Sixto/TFG_Sixto
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Inclusión de la definición de secuencia exacta y los convenios para expresar dentro de estas que una función es inyectiva o sobreyectiva.

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Sixto 2025-05-24 18:18:50 +02:00
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@ -339,11 +339,19 @@ urlcolor=black]{hyperref}
y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que tenemos que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que este sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Para ello, basta darse cuenta que el kernel de esta es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo. y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que tenemos que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que este sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Para ello, basta darse cuenta que el kernel de esta es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo no reflexivo.}hgfh \todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo no reflexivo.}
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
\section{Secuencias Exactas} En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
\begin{definicion}
Diremos que una expresión del siguiente estilo:
\begin{equation*}
\dots \xrightarrow{\phi_k} M_k \xrightarrow{\phi_{k+1}} M_{k+1} \xrightarrow{\phi_{k+2}} M_{k+2} \xrightarrow{\phi_{k+3}} \dots
\end{equation*}
es una sucesión exacta si se cumple que $\imagen \phi_i = \ker \phi_{i+1}$ para todo $i$.
Para indicar que una aplicación $\phi : M \rightarrow N$ es inyectiva, escribiremos $0 \rightarrow M \xrightarrow{\phi} N$; y para indicar que es sobreyectiva, $M \xrightarrow{\phi} N \rightarrow 0$.
\end{definicion}
\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias} \chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos. A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos.