Revisión 20 mayo
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\usepackage{graphicx}
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\graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG/Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza}}
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\graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG_Sixto/Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza}}
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% Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas:
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\usepackage{amssymb} % para cargar las fuentes de la A.M.S.
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\usepackage{amsmath} % para usar letras griegas en negrita
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\usepackage{amsthm} % mejora los entornos tipo-teorema y proof
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\usepackage{mathptmx} % fuente Times
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{diffcoeff}
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\usepackage{nolbreaks}
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\usepackage{nicefrac}
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@ -105,9 +106,25 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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\newcommand{\engendrado}[1]{\ensuremath{\left\langle #1 \right\rangle}}
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\newcommand{\anillodepolinomios}[2]{\ensuremath{#1\!\left[#2\right]}}
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\newcommand{\LT}[1]{\ensuremath{\text{LT}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\LM}[1]{\ensuremath{\text{LM}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\syz}[1]{\ensuremath{\text{syz}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\Kx}{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}
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\newcommand{\formatonombreorden}[1]{\texttt{#1}}
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\newcommand{\mayorque}[1]{\ensuremath{>_{#1}}}
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\newcommand{\mayorquemonomial}[1]{\mayorque{\formatonombreorden{#1}}}
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\newcommand{\mayorquelex}{\mayorquemonomial{LEX}}
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\newcommand{\mayorquedeglex}{\mayorquemonomial{GRAD-LEX}}
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\newcommand{\mayorquemodular}[2]{\mayorque{\left(\formatonombreorden{#1}, \formatonombreorden{#2} \right)}}
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\newcommand{\mayorqueposlex}{\mayorquemodular{POS}{LEX}}
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\newcommand{\mayorquelexpos}{\mayorquemodular{LEX}{POS}}
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\newcommand{\LT}[1]{\ensuremath{\mathrm{LT}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\LM}[1]{\ensuremath{\mathrm{LM}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\LC}[1]{\ensuremath{\mathrm{LC}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\Hom}[3]{\ensuremath{\mathrm{Hom}_#1\!\left( #2, #3 \right)}}
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\newcommand{\dual}[1]{\ensuremath{ {#1}^* }}
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\newcommand{\syz}[1]{\ensuremath{\mathrm{syz}\left(#1\right)}}
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\DeclareMathOperator{\grado}{grado}
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\newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}}
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@ -174,6 +191,8 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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%--- CAPÍTULO 1 DEL TFG
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\chapter{Introducción}
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% Contar todo lo que sabemos hacer.
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Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables, por ejemplo \nolbreaks{$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + xz$}, y estamos trabajando intensivamente con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones como
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\begin{equation*}
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y^2\diffp{f}{x} + xy\diffp{f}{y} - x^3\diffp{f}{z}, \quad \diffp{f}{x} - \diffp{f}{z}, \quad \text{o} \quad \left(x^2 - y^2\right)\diffp{f}{x} + \left( xy - yz \right)\diffp{f}{y}.
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@ -186,99 +205,290 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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\chapter{Módulos}
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\todo[inline]{¿Hace falta introducir las definiciones de anillo y espacio vectorial o se dan por hechas?}
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Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
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\begin{itemize}
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||||
\item $(M, +)$ es un grupo abeliano y
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||||
\item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned}
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||||
&\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\
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||||
&a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\
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||||
&\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
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||||
&1 \cdot m = m
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||||
\end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$
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\end{itemize}
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\end{definicion}
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||||
\begin{ejemplo}
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||||
$\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
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||||
La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}.
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\section{Conceptos básicos}
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||||
Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
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||||
\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
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\begin{itemize}
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||||
\item $(M, +)$ es un grupo abeliano y
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\item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned}
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||||
&\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\
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||||
&a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\
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||||
&\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
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||||
&1 \cdot m = m
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\end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$
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\end{itemize}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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$\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
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||||
A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
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\end{ejemplo}
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||||
\todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?}
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \submodulo{A} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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||||
Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
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||||
La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}.
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||||
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores,
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||||
A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
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\end{ejemplo}
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\todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \submodulo{A} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
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Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores,
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\begin{equation*}
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||||
\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}},
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||||
\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
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||||
\end{ejemplo}
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
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\begin{equation*}
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||||
N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
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\end{equation*}
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||||
En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A}, $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
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\end{definicion}
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\section{Homomorfismos}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un homomorfismo de \modulo{A}s si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
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\begin{itemize}
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||||
\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
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||||
\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
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||||
\end{itemize}
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||||
para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. \todo[inline]{¿Se deberían introducir las nociones de isomorfismo, ser isomorfo, etc?}
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||||
\end{definicion}
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||||
\begin{ejemplo}
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||||
La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
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||||
Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s.
