Sixto/TFG_Sixto
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

fusion

Browse Source
This commit is contained in:
Enrique Artal Bartolo 2025-06-10 11:46:22 +02:00
commit 8d83525f68
3 changed files with 253 additions and 186 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

BIN
TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf
View File

Binary file not shown.

433
TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex
View File

@ -64,13 +64,13 @@
backgroundcolor=\color{lightgray},
numberstyle=\tiny,
basicstyle=\ttfamily,
breakatwhitespace=false,
breaklines=true,
captionpos=b,
keepspaces=true,
showspaces=false,
breakatwhitespace=false,
breaklines=true,
captionpos=b,
keepspaces=true,
showspaces=false,
showstringspaces=false,
showtabs=false,
showtabs=false,
tabsize=2,
language={}
}
@ -93,7 +93,7 @@
%------ Enlaces en el pdf
\usepackage{url}
\usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black,
\usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black,
urlcolor=black]{hyperref}
\newcommand{\referenciamodomatematico}[2]{\hyperref[#2]{#1 \ref*{#2}}}
@ -254,9 +254,9 @@ urlcolor=black]{hyperref}
%--- CAPÍTULO 1 DEL TFG
\chapter{Introducción}
% Contar todo lo que sabemos hacer.
Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables, por ejemplo \nolbreaks{$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + xz$}, y estamos trabajando intensivamente con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones como
\begin{equation*}
y^2\diffp{f}{x} + xy\diffp{f}{y} - x^3\diffp{f}{z}, \quad \diffp{f}{x} - \diffp{f}{z}, \quad \text{o} \quad \left(x^2 - y^2\right)\diffp{f}{x} + \left( xy - yz \right)\diffp{f}{y}.
@ -269,8 +269,8 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\chapter{Módulos}
\section{Conceptos básicos}
Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
\todo{Añadir referencia para todo el capítulo de módulos, etc.}
Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. En este capítulo veremos solo algunas de las propiedades y definiciones necesarias para nuestros propósitos. Sin embargo, la teoría de módulos se extiende mucho más allá de esta exigua presentación, por lo que recomendamos que se consulte un texto introductorio como \cite{SINGULARLIBRO} o \cite{COCOA}.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \emph{\modulo{A}} si
\begin{itemize}
@ -285,21 +285,21 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
El producto cartesiano $\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
Un módulo sobre un cuerpo es un espacio vectorial pero no todas las propiedades de espacios vectoriales
se trasladan a módulos.
%La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}.
A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$ sobre un cuerpo $K$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
\end{ejemplo}
De aquí en adelante, para todos los resultados, daremos por sentado que $A$ sea un anillo y $M$ un \modulo{A}.
\begin{definicion}
Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \emph{\submodulo{A}} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales de estos vectores,
\begin{equation*}
\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}} = \definicionconjunto{\vectordos{a\left( x^2y + xy^2 \right) + by^3}{a\left( x + y \right) + bx^3}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}}.
@ -312,7 +312,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{equation*}
En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}_A$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}_A$. Cuando el anillo con el que estamos trabajando esté claro, omitiremos el subíndice.
\end{definicion}
Análogamente a los espacios vectoriales, existe un concepto de base.
\begin{definicion}
Diremos que $B \subseteq M$ es una \emph{base} de $M$ si $M = \engendrado{B}$ y además, para cada $m$ existe una única representación como combinación lineal de elementos de $B$.
@ -320,7 +320,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ es \emph{libre} si admite una base.
\end{definicion}
Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos.
\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
@ -328,7 +328,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: \nolbreaks{$m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$}. Definimos el \emph{cociente de un módulo por un submódulo} como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$, que es un \modulo{A} con las operaciones heredadas. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
\end{definicion}
\section{Homomorfismos}
\begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un \emph{homomorfismo de \modulo{A}s} si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
@ -345,34 +345,44 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{lema}
Sean dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. El núcleo $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ y la imagen $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
\end{lema}
Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}[row sep=0pt]
\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}\rar["\partial_i"]&\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{tikzcd}
\end{equation*}
Observamos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}s.
Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
\begin{equation*}
\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
\end{equation*}
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar de $f$ forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Y para cada $\delta \in \derivaciones{\Kx}$ definimos $\delta \cdot p := \delta\!\left( p \right)$. Observemos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\Kx}s debido al comportamiento con el producto de la derivada. De hecho, los elementos $\delta \in \Kx$ se comportan como sigue:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\delta\!\left( f_1 + f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right) + \delta\!\left( f_2 \right), \\
\delta\!\left( f_1 f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right)f_2 + f_1\delta\!\left( f_2 \right)\quad \text{y} \\
\delta\!\left( af_1 \right) = a\delta\!\left( f_1 \right)
\end{cases}
\end{equation*}
para $f_1$ y $f_2$ polinomios de \Kx{} y $a$ una constante de $K$.
Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar de $f$ forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
\begin{equation} \label{Definicion Modulo Derivaciones de f}
\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
\end{equation}
Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{\Kx} es isomorfo a $\Kx^n$ y, por esta misma razón, \derivaciones{f} puede verse como un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$.
\todo{Caracterizar las derivaciones con la regla de Leibniz y señalar la acción en el anillo de polinomios}
\begin{definicion}
Diremos que un anillo $A$ es \emph{noetheriano} si todos sus ideales son finitamente generados. Diremos también que un \modulo{A} $M$ es \emph{noetheriano} si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}$.
\end{definicion}
De aquí en adelante, salvo que se indique lo contrario, asumiremos que $A$ siempre es un anillo noetheriano.
\begin{lema}
Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano. Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano. Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
\end{lema}
\begin{lema}
Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
@ -380,14 +390,13 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A}. Diremos que $M$ es \emph{libre de torsión} si el único $m \in M$ tal que $am = 0$ para todo $a \in A$ es $0$.\todo{¿Esta definición cerca de libre junto con algún ejemplo sencillo de no libre y libre de torsión y de no libre de torsión.}
\end{definicion}
\begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El \emph{conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s} de $M$ a $N$ se denota por
\begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El \emph{conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s} de $M$ a $N$ es también un \modulo{A} y se denota por
\begin{equation*}
\Hom{A}{M}{N} := \definicionconjunto{\phi : M \longrightarrow N}{\text{$\phi$ es un homomorfismo de \modulo{A}s}}.
\end{equation*}
\todo{Decir que es un $A$-módulo}
\end{definicion}
\begin{definicion}
\begin{definicion}
Se define el módulo dual \dual{M} como el conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ en $A$:
\begin{equation*}
\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
@ -395,8 +404,8 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
\end{definicion}
{\color{red} Hago una propuesta alternativa que creo que simplifica y aclara.
\begin{definicion}
Dados dos $A$-módulos $M,N$, una forma \emph{bilineal} $\Phi:M\times N\to A$ es una aplicación tal que
\begin{definicion}
Dados dos $A$-módulos $M,N$, una forma \emph{bilineal} $\Phi:M\times N\to A$ es una aplicación tal que
\begin{itemize}
\item $\Phi\!\left( a m + a'm', n \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m', n \right)$ y
\item $\Phi\!\left( m, a n + a'n' \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m, n' \right)$
@ -430,8 +439,8 @@ Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\du
Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo.
\end{ejemplo}
Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}. \todo{Puedes decir que más adelante vas a comparar estos conceptos sobre módulos y espacios vectoriales.}
En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
\begin{definicion}
Diremos que una expresión del siguiente estilo:
@ -439,7 +448,7 @@ Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\du
\dots \xrightarrow{\phi_{k-1}} M_k \xrightarrow{\phi_{k}} M_{k+1} \xrightarrow{\phi_{k+1}} M_{k+2} \xrightarrow{\phi_{k+2}} \dots
\end{equation*}
es una \emph{sucesión exacta} si se cumple que $\imagen \phi_i = \ker \phi_{i+1}$ para todo $i$, como ilustra este diagrama:
\begin{figure}[h]
\centering
\scriptsize
@ -491,10 +500,10 @@ Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\du
\end{figure}
Para indicar que una aplicación $\phi : M \rightarrow N$ es inyectiva, escribiremos $0 \rightarrow M \xrightarrow{\phi} N$; y para indicar que es sobreyectiva, $M \xrightarrow{\phi} N \rightarrow 0$.
\end{definicion}
Con las sucesiones exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. \todo{Esto lo llevaría más adelante.} Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f} \subseteq \Kx$ llamado el ideal jacobiano de $f$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}
o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir que nos interesan aquellos elementos que son $0$ cuando hacemos el cociente de $J$ por $J\cap \engendrado{f}$. Todo esto lo podemos expresar como una secuencia exacta:
Con las sucesiones exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f} \subseteq \Kx$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f} o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir que nos interesan aquellos elementos que son $0$ cuando hacemos el cociente de $J$ por $J\cap \engendrado{f}$. Este cociente se puede hacer de dos formas que son isomorfas: $\cociente{J + \engendrado{f}}{\engendrado{f}}$ o $\cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}$. Todo esto lo podemos expresar como una secuencia exacta:
\begin{equation} \label{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}
\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \derivaciones{f} \arrow[r, "\Phi"] & \derivaciones{\Kx} \arrow[r, "\pi \circ \xi"] \arrow[d, leftrightarrow] & \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \arrow[r] & 0 & \\
@ -502,9 +511,7 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
\end{tikzcd}
\end{equation}
La función $\Phi$ es una inclusión, $\xi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica de $J$ a \cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}.
\todo{Decir que es isomorfo a $J+(f)/(f)$}
\begin{wrapfigure}[3]{r}{0.3\textwidth}
\vspace{-1.3cm}
\begin{equation*}
@ -514,7 +521,7 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\end{wrapfigure}
\begin{definicion} \label{Definición Módulo Proyectivo}
Un \modulo{A} $P$ es \emph{proyectivo} si para cada epimorfismo de \modulo{A}s $e : M \rightarrow N$ y cada homomorfismo de \modulo{A} $h: P \rightarrow N$ existe un homomorfismo de \modulo{A}s $\phi : P \rightarrow M$ de forma que $h = e \circ \phi$.
\end{definicion}
@ -535,13 +542,13 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la Definición~\ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$.
\end{proof}
Una introducción a los módulos proyectivos puede encontrarse en \cite[sección 1.2]{LIBROPROYECTIVOS}.
\chapter{Bases de Gröbner y Sicigias}
A partir de este momento solo trabajaremos con módulos $\Kx^n$ ya que son los involucrados en el módulo de derivaciones.
Uno de los principales problemas que tienen los módulos en general es que describirlos es más complicado que en el caso de los espacios vectoriales. Con los espacios vectoriales, sabemos que siempre existe una base y que, dándola, describimos por completo este espacio. En el caso de los módulos, sin embargo, dar una base en el sentido de base de espacio vectorial no siempre es posible. Esto se materializa en el problema de ser capaz de determinar si un elemento en particular se encuentra dentro del módulo.
Veamos cómo se afronta este problema a distintos niveles.
\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}
\todo{Es una tontería, pondría los racionales en lugar de los reales, también para otros ejemplos.}
@ -553,21 +560,21 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
\begin{equation*}
p = \underbrace{\left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)}_{\text{cociente $q$}} \underbrace{\left( x^2 - 5x + 6 \right)}_{\text{divisor $d$}} + \underbrace{7007x - 13511}_{\text{resto $r$}}.
\end{equation*}
Por el Teorema de la División, sabemos que este resto es el único polinomio de \anillodepolinomios{\reales}{x} que satisface $p = q d + r$ con grado menor que $d$. Por lo tanto, al no ser $0$, podemos afirmar que $p$ no está en \engendrado{f,g}.
Por el Teorema de la División, sabemos que este resto es el único polinomio de \anillodepolinomios{\reales}{x} que satisface $p = q d + r$ con grado menor que $d$. Por lo tanto, al no ser $0$, podemos afirmar que $p$ no está en \engendrado{f,g}.
\end{ejemplo}
Este ejemplo también ilustra un cambio de perspectiva que será muy importante a lo largo de toda esta sección: la división deja de ser importante por los valores exactos que arroja y su relevancia es más bien cualitativa. Con esto nos referimos a que, como tal, los valores concretos del cociente y el resto no tienen ninguna relevancia a la hora de determinar si $p$ pertenece o no a \engendrado{f, g}. Conocidas las propiedades de este algoritmo de la división en \anillodepolinomios{\reales}{x}, solo nos interesa si el resto es $0$ o no, puesto que es lo que determina si $p$ pertenece o no a \engendrado{f, g}. En base a esto, nuestra motivación para la división debe cambiar de ser <<obtener $q$ y $r$ de forma que $p = qd + r$ donde $\grado r < \grado d$>> a un más abstracto <<obtener un representante $r$ que satisfaga algunas condiciones de la clase de $p$ en \cociente{\anillodepolinomios{\reales}{x}}{\engendrado{f, g}}>>. \todo{En realidad con este lenguaje, $r$ es importante ya que determina la clase de $p$ en el cociente.}
Visto así, el Ejemplo \ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar a cualquier conjunto generador con un solo elemento; por lo tanto, sobre cualquier conjunto generador siempre habrá definida una división, que consistirá en dividir como ya conocemos por el elemento generador. Además, por el Teorema de la División, conocemos que el representante $r$ que satisfaga $\grado r < \grado d$ es único, lo cual nos permite discernir si $p$ está en \engendrado{f, g} viendo si $r = 0$ o no.
Visto así, el Ejemplo \ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar a cualquier conjunto generador con un solo elemento; por lo tanto, sobre cualquier conjunto generador siempre habrá definida una división, que consistirá en dividir como ya conocemos por el elemento generador. Además, por el Teorema de la División, conocemos que el representante $r$ que satisfaga $\grado r < \grado d$ es único, lo cual nos permite discernir si $p$ está en \engendrado{f, g} viendo si $r = 0$ o no.
En espacios más complicados, muchas de estas buenas propiedades desaparecen e impiden extender el proceso anterior.
\begin{description}[wide, leftmargin=0pt,itemindent=6pt]
\item[Más variables:] Consideremos ahora el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$, un elemento $f: = 4x^2y+ 12xy^2 + \frac{5}{2}xz^3 + x^2yz$ y el ideal $I := \engendrado{f}$. Si bien este espacio no tiene por qué ser un dominio de ideales principales, al solo haber un generador podemos obviar de momento esa parte. Siguiendo la línea del Ejemplo~\ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}, para ver si $p \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$ deberíamos dividir por $f$ y ver si el resto es $0$ o no. Pero llegados a este punto, ¿cómo deberíamos dividir? Podemos intentar imitar el algoritmo usual de la división, pero este necesita siempre una noción de orden entre los términos del divisor y también del dividendo. En este caso, ¿deberíamos tomar $4x^2y$ como <<término líder>> de $f$ o igual sería mejor tomar a uno de mayor grado como $\frac{5}{2}xz^3$? Pero $\frac{5}{2}xz^3$ y $x^2yz$ tienen el mismo grado, ¿cuál escoger, entonces? La elección de este <<término líder>> en dividendo y divisor cambiará el funcionamiento del algoritmo, así que debemos cerciorarnos de cuáles de estas opciones son válidas y también revisar si el algoritmo tradicional adaptado de esta manera sirve su propósito.
\item[Más generadores:] Sin cambiar de espacio, consideremos ahora el ideal $I := \engendrado{x + y, xyz, x^2 + y^2 + z^2}$. En este caso, el que \anillodepolinomios{\reales}{x, y, z} no sea un dominio de ideales principales es un problema. ¿Cómo podemos dividir siquiera? Otra dificultad a la que nos enfrentamos aquí una vez hayamos entendido cómo dividir será saber si nuestro sistema de generadores es compatible con la división ya que, por ejemplo, a $x^2 + y^2 + z^2$ se le puede restar $\left( x+y \right)^2$ e $I$ podría expresarse como $\engendrado{x+y, xyz, -2xy + z^2}$. ¿Sirven ambas representaciones?
\item[Más <<dimensiones>>:] Por último, también debemos tener en cuenta que por lo general trabajaremos en $\Kx^r$, lo cual hará que los elementos tengan más de una componente. ¿Cómo integrar las componentes en las divisiones?
\end{description}
En resumen, para poder construir un algoritmo de la división más general necesitaremos tener un orden total dentro de los monomios para saber cómo ir construyendo el cociente, ver cómo dividir por más de un generador e integrar a las distintas componentes.
\section{Órdenes monomiales}
El concepto de orden monomial nos permite construir un orden total sobre los monomios de \Kx. Para poder definirlo bien, debemos identificar un monomio en $n$ variables con un vector en $\naturales^n$ que represente sus exponentes, es decir,
\begin{equation*}
@ -580,14 +587,22 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}
\end{equation*}
para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$.
\todo{Decir que el orden es bueno o hablar de órdenes locales y globales y mixtos.}
\end{definicion}
Sin embargo esta propiedad deja en el aire el papel del $1$. ¿Cómo debemos ordenarlo?
\begin{definicion}
Sea $>$ un orden monomial. Si para todo $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$
\begin{itemize}
\item $x^{\mathbf{\alpha}} > 1$, diremos que el orden es global;
\item $x^{\mathbf{\alpha}} < 1$, diremos que el orden es local;
\item si no son ninguna de las dos anteriores, diremos que el orden es mixto.
\end{itemize}
\end{definicion}
\begin{ejemplo}[Orden lexicográfico]
Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal,
$x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$ si la primera componente no nula por la izquierda de $\alpha - \beta$ es positiva. Con los valores de antes, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$ ya que la primera componente de $\left( 3, 2, 4 \right) - \left( 2, 4, 4 \right) = \left( 1, -2, 0 \right)$ es positiva.
Es fácil ver que este orden es, en efecto, un orden monomial ya que si $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$, tendremos que la primera componente de $\mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ será positiva, y lo mismo ocurrirá con la de $\mathbf{\alpha} + \mathbf{\gamma} - \left( \mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma} \right) = \mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ por lo que $x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$.
Para referirnos a este orden en concreto utilizaremos \mayorquelex.
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}[Orden graduado-lexicográfico]
@ -595,9 +610,9 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
\begin{equation*}
x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \Longleftrightarrow \begin{cases}
\grado{x^\mathbf{\alpha}} > \grado{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \grado{x^\mathbf{\alpha}} = \grado{x^\mathbf{\beta}} \; \text{y} \; x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
\end{cases}
\end{cases}
\end{equation*}
Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.
Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.
\end{ejemplo}
Para poder generalizar estos órdenes a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
2xy + y^2 \\ x^3 \\ y
@ -621,13 +636,13 @@ o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir
i = j \ \text{y} \ x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
\end{cases}
\end{equation}
Sin embargo, podríamos haber tomado la decisión de que primero se comparasen $x^\mathbf{\alpha}$ y $x^\mathbf{\beta}$ y, en caso de empate, se hubiesen mirado las posiciones. Ambas posibilidades dan lugar a
Sin embargo, podríamos haber tomado la decisión de que primero se comparasen $x^\mathbf{\alpha}$ y $x^\mathbf{\beta}$ y, en caso de empate, se hubiesen mirado las posiciones. Ambas posibilidades dan lugar a
distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición con el otro orden.
