de determinar si un monomio pertenece o no a un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$. Démonos cuenta de que esto es justo lo que hacemos cuando intentamos reducir el término líder de $f$ en el algoritmo de la división de \ref{Algoritmo de la División Compuesta}. Con todo esto, ya damos la respuesta final a la pregunta que abre el capítulo.
\begin{teorema}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ y sea $G = \left\lbrace g_1, g_2, \dots, g_k \right\rbrace$ una base de Gröbner de $N$. Un elemento $f$ de $\Kx^r$ pertenece a $N$ si y solo si el resto de $f$ dividido por $G$ según el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Compuesta} es $0$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Como ya mencionamos antes, si el resto es $0$ ya sabemos que $f \in N$. Asumamos ahora que el resto no es cero. Eso quiere decir que en alguna iteración nos hemos encontrado con que $\LM{D}$ no es divisible por ninguno de los $\LM{g_i}$. En todo momento, $D$ es de la forma $f - g$ donde $g$ es una combinación lineal de los elementos de $G$. Por lo tanto, si $\LM{D}$ no pertenece a \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}, como $G$ es una base de Gröbner, tampoco pertenecerá a $\LM{N}$ y, por lo tanto, $f-g \notin N$ lo cual, como $g$ sí que pertenece a $N$, es equivalente a decir que $f \notin N$.
\end{proof}
Con todo esto, ya tenemos una solución al problema de la pertenencia de un elemento a un submódulo: obtener la base de Gröbner del submódulo y dividir por ella para ver si el resto es nulo o no. Sin embargo, no tenemos garantías de que existan bases de Gröbner para todos los submódulos y, en caso de que sí las haya, tampoco sabemos cómo calcularlas.
\section{Syzygias} \section{Syzygias}