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\end{ejemplo}
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\begin{lema}
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||||
Sea un anillo $A$, dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ e $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
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||||
\end{lema}
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||||
\todo[inline]{¿Es apropiado incluir la demostración o es suficientemente obvio?}
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||||
Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
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\begin{align*}
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||||
\partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
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||||
p(x, y) &\mapsto \diffp{p}{x_i}(x, y).
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||||
\end{align*}
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\todo[inline]{¿Hasta qué punto interesa o deja de interesar poner los argumentos de los polinomios?}
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Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto donde residen todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
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\begin{equation*}
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\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}},
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||||
\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
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\end{ejemplo}
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
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\begin{equation*}
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||||
N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
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||||
\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
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||||
\end{equation*}
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||||
En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un homomorfismo de \modulo{A}s si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
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\begin{itemize}
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||||
\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
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\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
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\end{itemize}
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||||
para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. \todo[inline]{¿Se deberían introducir las nociones de isomorfismo, ser isomorfo, etc?}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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||||
La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
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||||
Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s.
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||||
\end{ejemplo}
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\begin{lema}
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||||
Sea un anillo $A$, dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ e $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
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||||
\end{lema}
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\todo[inline]{¿Es apropiado incluir la demostración o es suficientemente obvio?}
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\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A}, $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
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||||
\end{definicion}
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||||
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
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||||
\end{equation*}
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Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{f} es isomorfo a un submódulo de $\Kx^n$.
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Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
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||||
\begin{align*}
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||||
\partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
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||||
p(x, y) &\mapsto \diffp{p}{x_i}(x, y).
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||||
\end{align*}
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||||
\todo[inline]{¿Hasta qué punto interesa o deja de interesar poner los argumentos de los polinomios?}
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||||
Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto donde residen todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
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\begin{equation*}
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||||
\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
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||||
\end{equation*}
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||||
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
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||||
\end{equation*}
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||||
\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo. Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
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||||
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||||
\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo. Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
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||||
Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$.
|
||||
\end{definicion}
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||||
\begin{lema}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A} noetheriano.\todo[inline]{¿A partir de qué momento se pueden suprimir las premisas genéricas?} Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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||||
\begin{lema}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
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||||
\end{lema}
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\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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||||
Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$.
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||||
\end{definicion}
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||||
\begin{lema}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A} noetheriano.\todo[inline]{¿A partir de qué momento se pueden suprimir las premisas genéricas?} Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
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||||
\end{lema}
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||||
\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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||||
\begin{lema}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
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||||
\end{lema}
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||||
\begin{proof}
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||||
[\textsc{Demostración}]
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{definicion}
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||||
Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por
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||||
\begin{equation*}
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||||
\Hom{A}{M}{N} := \definicionconjunto{\phi : M \longrightarrow N}{\text{$\phi$ es un homomorfismo de \modulo{A}s}}.
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\end{equation*}
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Se define el módulo dual \dual{M} como el conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ en $A$:
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\begin{equation*}
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\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
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\end{equation*}
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Diremos que $M$ es un \modulo{A} reflexivo si $M$ es isomorfo a \dual{\dual{M}}.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo reflexivo.}
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\end{ejemplo}
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\begin{ejemplo}
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\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo no reflexivo.}
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\end{ejemplo}
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\section{Secuencias Exactas}
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\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
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A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos.
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Uno de los principales problemas que tienen los módulos en general es que describirlos es más complicado que en el caso de los espacios vectoriales. Con los espacios vectoriales, sabemos que siempre existe una base y que, dándola, describimos por completo este espacio. En el caso de los módulos, sin embargo, dar una base en el sentido de base de espacio vectorial no siempre es posible. Esto se materializa en el problema de ser capaz de determinar si un elemento en particular se encuentra dentro del módulo.
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Veamos cómo se afronta este problema a distintos niveles.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}
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Supongamos que tenemos \anillodepolinomios{\reales}{x} ---solo una variable--- como módulo de sí mismo, $f := x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$ y $g := x^{3} - 9x^{2} + 26x - 24$ dos elementos de este y queremos determinar si el polinomio $p = 3x^7 + 4x^5 - 3x^2 + x + 1$ pertenece al submódulo ---o en este caso, ideal--- $\engendrado{f, g}$. Como \anillodepolinomios{\reales}{x} es un dominio euclídeo, es dominio de ideales principales y, por lo tanto,
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\begin{equation*}
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\engendrado{f, g} = \engendrado{\gcd \left(f, g\right)} = \engendrado{x^2 - 5x + 6}.
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\end{equation*}
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Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios:
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\begin{equation*}
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p = \underset{\text{cociente}}{\underbrace{\left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)}} \left( x^2 - 5x + 6 \right) + \underset{\text{resto}}{\underbrace{7007x - 13511}}.
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\end{equation*}
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El resto es distinto de $0$, por lo que $p$ no pertenece a \engendrado{f, g}.
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\end{ejemplo}
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Este ejemplo nos señala el camino para investigar la pertenencia a un módulo: primero, debemos encontrar una representación de los generadores para los que un <<algoritmo de la división>> tenga sentido; después, realizamos esta división que debe estar definida de forma que si el <<resto>> es distinto de cero, sepamos que el elemento no pertenece, y si es cero, entonces sí.
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Visto así, el ejemplo \eqref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar al conjunto generador con un solo elemento, para el cual tenemos el algoritmo de la división usual definido. Además, sabemos que el resto de este algoritmo de la división arroja la conclusión que buscamos.
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El problema aparece cuando empezamos a investigar conjuntos más complicados.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Ideal Principal Tres Variables}
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Consideremos ahora el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$, un elemento $f: = 4x^2y+ 12xy^2 + \frac{5}{2}xz^3 + x^2yz$ y el ideal $I := \engendrado{f}$. Aquí, no hay problema en conseguir un sistema de generadores que nos permita <<dividir>> puesto que solo hay un elemento. Sin embargo, a la hora de intentar dividir, nos encontramos dudando sobre cómo hacerlo. Tal y como está escrito, podríamos inclinarnos por tomar como el término principal a $4x^2y$ e intentar dividir como lo hacemos en \anillodepolinomios{\reales}{x}, pero hay términos que tienen mayor grado, así que puede que esta forma no nos termine llevando a un resto como buscamos. Pero si decidimos poner a un término de grado máximo, al principio, ¿cuál de los dos deberíamos elegir, $xz^3$ o $x^2yz$? ¿son los dos válidos y nos llevarán al mismo resultado? En resumen, ¿cómo debemos tomar el valor que tenemos que tomar como <<líder>> para dirigir la división?
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\end{ejemplo}
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Ideal Tres Variables Varios Generadores}
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En el mismo anillo que el ejemplo anterior, consideremos el ideal $I := \engendrado{x + y, xyz, x^2 + y^2 + z^2}$. Con este ideal la situación es todavía peor que con el anterior. ¿Nos sirven estos generadores? ¿Y cómo hacemos para dividir con ellos?
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\end{ejemplo}
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Vemos por lo tanto que en el momento en el que introducimos más variables, perdemos la capacidad de resolver el problema de una forma razonable. Para poder solucionar este problema, deberemos generalizar el algoritmo de la división siguiendo las claves del ejercicio \eqref{Ejemplo Pertenencia Ideal Dos Variables} para que este pueda aplicarse a estos nuevos objetos y, asimismo, deberemos trabajar en una representación del ideal que también nos permita que esto funcione como es debido, para evitar las ambigüedades vistas en este mismo ejercicio.
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\section{Graduación de Módulos}
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Pensemos con detalle en el algoritmo de la división en un anillo de polinomios familiar como es \anillodepolinomios{\reales}{x}. Al dividir $p = x^3 + 2x^2 - x + 1$ entre $q = x^2 - 1$, buscamos anular el término de mayor grado de $p$ ---$x^3$--- haciendo al mayor término de $q$ ---$x^2$--- alcanzar a este. Es decir, lo que hacemos puede expresarse como
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\begin{align*}
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x^3 + 2x^2 - x + 1 &= 0q + x^3 + 2x^2 - x + 1 \\
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x^3 + 2x^2 - x + 1 &= xq +
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\end{align*} \todo{Completar.}
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Como puede apreciarse, el funcionamiento de este algoritmo depende muy fuertemente de la noción de grado de un polinomio. Sin embargo, en el caso de módulos el grado no siempre está claro. Por lo tanto, introducimos el concepto de que un anillo o un módulo esté <<graduado>>.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo. Se dice que es un anillo graduado si existe una descomposición $\bigoplus_{g=0}^{\infty} A_g$ donde $A_g$ es un grupo abeliano para todo $g$ y se cumple que $A_g A_h \subseteq A_{g+h}$ para todo $g$ y $h$.