Vemos pues que es necesario aclarar si la posición de los monomios debe ser evaluada antes o después, así que denotamos a estos órdenes como \mayorquemodular{POS}{LEX} para el correspondiente a \eqref{Definicion Orden Lexicográfico Módulos} y \mayorquemodular{LEX}{POS} para aquel que primero compara según el orden lexicográfico y después según la posición. Por ver un caso concreto, $xy\edos \mayorquelexpos y^3\euno$ pero $y^3\euno \mayorqueposlex xy\edos$.
Esta generalización que hemos hecho no está limitada a \mayorquelex, también se podría realizar con otros órdenes como \mayorquedeglex. Incluso se podrían permutar las posiciones para obtener todavía más órdenes.
\end{ejemplo}
Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la generalización del algoritmo de la división formalizando esa noción de <<término líder>> que mencionábamos.
\begin{definicion}
Sea $p := c_1x^\mathbf{s_1}\vectorbasecanonica{i_1} + c_2x^\mathbf{s_2}\vectorbasecanonica{i_2} + \dots + c_mx^\mathbf{s_m}\vectorbasecanonica{i_m}$ un polinomio de $\Kx^r$ y $>$ un orden monomial de módulos. Sea $k \in \left\lbrace 1, \dots, m \right\rbrace$ de forma que $x^\mathbf{s_k}$ sea el máximo del conjunto de monomios de $p$ según el orden $>$, entonces
@ -637,22 +652,21 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\item el \emph{término líder} de $p$ es $\LT{p} := \LC{p}\LM{p}$.
\end{itemize}
\end{definicion}
Necesitamos también concretar la noción de divisibilidad para poder integrar las distintas componentes que puedan tener los elementos dentro de la división. Según la Definición~\ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$.
Con todo esto, ya podemos definir un algoritmo de la división de un elemento por otro en $\Kx^r$. En esencia, imitaremos al algoritmo tradicional solo que, en este caso, nos guiaremos por los monomios líderes y no por el grado.
Con todo esto, ya podemos definir un algoritmo de la división de un elemento por otro en $\Kx^r$. En esencia, imitaremos al algoritmo tradicional solo que, en este caso, nos guiaremos por los monomios líderes y no por el grado.
\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Simple}
\todo{diferenciar vectores y polinomios. Por ejemplo $f$ es un vector pero cociente $c$ es un polinomio.}
El \emph{algoritmo de división simple} se aplica a dos elementos $f$ y $g$ de $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este.
El \emph{algoritmo de división simple} se aplica a dos elementos $f$ y $g$ de $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este.
\begin{algorithmic}[1]
\State Definimos $D \gets f$, $d \gets g$, $c \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente.
\State Definimos $D \gets f$, $d \gets g$, $c \gets 0$ y $r \gets \mathbf{0}$ como las variables que representan el dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente. Nótese que $D$, $d$ y $r$ son vectores de $\Kx^r$ mientras que $c$ es un polinomio de \Kx.
\Repeat
\While{$\LM{d} \vert \LM{D}$}
\State Sea $m \in \Kx$ de forma que $\LM{D} = m\LM{d}$.
\State $D \gets D - m d$, $c \gets c + m$
\EndWhile
\State $D \gets D - \LM{D}$, $r \gets r + \LM{D}$
\Until{$D = 0$}
\Until{$D = \mathbf{0}$}
\end{algorithmic}
Al finalizar este algoritmo, tendremos que $f = c g + r$ donde ninguno de los términos de $r$ es divisible por \LM{g}.
\end{definicion}
@ -688,7 +702,7 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\end{equation*}
donde ninguno de los términos en $r$ es divisible por \LT{g}.
\end{ejemplo}
A partir de este algoritmo, podemos generalizar más para afrontar un número finito de divisores. La clave para esta generalización será buscar entre estos divisores a alguno que pudiera reducir $D$ y, caso de encontrarlo, reducir por ese. Puede que haya casos donde haya más de un divisor que pueda reducir, en cuyo caso se puede escoger el que se prefiera.
\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Compuesta}
Sean $f$ un elemento y $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$. Definimos el \emph{algoritmo de división compuesta} de $f$ entre $N$ como sigue:
@ -708,11 +722,11 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\begin{teorema}[de la base de Hilbert]
Sea $A$ un anillo noetheriano. Entonces el anillo de polinomios \anillodepolinomios{A}{x_1, \dots, x_n} es también noetheriano. \todo{Di algo más.}
\end{teorema}
\begin{proposicion} \label{Proposición Kx^r noetheriano}%Proposición 2.1.29 de Singular.
\begin{proposicion} \label{Proposición Kx^r noetheriano}%Proposición 2.1.29 de Singular.
Sea $A$ un anillo noetheriano y $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Entonces, $M$ es un \modulo{A} noetheriano.
\end{proposicion}
Como $K$ es un cuerpo, todos sus ideales son principales, así que es noetheriano. Por el teorema de la base de Hilbert, \Kx{} es noetheriano también. Y por último, por la Proposición~\ref{Proposición Kx^r noetheriano}, $\Kx^r$ es igualmente noetheriano. Esto nos asegura que es suficiente con tener un algoritmo de la división para un número finito de divisores.
Con respecto a los problemas que se presentaban al principio, ya hemos resuelto varios: tenemos un orden para los monomios que nos permite tener un convenio de cuáles son los términos principales de los polinomios, hemos integrado las distintas componentes de un vector de $\Kx^r$ al concepto de monomio y sabemos cómo dividir por ellas, y también sabemos cómo afrontar la división con más de un divisor. Sin embargo, todavía podemos encontrarnos con casos como el siguiente.
\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Fallo División}
Supongamos que $N := \engendrado{x\euno + y\edos, y\euno + x\edos}$ es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x,y}} de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y queremos saber si $f := x^2\edos - y^2\edos$ pertenece a $N$. Al aplicar el algoritmo de la división siguiendo el orden \mayorqueposlex{} de \ref{Algoritmo de la División Compuesta} nos encontramos que ninguno de los dos generadores de $N$ puede reducir a $f$, por lo tanto el resto es el propio $f$. Como el resto es distinto de $0$, estaríamos tentados a decir que $f$ no pertenece a $N$, pero démonos cuenta de que $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$ y, por ende, sí que pertenece.
@ -725,17 +739,17 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\end{equation*}
\end{definicion}
¿Qué es lo que ocurre en el Ejemplo~\ref{Ejemplo Fallo División}? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$.
Esto supone un duro golpe para nuestros algoritmos de la división, ya que cuando para un \submodulo{\Kx} $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ tengamos que $\LM{N} \neq \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}$, aunque el resto sea distinto de $0$, no podremos garantizar que el elemento esté fuera de $N$. Por supuesto, si el resto es $0$ sí que podemos garantizar que sí está. Para solucionar este problema, necesitamos encontrar una representación de los submódulos que sí sea compatible con el algoritmo de la división. Es decir, que cuando dividamos por los generadores y el resto sea distinto de $0$, podamos decir que el elemento no pertenece.
Esto supone un duro golpe para nuestros algoritmos de la división, ya que cuando para un \submodulo{\Kx} $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ tengamos que $\LM{N} \neq \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}$, aunque el resto sea distinto de $0$, no podremos garantizar que el elemento esté fuera de $N$. Por supuesto, si el resto es $0$ sí que podemos garantizar que sí está. Para solucionar este problema, necesitamos encontrar una representación de los submódulos que sí sea compatible con el algoritmo de la división. Es decir, que cuando dividamos por los generadores y el resto sea distinto de $0$, podamos decir que el elemento no pertenece.
\section{Bases de Gröbner}
Para conseguir esta mejor representación, simplemente exigimos la condición que discutíamos en la sección anterior.
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$ y $G$ un subconjunto de $N$. Este subconjunto $G$ es una \emph{base de Gröbner} de $N$ si $N = \engendrado{G}$ y $\engendrado{\LM{G}} = \LM{\engendrado{G}}$.
\end{definicion}
Para verificar si esta clase de conjuntos generadores soluciona de una vez por todas estos problemas, necesitamos unos resultados intermedios.
\begin{lema}[de Dickson]
Sea \nolbreaks{$N \subseteq \naturales^n$} e $I := \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \ \vert \ \mathbf{\alpha} \in N}$ un ideal monomial. Entonces existen $\mathbf{\alpha}_1, \dots, \mathbf{\alpha}_k$ en $N$ de forma que \nolbreaks{$I = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}}$}.
@ -747,24 +761,24 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}}\euno + \engendrado{x^{\mathbf{\beta}_1}, x^{\mathbf{\beta}_2}, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}}\edos + \dots + \engendrado{x^{\mathbf{\gamma}_1}, x^{\mathbf{\gamma}_2}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}}\vectorbasecanonica{r} \\
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\euno, x^{\mathbf{\alpha}_2}\euno, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}\euno, x^{\mathbf{\beta}_1}\edos, x^{\mathbf{\beta}_2}\edos, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}\edos, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_1}\vectorbasecanonica{r}, x^{\mathbf{\gamma}_2}\vectorbasecanonica{r}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}\vectorbasecanonica{r}}.
