Añadido el ejemplo de módulo reflexivo. He elegido que como ejemplo se demuestre que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -97,11 +97,14 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 \usepackage[pizarra, barra]{conjuntos_TFG}
 
 % Vectores
-\usepackage[negrita, parentesis, vertical]{vectores_TFG}
+\usepackage[negrita, parentesis, vertical, punto]{vectores_TFG}
 
 % Cosas propias
 \newcommand{\modulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-módulo}}
 \newcommand{\submodulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-submódulo}}
+\newcommand{\espaciovectorial}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-espacio} vectorial}
+\newcommand{\subespaciovectorial}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-subespacio} vectorial}
+
 \DeclareMathOperator{\imagen}{im}
 \usepackage[loadshadowlibrary, shadow, textwidth=20mm, textsize=tiny]{todonotes}
 
@@ -285,9 +288,9 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\end{equation*}
 		Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
 		\begin{equation*}
-			\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
+			\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
 		\end{equation*}
-		Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{f} es isomorfo a un submódulo de $\Kx^n$.
+		Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{\Kx} es isomorfo a $\Kx^n$ y, por esta misma razón, \derivaciones{f} puede verse como un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$.
 		
 		\begin{definicion}
 			Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
@@ -329,10 +332,14 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			Diremos que $M$ es un \modulo{A} reflexivo si $M$ es isomorfo a \dualdual{M} por medio de esta aplicación $\psi$.
 		\end{definicion}
 		\begin{ejemplo}
-			\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo reflexivo.}
+			Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un \nolbreaks{$K$-espacio vectorial} de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. Podemos ver a $V$ como un \modulo{K} y, entonces, \Hom{K}{V}{K} son simplemente las aplicaciones lineales de $V$ en $K$. Cada elemento $\phi$ de \Hom{K}{V}{K} puede representarse como la multiplicación por una matriz, puesto que
+			\begin{equation*}
+				\phi\!\left( v \right) = \productoescalar{\vectorhorizontalcuatro{\phi\!\left( v_1 \right)}{\phi\!\left( v_2 \right)}{\hdots}{\phi\!\left( v_n \right)}}{v};
+			\end{equation*}
+			y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que tenemos que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que este sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Para ello, basta darse cuenta que el kernel de esta es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo.
 		\end{ejemplo}
 		\begin{ejemplo}
-			\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo no reflexivo.}
+			\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo no reflexivo.}hgfh
 		\end{ejemplo}
 		
 	\section{Secuencias Exactas}
@@ -456,11 +463,11 @@ urlcolor=black]{hyperref}
  			\end{itemize}
  		\end{definicion}
  		
- 		Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Lo primero es entender cuándo pueden dividirse dos monomios de $\Kx^r$. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$. Ahora sí, podemos dar un algoritmo de la división.
+ 		Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Lo primero es entender cuándo pueden dividirse dos monomios de $\Kx^r$. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$. Ahora sí, podemos dar un algoritmo de la división en $\Kx^r$. Este consiste en imitar el algoritmo usual para dividir un polinomio por otro en una variable; pero en este caso, en vez de guiarnos por el grado para encontrar los términos <<principales>> del cociente y el dividendo, utilizamos el término líder. 
- 		
  		\begin{definicion}[algoritmo de la división]
  			Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en \Kx. Para dividir $f$ entre $g$ aplicaremos un algoritmo que consiste en replicar el algoritmo que ya conocemos para los polinomios en una variable. Sin embargo, ahora los términos que guían los coeficientes que vamos poniendo son $\LT{f}$ y $\LT{g}$:
  			
+ 			
  			\todo[inline]{Escribir el algoritmo con la librería que toca.}
  		\end{definicion}
  		\begin{ejemplo}