diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf index cea69e2..05ec466 100644 Binary files a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf and b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.pdf differ diff --git a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex index 023a495..8da1ca5 100644 --- a/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex +++ b/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex @@ -475,20 +475,25 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}. \Phi_1(m)(n):=\Phi(m, n)=:\Phi_2(n)(m). \end{equation*} \end{definicion} -Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\dual{M}\to A$, definida mediante evaluación, que induce un homomorfismo natural $\Psi:=\Phi^M_1:M\to\dualdual{M}$. Esta aplicación envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\Psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$: + Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\dual{M}\to A$, definida mediante evaluación, que induce un homomorfismo natural $\Psi:=\Phi^M_1:M\to\dualdual{M}$. Esta aplicación envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\Psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$: \begin{align*} \Psi : M &\longrightarrow \dualdual{M} \\ m &\longmapsto \Psi\!\left( m \right) : \dual{M} \longrightarrow A \\ &\hspace{2.1cm} \phi \hspace{0.2cm} \longmapsto \phi\!\left( m \right) \end{align*} + \begin{definicion} Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $\Psi$ es un isomorfismo. + \end{definicion} \begin{ejemplo} -\todo[inline]{Cambiaría la estructura de este ejemplo usando bases duales y lo simplificaría.} - Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \Hom{K}{V}{K} se compone de las aplicaciones lineales de $V$ en $K$. Cada elemento $\phi$ de \Hom{K}{V}{K} puede representarse como la multiplicación por una matriz, puesto que + + Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \dual{V} admite como base a la base dual compuesta por los $\mathbf{e}^*_{i}$ definidos como \begin{equation*} - \phi\!\left( v \right) = \productoescalar{\vectorhorizontalcuatro{\phi\!\left( v_1 \right)}{\phi\!\left( v_2 \right)}{\hdots}{\phi\!\left( v_n \right)}}{v}; + \mathbf{e}^{*}_{i}\!\left( \vectorbasecanonica{j} \right) := \begin{cases} + 1 & \text{si $i = j$;} \\ + 0 & \text{si no.} + \end{cases} \end{equation*} - y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Basta darse cuenta que el kernel de $\psi$ es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo. + Como una base de \dual{V} tiene tantos elementos como una de $V$, $V$ y \dual{V} deben ser isomorfos y, por ende, \dual{V} y \dualdual{V} también. Así pues, $V$ y \dualdual{V} son isomorfos. Pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\Psi$ sea un isomorfismo. Para ello, supongamos que $\Psi\!\left( v \right) = \Psi\!\left( v' \right)$; entonces, como $\mathrm{id} \in \dual{V}$, $\mathrm{id}\!\left( v \right) = \mathrm{id}\!\left( v' \right)$ por lo que $\Psi$ es inyectiva, lo cual ya nos garantiza que sea un isomorfismo. \end{ejemplo} \begin{ejemplo} Consideremos ahora el \modulo{\enteros} \cociente{\enteros}{p\enteros} donde $p$ es un número primo. Sabemos que $\cociente{\enteros}{p\enteros} = \engendrado{1}$; por lo tanto, cualquier $\phi \in \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$ está unívocamente determinado por la imagen de $1$. Supongamos que $\phi\!\left( 1 \right) = x \in \enteros$, se debe cumplir que @@ -497,8 +502,7 @@ Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\du \end{equation*} Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo. \end{ejemplo} - Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}. \todo{Puedes decir que más adelante vas a comparar estos conceptos sobre módulos y espacios vectoriales.} - + La reflexividad jugará un papel importante en la demostración del Criterio de Saito que ilustramos en el esquema de \eqref{Esquema Demostración}. Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}. En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas. \begin{definicion}