\end{align*}
Este resultado nos permite ver una condición más fuerte sobre los \submodulo{\Kx}s monomiales de $\Kx^r$: no solo son finitamente generados, como ya sabíamos gracias a la Proposición~\ref{Proposición Kx^r noetheriano}, sino que además admiten conjuntos generadores finitos formados por algunos monomios del conjunto generador original.
\begin{lema}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$ de forma que $N = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\vectorbasecanonica{i_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}\vectorbasecanonica{i_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}\vectorbasecanonica{i_k}}$. Un monomio $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$ pertenece a $N$ si y solo si es un múltiplo de alguno de los monomios generadores. En otras palabras, existe $j \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ de forma que $x^{\mathbf{\alpha}_j}\vectorbasecanonica{i_j} \vert x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$.
\end{lema}
Este pequeño resultado nos da una forma bastante rápida de determinar si un monomio pertenece o no a un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$. Démonos cuenta de que esto es justo lo que hacemos cuando intentamos reducir el término líder de $f$ en el algoritmo de la división de la Definición~\ref{Algoritmo de la División Compuesta}. Con todo esto, ya damos la respuesta final a la pregunta que abre el capítulo.
\begin{teorema} \label{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ y sea $G = \left\lbrace g_1, g_2, \dots, g_k \right\rbrace$ una base de Gröbner de $N$. Un elemento $f$ de $\Kx^r$ pertenece a $N$ si y solo si el resto de $f$ dividido por $G$ según el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Compuesta} es $0$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Como ya mencionamos antes, si el resto es $0$ sabemos que $f \in N$. Asumamos ahora que el resto no es $0$. Eso quiere decir que en alguna iteración nos hemos encontrado con que $\LM{D}$ no es divisible por ninguno de los $\LM{g_i}$. En todo momento, $D$ es de la forma $f - g$ donde $g$ es una combinación lineal de los elementos de $G$ ---los cocientes por los divisores---. Por lo tanto, si $\LM{D}$ no pertenece a \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}, como $G$ es una base de Gröbner, tampoco pertenecerá a $\LM{N}$ y, por lo tanto, $f-g = D \notin N$ lo cual, como $g$ sí que pertenece a $N$, es equivalente a decir que $f \notin N$.
\end{proof}
Con todo esto, ya tenemos una solución al problema de la pertenencia de un elemento a un submódulo: obtener la base de Gröbner del submódulo y dividir por ella para ver si el resto es nulo o no. Sin embargo, no tenemos garantías de que existan bases de Gröbner para todos los submódulos y, en caso de que sí las haya, tampoco sabemos cómo calcularlas.
Recordemos el problema que nos habíamos encontrado en el Ejemplo~\ref{Ejemplo Fallo División}. En este ejemplo, había monomios líderes ocultos en los términos de los generadores. Para desenmascararlos, lo que haremos será lo que vimos en ese ejemplo: anular los términos libres para forzar a que estos aparezcan. Para eso, dados $f = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $g = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{j}$ elementos de $\Kx^r$ y $a$ y $b$ elementos de \Kx{} de forma que $a\LM{f} = b\LM{g} = \mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right)$\footnote{Aquí podría haber un pequeño malentendido con la noción de mínimo común múltiplo: por ejemplo, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de $xy^2$ y $x^2y$ en \anillodepolinomios{\reales}{x, y}? Lo natural sería decir $x^2y^2$, que es nuestra convención, pero también sería válido decir $3x^2y^2$ ya que ambos tienen el mismo orden monomial. Por simplicidad, siempre nos referiremos a aquel que no está multiplicado por constante.}, definimos la siguiente expresión:
\begin{equation*}
\spoly{f}{g} = \begin{cases}
@ -779,7 +793,7 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\end{equation*}
Nótese que esto desvela a $x\edos$ como un monomio líder en $\LM{\engendrado{f, g}}$.
\end{ejemplo}
En esencia, lo que buscaremos hacer es evaluar las parejas de polinomios en el conjunto generador a través de esta expresión, si nos descubren un monomio líder nuevo, lo incorporamos a la base y, si no, seguimos.
\begin{definicion}
Sea $G := \left\lbrace g_1, \dots, g_k \right\rbrace$ y $N := \engendrado{G}$. El algoritmo que utilizaremos para obtener una base de Gröbner para $N$, llamado el \emph{Algoritmo de Buchberger}, se define como sigue:
@ -801,13 +815,13 @@ distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición
\begin{proof}
Véase el apéndice \ref{Apéndice Demostración del Criterio de Buchberger}.\todo{Creo que es mejor gastar energía en otras cosas.}
\end{proof}
Un ejemplo de cálculo de base de \Groebner{} puede encontrarse en apéndice \ref{Sección A mano}.
\section{Sicigias}
En la sección anterior hemos solucionado el problema de pertenencia a un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$, pero necesitamos conocer los generadores de este submódulo. Por lo tanto, hasta el momento solo hemos resuelto la mitad del problema ya que para $\derivaciones{f}$ todavía no sabemos calcular todavía un conjunto de generadores. Para poder hacer esto, introducimos el concepto de sicigia, una noción que extiende el concepto de solución de un sistema lineal en el caso de un espacio vectorial.
\begin{definicion}
Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Una sicigia de los elementos $f_1, f_2, \dots, f_k$ es una \nolbreaks{$k$-tupla} $\left( g_1, g_2, \dots, g_k \right)$ de $A^k$ de forma que $f_1g_1 + f_2g_2 + \dots + f_kg_k = 0$.
\end{definicion}
@ -818,11 +832,11 @@ A^k\rar["\sigma"]&M\\
a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2f_2 + \dots + a_kf_k
\end{tikzcd}
\end{equation}
\begin{definicion}
Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Denotaremos por $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$ \emph{al \submodulo{A} de $A^k$ formado por todas las sicigias de} $f_1, f_2, \dots, f_k$.
\end{definicion}
\todo{Dale un poco más de bombo a este resultado}
Véase que \derivaciones{f}, tal y como está definido en \eqref{Definicion Modulo Derivaciones de f} puede expresarse en términos de sicigias:
\begin{align*}
@ -844,14 +858,14 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{equation*}
M_{s} := \Big\lbrace\left.\vectorhorizontalcuatro{m_s}{m_{s+1}}{\dots}{m_n} \right\rvert (\underbrace{0, 0, \dots, 0}_{s-1}, m_s, m_{s+1}, \dots, m_n) \in M \Big\rbrace,
\end{equation*}
el conjunto $G_s$ es una base de \Groebner{} con respecto al orden $>$.
el conjunto $G_s$ es una base de \Groebner{} con respecto al orden $>$.
\end{lema}
\begin{proof}
Tomemos un $f_s = \vectorhorizontalcuatro{f_s}{f_{s+1}}{\dots}{f_n}$ en $M_s$. Por definición, este tiene un elemento asociado en $M$, $f = \left( 0, 0, \dots, 0, f_s, f_{s+1}, \dots, f_m \right)$. Al ser $G$ una base de \Groebner{} de $M$, tendremos que habrá algún $g \in G$ de forma que $\LM{g} \vert \LM{f}$. Ahora bien, por la condición que satisface el orden, sabemos que todos los términos de $g$ deben encontrarse en la \nolbreaks{$s$-ésima} componente o por debajo, lo cual nos garantiza que $g = \left( 0, 0, \dots, 0, g_s, g_{s+1}, \dots, g_n \right)$. Gracias a esto, sabemos que también se cumplirá que $\LM{g_s} \vert \LM{f_s}$ y, como $G_s \subseteq M_s$, esto es equivalente a que $\LM{M_s} = \engendrado{\LM{G}}$ lo cual nos garantiza que $G_s$ es base de \Groebner{} con respecto a este orden.
\end{proof}
Démonos cuenta de que esto nos permite calcular bases de \Groebner{} a $M_s$ con respecto a cualquier orden: escogemos un orden que satisfaga la condición que impone el Lema~\ref{Lema Restricción Groebner} con el cual $G_s$. Pero démonos cuenta de que $G_s$ es un conjunto generador de $M_s$ independientemente del orden escogido, así que cambiamos el orden y calculamos la base de \Groebner{} a partir de $G_s$ con respecto a este nuevo orden.
\begin{teorema} \label{Teorema Calculo Sicigias}
Sean $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $\Kx^r$ y sean $f_1^+, f_2^+, \dots, f_k^+$ los correspondientes elementos en $\Kx^{r+k}$ pero en este caso por el principio, es decir, si $f_i = \vectorhorizontalcuatro{a_1}{a_2}{\dots}{a_r}$ entonces
\begin{equation*}
@ -861,7 +875,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{equation*}
\syz{f_1, f_2, \dots, f_k} = \engendrado{G_{r+1}}.
\end{equation*}
En particular, $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} con respecto al orden $>$.
En particular, $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} con respecto al orden $>$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Por el lema anterior sabemos que $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de $M_{r+1}$. Queda pues comprobar que $M_{r+1} = \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. Supongamos\footnote{Para que el lector sepa en todo momento cuándo un elemento está en $\Kx^{r+k}$ o $\Kx^{k}$, utilizamos el subíndice en el elemento dándole consistencia con la notación utilizada en el lema anterior. Pero este no debe ser interpretado de forma distinta que si pusiéramos $m'$ o $\overline{m}$; es decir, el subíndice sobre un elemento no debe verse como el resultado de una <<proyección>>.} que $m_{r+1} = \left(\mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M_{r+1}$, entonces existe un elemento asociado $m = \left( 0, 0, \dots, 0, \mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M$. Podemos expresar $m$ de dos formas, una en términos de los vectores de la base canónica y otra en términos de los $f_i^+ + \vectorbasecanonica{r + i}$ que generan $M$:
@ -873,7 +887,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{equation*}
\mu_1f_1 + \mu_2f_2 + \dots + \mu_kf_k = b_1f_1 + b_2f_2 + \dots + b_kf_k = 0.