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Sea ahora $M$ un \modulo{A}. Se dice que es un \modulo{A} graduado si existe una descomposición $\bigoplus_{g\in \enteros} M_g$ donde $M_g$ es un grupo abeliano para todo $g$ y se cumple que $A_{h} M_{g} \subseteq M_{g+h}$.
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Los elementos de $A_g$ y de $M_g$ se denominan homogeneos de grado $g$.
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\end{definicion}
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El problema de estos grados es que no nos permiten ordenar los distintos monomios que nos aparecen de forma unívoca. Por ejemplo, en $xyz + x^2y + xy^2$ los tres monomios que aparecen son distintos el uno del otro aunque son del mismo grado. Para solucionar esto, debemos introducir el concepto de orden monomial.
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\section{Órdenes monomiales}
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El concepto de orden monomial nos permite construir un orden total sobre los monomios de \Kx. Para poder definirlo bien, debemos identificar un monomio en $n$ variables con un vector en $\naturales^n$ que represente sus exponentes, es decir,
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\begin{equation*}
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x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots x_n^{\alpha_n} \longleftrightarrow \left( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \right).
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\end{equation*}
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Tomando $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$, notaremos $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$ como $x^\mathbf{\alpha}$. Así pues, podemos tratar
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\begin{definicion}
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Un orden monomial $>$ es un orden total sobre los monomios en $n$ variables que respeta la multiplicación, es decir, que satisface
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\begin{equation*}
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x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}
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\end{equation*}
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para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}[Orden lexicográfico]
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Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal,
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$x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$ si la primera componente no nula por la izquierda de $\alpha - \beta$ es positiva. Con los valores de antes, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$ ya que la primera componente de $\left( 3, 2, 4 \right) - \left( 2, 4, 4 \right) = \left( 1, -2, 0 \right)$ es positiva.
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Es fácil ver que este orden es, en efecto, un orden monomial ya que si $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$, tendremos que la primera componente de $\mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ será positiva, y lo mismo ocurrirá con la de $\mathbf{\alpha} + \mathbf{\gamma} - \left( \mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma} \right) = \mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ por lo que $x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$.
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Para referirnos a este orden en concreto utilizaremos \mayorquelex.
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\end{ejemplo}
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\begin{ejemplo}[Orden graduado-lexicográfico]
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En ocasiones no nos interesará ordenar los monomios con el orden lexicográfico puesto que no tiene en cuenta el grado: $x^2 > xy^{129}z^{34}$. Por lo tanto, podemos definir un orden que tenga en cuenta el grado; en particular, que primero ordene por el grado y, en caso de empate, utilice el orden lexicográfico:
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\begin{equation*}
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x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \Longleftrightarrow \begin{cases}
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\grado{x^\mathbf{\alpha}} > \grado{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \grado{x^\mathbf{\alpha}} = \grado{x^\mathbf{\beta}} \; \text{y} \; x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
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\end{cases}
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\end{equation*}
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Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.
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\end{ejemplo}
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Para poder generalizar este concepto a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
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2xy + y^2 \\ x^3 \\ y
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\end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos + y\etres$. Así que a las expresiones de la forma $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ con $i \in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace$ las llamaremos monomios de \Kx.
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\begin{definicion}
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Sea $>$ un orden monomial en \Kx. Un orden monomial de módulos $>_\text{mód}$ es un orden total sobre los monomios de $\Kx^r$ que es compatible con la estructura de \modulo{\Kx} de $\Kx^r$ y con el orden $>$, es decir, que satisface
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\begin{itemize}
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\item $x^{\mathbf{\alpha}}\vectorbasecanonica{i} >_\text{mód} x^{\mathbf{\beta}}\vectorbasecanonica{j} \implies x^{\mathbf{\alpha}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{i} >_\text{mód} x^{\mathbf{\beta}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{j}\quad$ y
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\item $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} > x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$
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\end{itemize}
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para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^n$ e $i$ y $j$ en $\left\lbrace 1, \dots, r \right\rbrace$.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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La extensión natural del orden monomial \mayorquelex{} a los monomios de $\Kx^n$ es ordenar primero en función de la posición, haciendo que las primeras posiciones vayan antes que las últimas ---por ejemplo $\vectorbasecanonica{2} > \vectorbasecanonica{3}$---, y si hubiese un empate, entonces se utilizase el orden \mayorquelex. Así definimos el siguiente orden monomial de módulos:
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\begin{equation} \label{Definicion Orden Lexicográfico Módulos}
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x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} > x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \Longleftrightarrow \begin{cases}
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i < j \quad \text{o} \\
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i = j \ \text{y} \ x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
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\end{cases}
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\end{equation}
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Sin embargo, podríamos haber tomado la decisión de que primero se comparasen $x^\mathbf{\alpha}$ y $x^\mathbf{\beta}$ y, en caso de empate, se hubiesen mirado las posiciones. Ambas posibilidades dan lugar a órdenes monomiales de módulos distintos: %Poner otra ecuación de definición con el otro orden.
