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 \newcommand{\syz}[1]{\ensuremath{\mathrm{syz}\left(#1\right)}}
 \DeclareMathOperator{\grado}{grado}
 
+\newcommand{\spoly}[2]{\ensuremath{\mathrm{S}\!\left( #1, #2 \right)}}
+
 \newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}}
 
 \begin{document}
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  		Cuando obtenemos el resto de $f$ dividido por $g$ lo que esencialmente buscamos es un representante $r$ <<canónico>> de la clase de equivalencia de $f$ en \cociente{\Kx^r}{\engendrado{g}}. En este caso, entendemos canónico como que no tenga ningún término divisible por $\LT{g}$, es decir, que sea <<irreducible>>. Entendida así, la noción de <<dividir>> puede extenderse a submódulos de $\Kx^r$ en general. Es decir, dado cualquier \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$, podemos <<dividir>> $f$ por $N$ encontrando el representante <<canónico>> de la clase de $f$ en \cociente{\Kx^r}{N}. En este caso, nuestra idea de canónico será que no haya ningún elemento $g$ en $N$ de forma que $\LT{g}$ sea uno de los términos de este representante. Para formalizar esta idea de división más general, necesitamos de algunos resultados previos.
  		\begin{definicion}
- 			Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los monomios líderes de $N$ lo denotaremos por
+ 			Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los monomios líderes de $G$ lo denotaremos por
  			\begin{equation*}
- 				\LM{N} := \definicionconjunto{\LM{g}}{g \in N}.
+ 				\LM{N} := \engendrado{\LM{g} \vert g \in N}.
  			\end{equation*}
  		\end{definicion}
  		
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  		\end{definicion}
  		En este caso, procedemos como en el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Simple} pero, en vez de intentar reducir en cada paso por un solo divisor, buscamos si alguno de todos ellos nos sirve para anular \LM{D} y, en caso de que sí, lo utilizamos para reducir. Nótese que puede haber varios, en cuyo caso, puede elegirse el que se prefiera. 
  		
- 		Pudiera parecer que ya hemos solucionado el problema que planteábamos al principio del capítulo puesto que ya tenemos un algoritmo de la división y además sabemos que todos los submódulos de $\Kx^n$ son finitamente generados. Sin embargo, todavía podemos encontrarnos con casos como el siguiente: supongamos que $N := \engendrado{x\euno + y\edos, y\euno + x\edos}$ es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x,y}} de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y queremos saber si $f := x^2\edos - y^2\edos$ pertenece a $N$. Al aplicar el algoritmo de la división siguiendo el orden \mayorqueposlex{} de \ref{Algoritmo de la División Compuesta} nos encontramos que ninguno de los dos generadores de $N$ puede reducir a $f$, por lo tanto el resto es el propio $f$. Como el resto es distinto de $0$, estaríamos tentados a decir que $f$ no pertenece a $N$, pero démonos cuenta de que $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$ y, por ende, sí que pertenece.
+ 		Pudiera parecer que ya hemos solucionado el problema que planteábamos al principio del capítulo puesto que ya tenemos un algoritmo de la división y además sabemos que todos los submódulos de $\Kx^n$ son finitamente generados. Sin embargo, todavía podemos encontrarnos con casos como el siguiente: 
+ 		\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Fallo División}
+ 			Supongamos que $N := \engendrado{x\euno + y\edos, y\euno + x\edos}$ es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x,y}} de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y queremos saber si $f := x^2\edos - y^2\edos$ pertenece a $N$. Al aplicar el algoritmo de la división siguiendo el orden \mayorqueposlex{} de \ref{Algoritmo de la División Compuesta} nos encontramos que ninguno de los dos generadores de $N$ puede reducir a $f$, por lo tanto el resto es el propio $f$. Como el resto es distinto de $0$, estaríamos tentados a decir que $f$ no pertenece a $N$, pero démonos cuenta de que $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$ y, por ende, sí que pertenece.
+ 		\end{ejemplo}
  		
  		¿Qué es lo que ocurre aquí? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$. Esto supone un duro golpe para nuestros algoritmos de la división, ya que cuando para un \submodulo{\Kx} $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ tengamos que $\LM{N} \neq \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}$, aunque el resto sea distinto de $0$, no podremos garantizar que el elemento esté fuera de $N$. Por supuesto, si el resto es $0$ sí que podemos garantizar que sí está.
  		