\end{equation*}
Por ende, $m_{r+1} \in \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. En el otro sentido, si tenemos que $m_{r+1} := \left( \mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k \right)$ pertenece a $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$, entonces existe
Por ende, $m_{r+1} \in \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. En el otro sentido, si tenemos que $m_{r+1} := \left( \mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k \right)$ pertenece a $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$, entonces existe
\begin{equation*}
m := \mu_{r+1}\left( f_1^+ + \vectorbasecanonica{r+1} \right) + \mu_{r+2}\left( f_2^+ + \vectorbasecanonica{r+2} \right) + \dots + \mu_{r+k}\left( f_k^+ + \vectorbasecanonica{r+k} \right) \in M
\end{equation*}
@ -881,9 +895,9 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{proof}
Por lo tanto, para calcular \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}, primero calcularemos una base de \Groebner{} $G$ de $$\engendrado{f_1^+ + \vectorbasecanonica{r + 1}, f_2^+ + \vectorbasecanonica{r + 2}, \dots, f_k^+ + \vectorbasecanonica{r + k}}.$$ Por este último teorema, sabemos que $G_{k+1}$ es un conjunto generador de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} y en particular una base de \Groebner{} con respecto al orden que hayamos escogido. Si deseamos una base de \Groebner{} con respecto a otro orden, como decíamos antes de este teorema, basta con aplicar el algoritmo de Buchberger sobre $G_{k+1}$.
\chapter{El Criterio de Saito}
En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo}
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que
\begin{equation*}
@ -902,8 +916,8 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{align*}
Esto último es una contradicción, ya que $1 \notin \engendrado{x, y}$.
\end{ejemplo}
Antes de poder enunciar el criterio de Saito, necesitamos una definición más.
\begin{definicion}
Un polinomio $p \in \Kx$ se dice libre de cuadrados si, en caso de poder expresarlo de la forma $p = a^2b$, se tiene que $a$ es una unidad de \Kx.
@ -911,22 +925,22 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{lema} \label{Lema MCD Parciales}
Un polinomio $p \in \Kx$ es libre de cuadrados si y solo si $\mcd{p, \diffp{p}{x_1}, \diffp{p}{x_2}, \dots, \diffp{p}{x_n}}$ es una unidad de \Kx.
\end{lema}
El criterio de Saito nos da una forma bastante rápida de determinar si \derivaciones{f} es o no libre. Nos permitimos la licencia de denotar por $\delta_i$ tanto a la derivación como al vector de coeficientes asociado en $\Kx^n$.
\begin{teorema}[Criterio de Saito] \label{Criterio de Saito}
Sea $f$ un polinomio libre de cuadrados de \Kx{} y $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ derivaciones de \derivaciones{f}. Entonces, \derivaciones{f} es libre si y solo si $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ donde $u$ es una unidad de $K$, es decir, un elemento de $K \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$.
\end{teorema}
En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en \cite{VALLES}. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración.
\section{Producto Exterior}
De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para entender esta, necesitaremos entender primero el producto tensorial. En esencia, el producto tensorial aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $O$ son \modulo{A}s y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal, o sea, que $b\left( \bullet, n \right)$ y $b\left( m, \bullet \right)$ son homorfismos de \modulo{A}s para cualquier $m \in M$ y $n \in N$; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos que para cada $\left( m, n \right)$ en $M \times N$ exista un elemento $m * n$ en $E$ de forma que $b'\left( m*n \right) = b\left( m, n \right)$. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Tomemos como $E$ al \modulo{A} definido como $\bigoplus_{\substack{m \in M \\ n \in N}} A \cdot \vectorbasecanonica{m, n}$ donde \vectorbasecanonica{m, n} debe entenderse como la tupla $\left( m, n \right)$ sin ningún tipo de operación asociada, es decir, no debemos pensar que $\vectorbasecanonica{m, n} + \vectorbasecanonica{m', n'} = \vectorbasecanonica{m+m', n+n'}$ al igual que no pensamos que $\euno + \edos = \etres$. Ahora, consideremos dentro de $E$ el \submodulo{A} $S$ definido por
\begin{equation*}
S = \engendrado{ \left.\begin{gathered}
\vectorbasecanonica{m + m', n} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m', n}, \quad
\vectorbasecanonica{m + m', n} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m', n}, \quad
\vectorbasecanonica{m, n + n'} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m, n'}, \\
\vectorbasecanonica{am, n} - a\vectorbasecanonica{m, n}, \quad
\vectorbasecanonica{am, n} - a\vectorbasecanonica{m, n}, \quad
\vectorbasecanonica{m, an} - a\vectorbasecanonica{m, n}
\end{gathered} \right\rvert a \in A, m \in M, n \in N}.
\end{equation*}
@ -935,13 +949,13 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{ejemplo}
Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \reales^3 \times \reales^3 \rightarrow \reales$, que es bilineal. En este caso, todo elemento de $\reales^3 \otimes \reales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---:
\begin{equation}\label{Desglose Producto Tensorial}
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\vectortres{a}{b}{c} \otimes \vectortres{d}{e}{f} + S &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \otimes \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) + S \\
&= ad \euno\otimes\euno + ae\euno\otimes\edos + af\euno\otimes\etres + bd\edos\otimes\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\otimes\edos + bf\edos\otimes\etres + cd\etres\otimes\euno + ce\etres\otimes\edos + cf\etres\otimes\etres + S
\end{aligned}
\end{equation}
(De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente.)
Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\reales^3 \otimes \reales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \reales^3 \otimes \reales^3 \rightarrow \reales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso,
\begin{equation*}
\phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases}
@ -951,7 +965,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*}
Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado.
\end{ejemplo}
Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como
@ -976,11 +990,9 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*}
Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial.
\end{ejemplo}
Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$.
\todo{Añadir la relación con el determinante y decir que si $n$ es mayor que el número de generadores del módulo entonces el producto exterior es cero}
Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <<más grande>>, esto no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo}
Consideremos $\reales^3 \wedge \reales^3 \wedge \reales^3$. Los elementos son de la forma
@ -994,9 +1006,9 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{ejemplo}
Lo que ocurre en estos casos es que los distintos órdenes en los que pongamos los elementos de un producto exterior $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_k$ solo lo cambian en signo. Podemos resumir lo que ocurre en el siguiente lema.
\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior}
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$.
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. En particular, nótese que si $k > n$, entonces $\bigwedge^k V = \conjunto{0}$.
\end{lema}
Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la aplicación $\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue:
@ -1004,20 +1016,29 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
m_1\wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_k \longmapsto \phi\!\left( m_1 \right)\wedge \phi\!\left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \phi\!\left( m_k \right).
\end{equation*}
\end{definicion}
Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\bigwedge^n V$ y $\bigwedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Evaluémosla en $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ para ver exactamente cuál es. Pero antes, démonos cuenta de que en \eqref{Producto Exterior Como Determinante} la forma de simplificar construía el determinate, lo cual es cierto en general:
\begin{equation} \label{Aparición Determinante Función Exterior}
\funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n.
\end{equation}
Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\bigwedge^n V$ y $\bigwedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Qué escalar es este nos lo dice el siguiente lema.
\begin{proposicion} \label{Aparición Determinante Función Exterior}
Sea $\phi : V \rightarrow W$ como en el párrafo anterior. Entonces, la aplicación lineal $\bigwedge^n \phi : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ envía
\begin{equation*}
v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n \mapsto \det\Phi w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n.
\end{equation*}
\end{proposicion}
\begin{proof}
Es suficiente con el razonamiento del párrafo anterior y un desarrollo similar al de \eqref{Producto Exterior Como Determinante}, que como puede verse, es el determinante de una matriz $3\times 3$:
\begin{equation}
\funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n.
\end{equation}
\end{proof}
\section{Demostración del Criterio de Saito}
A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación:
\begin{gather*}
\text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\text{$M$ módulo libre} \ \xLeftarrow[\substack{\text{Teorema de Quillen-Suslin} \\ \text{\cite{ALGEBRA} }}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \ \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo}
\end{gather*}
Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. Más que solucionar nuestro problema, estos resultados nos sirven para ilustrar la gran dificultad que supone garantizar que un módulo reflexivo sea libre.
\subsection{El papel del rango}
En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
\begin{definicion}
@ -1031,17 +1052,37 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{equation*}
forma un cuerpo al cual llamaremos cuerpo de fracciones de $A$. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
\end{definicion}
\todo{Definir la extensión de escalares como $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ y decir cuándo es inyectiva.}
El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene rango $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} libre de rango $r$.
Llamaremos extensión de escalares del \modulo{A} $M$ al conjunto $M \otimes \cuerpofracciones{A}$.
\end{definicion}
\begin{lema}
La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M \otimes \cuerpofracciones{A}$ dada por $m \mapsto m \otimes 1$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
\end{lema}
\begin{proof}
Para la primera afirmación, vemos que $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
Para la segunda, véase que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcll}
\ker\varphi = 0 &\iff& m \otimes 1 \neq 0 &\forall m \in M\setminus\conjunto{0} \\
&\iff & am \otimes \displaystyle\frac{1}{a} \neq 0 &\forall a \in A \setminus \conjunto{0} \\
&\implies& am \neq 0 &
\end{array}
\end{equation*}
\todo{La otra implicación.}
\end{proof}
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene rango $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
\end{definicion}
Recordemos que ya en \ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos.
\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior Módulos}
Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$.