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Vemos pues que es necesario aclarar si la posición de los monomios debe ser evaluada antes o después, así que denotamos a estos órdenes como \mayorquemodular{POS}{LEX} para el correspondiente a la definición \eqref{Definicion Orden Lexicográfico Módulos} y \mayorquemodular{LEX}{POS} para aquel que primero compara según el orden lexicográfico y después según la posición.
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Por ver un caso concreto, $xy\edos \mayorquelexpos y^3\euno$ pero $y^3\euno \mayorqueposlex xy\edos$.
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Esta generalización que hemos hecho no está limitada a \mayorquelex, también se podría realizar con otros órdenes como \mayorquedeglex. Incluso se podrían permutar las posiciones para obtener todavía más órdenes.
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\end{ejemplo}
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Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la respuesta de las preguntas con las que abríamos el capítulo. Ahora, podemos dar algunas respuestas a las preguntas que nos aparecían en los ejemplos \eqref{Ejemplo Ideal Principal Tres Variables} y \eqref{Ejemplo Ideal Tres Variables Varios Generadores}.
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\begin{definicion}
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Sea $p := c_1x^\mathbf{s_1}\vectorbasecanonica{i_1} + c_2x^\mathbf{s_2}\vectorbasecanonica{i_2} + \dots + c_mx^\mathbf{s_m}\vectorbasecanonica{i_m}$ un polinomio de $\Kx^r$ y $>$ un orden monomial de módulos. Sea $k \in \left\lbrace 1, \dots, m \right\rbrace$ de forma que $x^\mathbf{s_k}$ sea el máximo del conjunto de monomios de $p$ según el orden $>$, entonces
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\begin{itemize}
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\item el monomio líder de $p$ se denomina $\LM{p}:= x^\mathbf{s_k}\vectorbasecanonica{i_k}$;
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\item el coeficiente líder de $p$ es el coeficiente que acompaña al monomio líder en $p$ y se define como $\LC{p} := c_k$;
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\item el término líder de $p$ es $\LT{p} := \LC{p}\LM{p}$.
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\end{itemize}
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\end{definicion}
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Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Por lo tanto, damos ya nuestro algoritmo de la división.
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\begin{definicion}
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Sean $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx. Diremos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ y lo notaremos por $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} \vert x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}[algoritmo de la división]
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Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en \Kx. Para dividir $f$ entre $g$ aplicaremos un algoritmo que consiste en replicar el algoritmo que ya conocemos para los polinomios en una variable. Sin embargo, ahora los términos que guían los coeficientes que vamos poniendo son $\LT{f}$ y $\LT{g}$:
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\todo[inline]{Escribir el algoritmo con la librería que toca.}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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contenidos...
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\end{ejemplo}
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Para completar estas herramientas, introducimos las bases de Gröbner.
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\section{Bases de Gröbner}
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El primer obstáculo a superar, como ya hemos mencionado antes, es el tener una buena representación <<favorable>> de los generadores de un ideal $I$ del módulo $\Kx^r$. ¿Pero qué buscamos cuando decimos que queremos una representación favorable?
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Antes de nada, veamos que siempre podremos encontrar un sistema generador finito, lo cual es de gran ayuda.
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\begin{lema}[de Dickson]
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Todo ideal monomial está finitamente generado. Más formalmente:
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sea $N \subseteq \naturales^n$ e $I := \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \ \vert \ \mathbf{\alpha} \in N}$ un ideal monomial. Entonces existen $\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \dots, \mathbf{\alpha}_k$ en $N$ de forma que $I = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}}$.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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\todo[inline]{Para poner la demostración, además de que es larga por inducción, hacen falta algunos resultados previos. ¿La ponemos o es suficiente con un dibujo ilustrativo de la escalera?}
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\end{proof}
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\begin{teorema}[de la base de Hilbert]
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contenidos...
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\end{teorema}
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\section{Syzygias}
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\chapter{El Criterio de Saito}
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% Contarlo de primeras.
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\section{Producto Exterior}
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De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos
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% Demostrar que Der R es reflexivo.
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% Propiedades de los modulos reflexivos (libre implica proyectivo implica reflexivo y los conversos condicionados), reflexivo implica libre de torsión,
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%
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\end{document}
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