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  		Con todo esto, ya tenemos una solución al problema de la pertenencia de un elemento a un submódulo: obtener la base de Gröbner del submódulo y dividir por ella para ver si el resto es nulo o no. Sin embargo, no tenemos garantías de que existan bases de Gröbner para todos los submódulos y, en caso de que sí las haya, tampoco sabemos cómo calcularlas.
  		
+ 		Recordemos el problema que nos habíamos encontrado en \ref{Ejemplo Fallo División}. En este ejemplo, había monomios líderes ocultos en los términos de los generadores. Para desenmascararlos, lo que haremos será lo que vimos en ese ejemplo: anular los términos libres para forzar a que estos aparezcan. Para eso, dados $f = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $g = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{j}$ elementos de $\Kx^r$ y $a$ y $b$ elementos de \Kx{} de forma que $a\LM{f} = b\LM{g} = \mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right)$\footnote{Aquí podría haber un pequeño malentendido con la noción de mínimo común múltiplo: por ejemplo, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de $xy^2$ y $x^2y$ en \anillodepolinomios{\reales}{x, y}? Lo natural sería decir $x^2y^2$, que es nuestra convención, pero también sería válido decir $3x^2y^2$ ya que ambos tienen el mismo orden monomial. Ambos serían válidos, pero siempre nos referiremos a aquel que no está multiplicado por constante.}, definimos la siguiente expresión:
+ 		\begin{equation*}
+ 			\spoly{f}{g} = \begin{cases}
+ 				\frac{a}{\LC{f}}f - \frac{b}{\LC{g}}g \ \text{si $i = j$;} \\
+ 				0 \ \text{si $i \neq j$.}
+ 			\end{cases}
+ 		\end{equation*}
+ 		\begin{ejemplo}
+ 			Sean $f = 3x^2y\euno + 2x\edos$ y $g = 13x\euno + y^5\edos$ elementos de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ con el orden \mayorquelexpos. Como $\LM{f} = x^2y\euno$ y $\LM{g} = x\euno$ están en la misma componente ---\euno---, y $\mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right) = x^2y = \LM{f} = xy\LM{g}$, tenemos que
+ 			\begin{equation*}
+ 				\spoly{f}{g} = \frac{1}{3}\left( 3x^2y\euno + 2x\edos \right) + \frac{xy}{13} \left( 13x\euno + y^5\edos \right) = \frac{2}{3}x\edos + \frac{1}{13}xy^6\edos.
+ 			\end{equation*}
+ 			Nótese que esto desvela a $x\edos$ como un monomio líder en $\LM{\engendrado{f, g}}$.
+ 		\end{ejemplo}
  		
+ 		En esencia, lo que buscaremos hacer es evaluar las parejas de polinomios en el conjunto generador a través de esta expresión, si nos descubren un monomio líder nuevo, lo incorporamos a la base y, si no, seguimos.
+ 		\begin{definicion}
+ 			Sea $G := \left\lbrace g_1, \dots, g_k \right\rbrace$ y $N := \engendrado{G}$. El algoritmo que utilizaremos para obtener una base de Gröbner para $N$, llamado el Algoritmo de Buchberger, se define como sigue:
+ 			\begin{algorithmic}[1]
+ 				\State Definimos $d_i \gets g_i$ para $i \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ y $t \gets k$.
+ 				\While{hayan $i$ y $j$ en $\left\lbrace 1, \dots, t \right\rbrace$ de forma que el resto de $\spoly{g_i}{g_i}$ entre $d_1, \dots, d_t$ no sea $0$}
+ 					\State Sean $i$ y $j$ una de esas posibles parejas.
+ 					\State Sea $r$ el resto de dividir \spoly{g_i}{g_j} entre $d_1, \dots, d_t$.
+ 					\State $d_{t+1} \gets r$
+ 					\State $t \gets t+1$
+ 				\EndWhile
+ 			\end{algorithmic}
+ 			Al final del algoritmo, $\left\lbrace d_1, \dots, d_t \right\rbrace$ forma una base de Gröbner de $N$.
+ 		\end{definicion}
  	\section{Syzygias}
  		
 \chapter{El Criterio de Saito}