\end{lema}
\begin{proof}
Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\bigwedge^s \otimes \cuerpofracciones{A}$ y $\bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$:
Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\bigwedge^s M \otimes \cuerpofracciones{A}$ y $\bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$:
\begin{align*}
\bigwedge^sM \otimes \cuerpofracciones{A} &\longleftrightarrow \bigwedge^s\left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right) \\
\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s \right) \otimes \frac{a}{b} &\longrightarrow \left( m_1 \otimes \frac{a}{b} \right) \wedge \left( m_2 \otimes 1 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \otimes 1 \right) \\
@ -1055,7 +1096,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{align*}
Ahora bien, por hipótesis $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $n$ así que $\bigwedge^n \left( M \otimes \cuerpofracciones{A} \right)$ será también un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}, en este caso de rango $\binom{n}{s}$. Gracias al isomorfismo, $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$ es igualmente otro \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $\binom{n}{s}$ lo cual quiere decir que $M$ es de rango $\binom{n}{s}$.
\end{proof}
Esta cadena de implicaciones que recogemos aquí nos será muy útil a lo largo de la demostración del Criterio de Saito:
\begin{gather} \label{Esquema Demostración}
\left.\begin{aligned}
@ -1066,28 +1107,28 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\text{$M$ es reflexivo}
\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un módulo libre}
\end{gather}
\subsection{Comienzo de la demostración}
Puede encontrarse en \cite[corolario 1.7]{SAITO} una demostración de que \derivaciones{f} es un módulo reflexivo de rango $n$. Siguiendo el esquema, tenemos que \derivaciones{f} es libre de torsión, pero necesitaríamos que tuviese rango $1$ para continuar hacia delante. Lo que haremos será estudiar el módulo $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ para reducir este rango y poder continuar.
El Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior Módulos} nos garantiza que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} reflexivo de rango $1$. Siguiendo el esquema en \ref{Esquema Demostración}, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es también libre de torsión y, por lo tanto, $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es isomorfo a un ideal de \Kx. Por último, aplicando la última de las implicaciones, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} libre y además de rango $1$. Sumado a esto tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \submodulo{\Kx} de $\bigwedge^n \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$, por lo tanto, $\derivaciones{f} = \engendrado{p \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$ para algún $p$. Nótese que este $p$ está bien definido salvo por alguna unidad de \Kx, es decir, tanto nos daría poner $p$ que $kp$ siempre y cuando exista $k^{-1} \in \Kx$.
Ahora bien, recordemos la sucesión exacta de \ref{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}. Podemos aplicar productos exteriores a los elementos, pero esto hace que la sucesión pueda dejar de ser exacta. Sin embargo, habrá un homomorfismo
\begin{equation*}
\bigwedge^n \derivaciones{f} \xrightarrow{\bigwedge^n \Phi} \bigwedge^n \derivaciones{\Kx}.
\end{equation*}
Recordemos lo que ocurría en \ref{Aparición Determinante Función Exterior}. De forma similar, aquí tendremos que $\bigwedge^n \Phi$ se corresponde con multiplicar por el escalar $p$ ---o $up$ donde $u$ es una unidad de \Kx---. Sin embargo, el hecho de que no tengamos base de \derivaciones{f} impide que se pueda ver $\Phi$ como una matriz. Aun así, nos permitimos el abuso de notación de llamar $\det\Phi := p$, pero no es más que una convención, no se trata de un determinante de una matriz como ocurre en el caso de las aplicaciones entre espacios vectoriales. Tenemos pues que $\bigwedge^n\derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$.
Recordemos lo que ocurría en \ref{Aparición Determinante Función Exterior}. De forma similar, aquí tendremos que $\bigwedge^n \Phi$ se corresponde con multiplicar por el escalar $p$ ---o $up$ donde $u$ es una unidad de \Kx---. Sin embargo, el hecho de que no tengamos base de \derivaciones{f} impide que se pueda ver $\Phi$ como una matriz. Aun así, nos permitimos el abuso de notación de llamar $\det\Phi := p$, pero no es más que una convención, no se trata de un determinante de una matriz como ocurre en el caso de las aplicaciones entre espacios vectoriales. Tenemos pues que $\bigwedge^n\derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$.
\subsection{\derivaciones{f} libre implica $\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$}
Ahora, por un lado, definamos $N := \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n}$ como un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{f} donde los $\delta_i$ forman una base de \derivaciones{f} y consideremos la inclusión $N \xrightarrow{\iota} \derivaciones{f}$. Para aclararnos algo más, escribimos el siguiente esquema de los homomorfismos ---¡ojo!, esto no es una sucesión exacta---:
\begin{equation}\label{Secuencia Demostración Saito}
N = \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n} \xrightarrow{\phantom{s}\iota\phantom{s}} \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi\phantom{s}} \derivaciones{\Kx}.
\end{equation}
Como los $\delta_i \in \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}$, tenemos que existe alguna matriz $A \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx \right)$ de forma que
\end{equation}
Como los $\delta_i \in \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}$, tenemos que existe alguna matriz $A \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx \right)$ de forma que
\begin{equation} \label{Relación Matricial Derivadas}
\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n} = \vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} A
\end{equation}
Por lo tanto, podemos pensar en que la aplicación $\Phi \circ \iota$ envía a cada $\delta_i$ a $\vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} A_i$ donde $A_i$ es la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $A$. Es decir, que las columnas de $A$ se entienden como las coordenadas de los $\delta_i$ en función de la base \conjunto{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}\footnote{Es decir, que $\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A$.}. Pensemos ahora en la aplicación
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}[sep=small]
@ -1096,10 +1137,10 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{tikzcd}
\end{equation*}
Vemos\footnote{De nuevo, recordemos que $\det\Phi$ no es el determinante de una matriz, sino una convención que hemos explicado antes. Por otro lado, $\det\left( \Phi \circ \iota \right)$ sí que es el determinante de una matriz ya que tanto $N$ como \derivaciones{\Kx} son módulos libres.} por ella que $\det\left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = \det A$. Como $\iota$ es un monomorfismo, puede representarse como una matriz que tiene inversa en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$ y por la regla de Cramer\footnote{Por si no la recordamos, esta dice que toda matriz $C$ inversible cumple que $C^{-1} = \frac{1}{\det C} \mathrm{adj}\!\left( C \right)$, con $\mathrm{adj}\!\left( C \right)$ la matriz de adjuntos.} para la matriz inversa, $\det i$ debe ser unidad de \Kx.
\subsubsection{El valor del determinante}
Por un lado, fijamos $f\partial_i \in \derivaciones{f}$; y por otro, definimos $\dertheta{i}{j} := \diffp{f}{x_i}\partial_j - \diffp{f}{x_j}\partial_i \in \derivaciones{f}$. Así,
\subsubsection{El valor del determinante}
Por un lado, fijamos $f\partial_i \in \derivaciones{f}$; y por otro, definimos $\dertheta{i}{j} := \diffp{f}{x_i}\partial_j - \diffp{f}{x_j}\partial_i \in \derivaciones{f}$. Así,
\begin{equation*}
\dertheta{i}{1} \wedge \dertheta{i}{2} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{i-1} \wedge f\partial_i \wedge \dertheta{i}{i+1} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{n-1} \wedge \dertheta{i}{n} \in \bigwedge^n \derivaciones{f}.
\end{equation*}
@ -1111,14 +1152,14 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{equation*}
\det\Phi \left\lvert f\mcd{f^{n-1}, \left( \diffp{f}{x_1} \right)^{n-1}, \left(\diffp{f}{x_2} \right)^{n-1}, \dots, \left( \diffp{f}{x_n} \right)^{n-1}}\right..
\end{equation*}
No nos olvidemos de que gracias al Lema~\ref{Lema MCD Parciales} sabemos que ese máximo común divisor es $1$. Por esta razón, $\det\Phi$ debe dividir a $f$.
No nos olvidemos de que gracias al Lema~\ref{Lema MCD Parciales} sabemos que ese máximo común divisor es $1$. Por esta razón, $\det\Phi$ debe dividir a $f$.
En el caso de que $f$ ya sea irreducible, $\det\Phi$ solo puede ser $1$ o $f$. Supongamos que es $1$, entonces como hemos dicho algo más arriba, $\det A = 1 \cdot \det\iota$, que es una unidad de \Kx. Nuevamente por la regla de Cramer, tendremos que $A^{-1}$ es una matriz con elementos en \Kx. Pero esto implicaría que la expresión \ref{Relación Matricial Derivadas} es bidireccional y que podemos expresar
\begin{equation*}
\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}A^{-1} = \vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n}.
\end{equation*}
Esto es lo mismo que decir $\derivaciones{f} = \derivaciones{\Kx}$, algo que en general no es cierto salvo que $f$ sea una constante. Descartamos tal situación por ser muy aislada.
Necesitamos un pequeño resultado para poder trabajar el caso en el que $f$ no es irreducible.
\begin{lema}
Sea $f$ un polinomio libre de cuadrados de \Kx{} que puede ser descompuesto en factores irreducibles como $f = f_1f_2\cdots f_r$. Entonces, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
@ -1129,7 +1170,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\delta\!\left( f \right) &= \delta\!\left( f_1 f_2 \cdots f_r \right) \\
pf_1 f_2 \cdots f_r &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} + f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) \\
pf_1 f_2 \cdots f_r - f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} \\
\left( pf_{-i} - \delta\!\left( f_{-i} \right)\right)f_i &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i}.
\left( pf_{-i} - \delta\!\left( f_{-i} \right)\right)f_i &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i}.
