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Cambio de la extensión de escalares.

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Sixto 2025-06-11 09:42:58 +02:00
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@ -792,21 +792,13 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M \otimes \cuerpofracciones{A}$ dada por $m \mapsto m \otimes 1$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión. La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M \otimes \cuerpofracciones{A}$ dada por $m \mapsto m \otimes 1$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
\end{lema} \end{lema}
\begin{proof} \begin{proof}
Para la primera afirmación, vemos que $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial. La aplicación $m \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{m}{q}$ de es un isomorfismo así podemos ver la extensión de escalares como $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ o $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)^{-1}M$ según nos convenga. En este caso, utilizaremos la segunda para ver que
\begin{align*}
Para la segunda, véase que \ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
\begin{equation*} &\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
\begin{array}{rcll} &\iff am \neq 0 \\
\ker\varphi = 0 &\iff& m \otimes 1 \neq 0 &\forall m \in M\setminus\conjunto{0} \\ &\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.
&\iff & am \otimes \displaystyle\frac{1}{a} \neq 0 &\forall a \in A \setminus \conjunto{0} \\ \end{align*}
&\implies& am \neq 0 &
\end{array}
\end{equation*}
Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ puede escribirse como $\mu \otimes \frac{1}{q}$. Consideremos el homomorfismo de $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
\todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
\end{proof} \end{proof}
\begin{definicion} \begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$. Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.