\end{align*}
Como además $\mcd{f_i, f_{-i}} = 1$ por ser $f$ libre de cuadrados, podemos decir que $\delta\!\left( f_i \right) \vert f_i$. Este argumento nos garantiza que $\derivaciones{f} \subseteq \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
En el otro sentido, supongamos que $\delta \in \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$. Está claro que $f_1 \vert \delta\!\left( f_1 \right)$. Ahora asumamos que $f_1f_2\cdots f_k \vert \delta\!\left( f_1f_2\cdots f_k \right)$ para algún $k \in \conjunto{1, 2, \dots, r-1}$, cambiemos sutilmente la expresión $f_{-i}$ a $f_1 f_2 \cdots f_{i-1} f_{i+1} \cdots f_{k} f_{k+1}$ y veamos que
@ -1143,16 +1184,16 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{align*}
Por lo tanto, concluimos $\bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i} \subseteq \derivaciones{f}$ y, por ende, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
\end{proof}
A partir de este lema podemos decir que $\bigwedge^n \derivaciones{f} \subseteq \bigwedge^n \derivaciones{f_i}$, lo cual nos lleva a que $\engendrado{\det\Phi} \subseteq \engendrado{f_i}$ como ideales de \Kx. Pero esto no es más que decir $f_i \vert \det\Phi$ para todo $i$, por lo tanto $f \vert \det\Phi$. Junto con el resultado anterior, tenemos que $\det\Phi = u'f$ donde $u'$ es una unidad de \Kx.
Por todo esto,
Por todo esto,
\begin{equation*}
\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A = \det \left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = u'f \det\iota = uf, \quad \text{con $u$ una unidad de \Kx.}
\end{equation*}
\subsection{$\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ implica que \derivaciones{f} es libre}
\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.3\textwidth}
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}
@ -1162,14 +1203,14 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\end{wrapfigure}
Antes de embarcarnos en la otra implicación, necesitaremos un resultado auxiliar.
\begin{lema}
Si $M$ es un \modulo{\Kx} finitamente generado, entonces \dual{M} es reflexivo.
\end{lema}
\begin{proof}
Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$. Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx} que aparece a la derecha. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $m \otimes 1$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones si y solo si $M$ es libre de torsión ya que en caso de que no, un elemento como $m \otimes 1 = fm\otimes \frac{1}{f}$ podría ser $0$ si $fm = 0$. Con el mapa $\mathrm{eval}$ cometemos un abuso de notación y lo reutilizamos en ambos casos aunque no sea la misma aplicación. Esta envía un par $\left( f, m \right)$ a $f\!\left( m \right)$ en ambos casos, es decir, evalúa la aplicación en el punto que se le dé.
Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, pensaremos en $\dual{M}$ como en
\begin{equation*}
\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q}}{\mathrm{eval}\!\left( h, m \right) \in \Kx \ \forall m \in M},
@ -1203,18 +1244,18 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\delta &= \frac{b_1}{f}\delta_1 + \frac{b_2}{f}\delta_2 + \dots + \frac{b_n}{f}\delta_n, \quad \text{donde $b_i \in \Kx$, o también} \\
&= \overline{b}_1\delta_1 + \overline{b}_2\delta_2 + \dots + \overline{b}_n\delta_n, \quad \text{donde $\overline{b}_i \in \cuerpofracciones{\Kx}$.}
\end{align*}
En este último paso vamos garantizar que estos $\overline{b}_i$ están\footnote{Más bien, se pueden ver como elementos de \Kx. Como por ejemplo $\frac{f^2}{f} \in \cuerpofracciones{\Kx}$, que realmente puede verse como $f$ en \Kx.} en \Kx. Para ello, acordémonos de que $\delta \in \derivaciones{f}$ y $\bigwedge^n \derivaciones{f} = \bigwedge^n N$, por lo que si en $\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n$ sustituimos $\delta_i$ por $\delta$ nos queda
En este último paso vamos garantizar que estos $\overline{b}_i$ están\footnote{Más bien, se pueden ver como elementos de \Kx. Como por ejemplo $\frac{f^2}{f} \in \cuerpofracciones{\Kx}$, que realmente puede verse como $f$ en \Kx.} en \Kx. Para ello, acordémonos de que $\delta \in \derivaciones{f}$ y $\bigwedge^n \derivaciones{f} = \bigwedge^n N$, por lo que si en $\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n$ sustituimos $\delta_i$ por $\delta$ nos queda
\begin{equation*}
\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_{i-1} \wedge \delta \wedge \delta_{i+1} \wedge \dots \wedge \delta_{n-1} \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N.
\end{equation*}
Percatémonos de que esta expresión, una vez eliminamos todos los productos exteriores nulos, queda como $\overline{b}_i \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N$, lo cual es solo posible si $\overline{b}_i \in \Kx$. Con esto concluimos que $\delta \in N$ y, por tanto, que $N = \derivaciones{f}$.
\todo[inline]{Para poner un ejemplo espero a la introducción, para que case con el ejemplo que allí pongamos.}
\appendix
\chapter{Un ejemplo completo de cálculo}
El algoritmo para calcular las sicigias que nos permite obtener \derivaciones{f}, en esencia el algoritmo de Buchberger, tienen un alto coste computacional que hace impracticable ejecutarlos <<a mano>>. En la práctica, se utilizan sistemas de Álgebra Computacional que ya vienen preparados con estos algoritmos en sus versiones más óptimas. Sin embargo, como ocurre con muchas otras operaciones a lo largo de nuestra experiencia matemática, conviene saber cómo hacerlas a mano para tener una mayor intuición. En muchos textos que tratan sobre estos asuntos se suelen omitir los ejemplos a este tipo de operaciones o se dan algunos en casos demasiado sencillos ---ideales de \Kx{} en vez de \modulo{\Kx} de $\Kx^n$ donde da la casualidad que todo se anula a la primera--- por lo que creemos conveniente desarrollar en este apéndice por completo un caso no trivial para que el lector se lleve una imagen realista de qué ocurre detrás de la pantalla. Además, ilustraremos también después cómo se resuelve utilizando un sistema dedicado a este tipo de cálculos.
\section{A mano} \label{Sección A mano}
En concreto, intentaremos calcular \derivaciones{f} donde $f = x^2z + y^3$ en el anillo \anillodepolinomios{\complejos}{x, y, z} con el orden \mayorqueposdeglex. Recordemos que lo que buscamos es una descripción total del conjunto
\begin{equation*}
@ -1250,15 +1291,15 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{description}
\item[1\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = x^2z\euno$ es divisible por $\LM{g_1}$ y $\LM{g_3}$. Escogemos, por pura preferencia personal, $g_1$ y reducimos ---la primera resta---. Después de reducir, $\LT{D} = y^3\euno$ es divisible por $\LM{g_2}$ así que reducimos por este. Tras esta reducción, $\LT{D} = -\frac{1}{2}x\edos$, que no es divisible por ninguno de los monomios líderes de $g_1$, $g_2$ y $g_3$. Se lo sustraemos a $D$ y lo añadimos al resto. Esto deja $D = -\frac{1}{3}y\etres + \ecinco$, $c_1 = \frac{1}{2}x$, $c_2 = \frac{1}{3}y$, $c_3 = 0$ y $r = -\frac{1}{2}x\edos$.
\item[2\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = -\frac{1}{3}y\etres$ no es divisible por ninguno de los términos líderes de los divisores. Así pues, no reducimos y sustraemos este término de $D$ para pasarlo a $r$. Esto deja $D = \ecinco$, $r = -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres$ y los cocientes como antes.
\item[3\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = \ecinco$ y nos encontramos con la misma situación que antes. Al sustraer este de $D$, $D$ pasa a ser $0$, por lo que el algoritmo termina. Nos queda $r = -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres + \ecinco$.
\item[3\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = \ecinco$ y nos encontramos con la misma situación que antes. Al sustraer este de $D$, $D$ pasa a ser $0$, por lo que el algoritmo termina. Nos queda $r = -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres + \ecinco$.
\end{description}
De aquí en adelante, no escribiremos todas las <<cajas de división>> desde el principio, sino que las iremos añadiendo conforme las necesitemos. Tampoco seguiremos tachando ni indicando hasta dónde alcanza cada iteración para descargar las divisiones.
El resto de la anterior división es irreducible por los demás elementos, así que lo usaremos como elemento $g_4$. Multiplicar por un escalar un elemento no afecta al resultado, por lo tanto, intentamos obtener la expresión más sencilla para este y así
\begin{equation*}
g_4 := -6\left( -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres +\ecinco\right) = \vectorvertical{0 \\ 3x \\ 2y \\ 0 \\ -6}.
\end{equation*}
Ahora sí, comenzamos a calcular la base de Gr\"obner. La primera pareja, $g_1$ y $g_2$, nos da
\begin{equation*}
\spoly{g_1}{g_2} = 3y^2g_1 - 2xzg_2 = \vectorvertical{6xy^2z \\ 3y^2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} - \vectorvertical{6xy^2z \\ 0 \\ 2xz \\ 0 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 3y^2 \\ -2xz \\ 0 \\ 0};
@ -1299,7 +1340,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
5 & & & & & \textbullet & \checkmark
\end{tabular}
\end{wrapfigure}
y entre estos las parejas ya evaluadas se muestran en la tabla a la derecha marcadas con el símbolo \checkmark. Démonos cuenta de que $\spoly{g_i}{g_i} = 0$ y que $\spoly{g_i}{g_j} = -\spoly{g_j}{g_i}$, por lo que no hace falta prestar atención por debajo de la diagonal la cual indicamos con el símbolo \textbullet. En blanco dejamos las parejas que sí están pendientes de ser evaluadas. Así pues, continuamos con la pareja formada por $g_2$ y $g_3$:
\begin{equation*}
\spoly{g_2}{g_3} = x^2g_1 - 3y^2g_3 = \vectorvertical{3x^2y^2 \\ 0 \\ x^2 \\ 0 \\ 0} - \vectorvertical{3x^2y^2 \\ 0 \\ 0 \\ 3y^2 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2 \\ -3y^2 \\ 0}.
@ -1335,8 +1376,8 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
5 & & & & & \textbullet & \checkmark & \checkmark \\
6 & & & & & & \textbullet &
\end{tabular}
\end{wrapfigure}
\end{wrapfigure}
De hecho, como puede verse, se reduce al cero, así que no hay nada que añadir. Tras dar por evaluadas todas las parejas con términos líderes en componentes distintas nos queda la tabla actualizada que vemos a la izquierda. Solo queda por lo tanto una pareja por evaluar:
\begin{equation*}
\spoly{g_6}{g_7} = x^2g_6 - yg_7 = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2y \\ 3x^2z \\ -3x^2} - \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2y \\ -3y^3 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ 0 \\ 3x^2z + 3y^3 \\ -3x^2}.
@ -1366,26 +1407,26 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
\begin{equation*}
\derivaciones{x^2z + y^3} = \engendrado{\vectorvertical{3x \\ 2y \\ 0}, \vectorvertical{3y^2 \\ -2xz \\ 0 }, \vectorvertical{0 \\ y \\ 3z}, \vectorvertical{0 \\ x^2 \\ -3y^2}, \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2z + y^3}}.
\end{equation*}
\section{Con ordenador}
Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULAR} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta.
Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULARPROGRAMA} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta.
Lo primero de todo es definir el anillo sobre el que estamos trabajando:
\begin{lstlisting}
ring A = 0, (x,y,z), (c,Dp);\end{lstlisting}
Esta instrucción define no solo \texttt{A} como un anillo sino que también lo activa de cara al resto de operaciones; es decir, de aquí en adelante el programa asume que los ideales, módulos, etcétera son en función a este anillo. También observamos que hay tres elementos diferenciados en el valor que asignamos al anillo: \texttt{0}, \texttt{(x,y,z)} y \texttt{(c,Dp)}. El primero da la característica del anillo en el que estemos trabajando, el segundo indica el número y nombre de variables que tiene ---como $[x, y, z]$ en $\anillodepolinomios{K}{x, y, z}$--- y el último especifica el orden monomial de módulos a utilizar, que en este caso será \mayorqueposdeglex.
Después de esto, ya podemos definir el polinomio $f$:
\begin{lstlisting}
poly f = x2z + y3;\end{lstlisting}
Nótese que aunque podríamos utilizar la notación \texttt{x\textsuperscript{$\wedge$}2*z + y\textsuperscript{$\wedge$}3} la sintaxis de Singular nos permite escribir los exponentes simplemente a la derecha de las variables y omitir el símbolo de multiplicación.
Tras esto, construimos los vectores para poder hallar su base de Gr\"obner:
\begin{lstlisting}
module M = [diff(f,x), 1, 0, 0, 0], [diff(f,y), 0, 1, 0, 0],
[diff(f,z), 0, 0, 1, 0], [f, 0, 0, 0, 1]; \end{lstlisting}
Implícitamente estamos diciendo que \texttt{M} es el \nolbreaks{\texttt{A}-módulo} generado por esos elementos, no solo le estamos asignando la lista.
Ya por último le pedimos que nos calcule la base de Gr\"obner de dichos generadores:
\begin{lstlisting}
module G = std(M); // Guardamos la base como el modulo engendrado
@ -1393,13 +1434,13 @@ module G = std(M); // Guardamos la base como el modulo engendrado
print(G);\end{lstlisting}
y el programa nos devuelve
\begin{lstlisting}
0, 0, 0, 0, 0, 3y2,2xz,x2,
0, 0, 0, x, 3y2, 0, 1, 0,
0, y, x2, 0, -2xz,1, 0, 0,
x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0, 0, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 3y2,2xz,x2,
0, 0, 0, x, 3y2, 0, 1, 0,
0, y, x2, 0, -2xz,1, 0, 0,
x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0, 0, 0, 1,
-x2, -3,0, 0, 0, 0, 0, 0 \end{lstlisting}
que son los mismos elementos que habíamos obtenido antes a mano pero ordenados en orden ascendente.
Alternativamente, puede usarse la instrucción dedicada al cómputo de sicigias, \texttt{syz}:
\begin{lstlisting}
ideal I = diff(f,x), diff(f,y), diff(f,z), f;
@ -1407,9 +1448,9 @@ S = syz(I);
print(S);\end{lstlisting}
Esto devuelve
\begin{lstlisting}
0, 0, x, 3y2,
y, x2, 0, -2xz,
3z,-3y2,-2z,0,
0, 0, x, 3y2,
y, x2, 0, -2xz,
3z,-3y2,-2z,0,
-3,0, 0, 0\end{lstlisting}
Démonos cuenta de que esto no es el mismo resultado que antes y eso se debe a que la función \texttt{syz} nos devuelve solo un conjunto generador, no una base de Gr\"obner. Pero eso tiene fácil solución:
\begin{lstlisting}
@ -1417,20 +1458,46 @@ module GS = std(S);
print(GS);\end{lstlisting}
Y esto sí que ya nos devuelve la base de Gr\"obner que buscamos:
\begin{lstlisting}
0, 0, 0, x, 3y2,
0, y, x2, 0, -2xz,
x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0,
0, 0, 0, x, 3y2,
0, y, x2, 0, -2xz,
x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0,
-x2, -3,0, 0, 0
\end{lstlisting}
\chapter{Demostración del Criterio de Buchberger} \label{Apéndice Demostración del Criterio de Buchberger}
Si $G$ es una base de \Groebner, entonces, como $\spoly{f}{g} \in \engendrado{G}$, por el Teorema~\ref{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner} tenemos que el resto de su división entre los elementos de $G$ será $0$.
Como $\Kx^n$ es noetheriano, podemos asumir desde el principio que $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_k}$
\todo[inline]{Terminar}
La implicación contraria es la que conlleva más trabajo. Lo primero que debemos hacer es introducir un orden monomial nuevo en función del conjunto generador. Como $\Kx^r$ es noetheriano, podemos asumir desde el principio que $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_k}$. Definimos, por tanto, el siguiente orden monomial de módulos en $\Kx^k$:
\begin{equation*}
x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} >_\mathrm{Schreyer} x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \iff \begin{cases}
\LM{x^\mathbf{\alpha}g_i} > \LM{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\
\LM{x^\mathbf{\alpha}g_i} = \LM{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{e} \quad $i < j$.
\end{cases}
\end{equation*}
Ahora, para dos generadores $g_i$ y $g_j$ de forma que $\LM{g_i}$ y $\LM{g_j}$ estén en la misma componente, tomamos $c_jm_{ji}$ y $c_im_{ij}$ elementos de \Kx{} de forma que $c_i, c_j \in K$ y $m_{ji}, m_{ij}$ son monomios de \Kx y cumplen
\begin{equation*}
\spoly{g_i}{g_j} = c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j.
\end{equation*}
Esto último lo podemos expresar en términos de los elementos de $G$ como
\begin{equation*}
c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j = \sum_{\nu = 1}^{k} a_{\nu}^{(ij)} g_{\nu}.
\end{equation*}
Con todo esto, definimos la expresión
\begin{equation*}
s_{ij} := c_jm_{ji}\vectorbasecanonica{i} - c_im_{ij}\vectorbasecanonica{j} - \sum_{\nu = 1}^{k} a_{\nu}^{(ij)} \vectorbasecanonica{\nu} \in \Kx^k.
\end{equation*}
Que puede entenderse como un vector que registra una combinación lineal que anula los generadores, es decir, $s_{ij} \in \syz{g_1, g_2, \dots, g_k}$. Además, con respecto al orden de Schreyer, $\LM{s_{ij}} = m_{ji}\vectorbasecanonica{i}$. Esto se debe por un lado a que $\LM{m_{ij}g_j} = \LM{m_{ji}g_i}$ pero $i < j$; y por otro a que
\begin{equation*}
\LM{a_{\nu}^{(ij)} g_{\nu}} \leq \LM{c_jm_{ji}g_i - c_im_{ij}g_j} < \LM{m_{ji}g_i}.
\end{equation*}
Con los preliminares terminados, pasamos a demostrar que si el resto de \spoly{g_i}{g_j} entre $G$ es $0$ para todo $i$ y $j$, entonces tenemos una base de \Groebner. Lo primero es tomar un $f \in \engendrado{G}$ y un $a = \left( a_1, a_2, \dots, a_k \right) \in \Kx^k$ de forma que $f = \sum_{i = 1}^{k} a_i g_i$. Ahora consideremos la expresión
\begin{equation*}
a = h + \sum
\end{equation*}
\todo{Completar la demostración.}
\bibliography{bibliografia}
\bibliographystyle{plain}
\nocite{*}
%\printbibliography
\end{document}
% \nocite{*}
% \printbibliography
\end{document}

6
bibliografia.bib
View File

@ -1,5 +1,5 @@
@Book{SINGULAR,
shorthand = "Singular",
@Book{SINGULARLIBRO,
shorthand = "Greuel",
author="Gert-Martin Greuel and Gerhard Pfister",
title="A Singular Introduction to Commutative Algebra",
publisher = "Springer",
@ -83,7 +83,7 @@
urldate = {2025-05-28},
year = {2025}
}
@misc {DGPS,
@misc {SINGULARPROGRAMA,
shorthand = {Singular},
title = {{\sc Singular} {4-4-0} --- {A} computer algebra system for polynomial computations},
author = {Decker, Wolfram and Greuel, Gert-Martin and Pfister, Gerhard and Sch\"onemann, Hans},