Diagrama que ilustra el concepto de proyectivo y diagrama que ilustra el concepto de sucesión exacta.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

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 \usepackage{graphicx}
+\usepackage{wrapfig}
 \graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG_Sixto/Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza}}
 % Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas:
 \usepackage{amssymb}               % para cargar las fuentes de la A.M.S.
@@ -66,6 +67,7 @@
 %\usepackage{lmodern}              % fuente Times
 \usepackage{tikz}                  % para los dibujos
 \usetikzlibrary{babel}              % para evitar conflictos entre TikZ y babel
+\usepackage{tikz-cd}
 
 %\usepackage{longtable}             % permite saltos de páginas en tablas largas
 
@@ -381,13 +383,61 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\begin{definicion}
 			Diremos que una expresión del siguiente estilo:
 			\begin{equation*}
-				\dots \xrightarrow{\phi_k} M_k \xrightarrow{\phi_{k+1}} M_{k+1} \xrightarrow{\phi_{k+2}} M_{k+2} \xrightarrow{\phi_{k+3}} \dots
+				\dots \xrightarrow{\phi_{k-1}} M_k \xrightarrow{\phi_{k}} M_{k+1} \xrightarrow{\phi_{k+1}} M_{k+2} \xrightarrow{\phi_{k+2}} \dots
 			\end{equation*}
-			es una sucesión exacta si se cumple que $\imagen \phi_i = \ker \phi_{i+1}$ para todo $i$.
+			es una sucesión exacta si se cumple que $\imagen \phi_i = \ker \phi_{i+1}$ para todo $i$, como ilustra este diagrama:
 			
+			\begin{figure}[h]
+				\centering
+				\scriptsize
+				\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
+					\foreach \veces in {2, 1}{
+						\begin{scope}[xshift=\veces*6 cm]
+							\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 1, y radius = 2];
+							\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 2, y radius = 4];
+							\filldraw[black] (0, 0) ellipse [x radius = 1pt, y radius = 2pt];
+							\draw (-5.75,  3.97) -- (0.25,  1.94);
+							\draw (-5.75, -3.97) -- (0, -2);
+							\draw (-4.15, 1.4) -- (0, 0);
+							\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75,  1.94);
+							\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
+							\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75,  -1.94);
+							\node at (0.5, 0) {$0$};
+							\node at (0, -3)  {$M_{k+\veces}$};
+							\node at (3, -2) {$\phi_{k+\veces}$};
+						\end{scope}
+					}
+					\begin{scope}[xshift=0 cm]
+						\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 1, y radius = 2];
+						\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 2, y radius = 4];
+						\filldraw[black] (0, 0) ellipse [x radius = 1pt, y radius = 2pt];
+						\draw (-5.75,  3.97) -- (0.25,  1.94);
+						\draw (-5.75, -3.97) -- (0, -2);
+						\draw (-4.15, 1.4) -- (0, 0);
+						\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75,  1.94);
+						\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
+						\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75,  -1.94);
+						\node at (0.5, 0) {$0$};
+						\node at (0, -3) { $M_k$};
+						\node at (3, -2) {$\phi_{k}$};
+					\end{scope}
+					\begin{scope}[xshift=18 cm]
+						\draw (-5.75,  3.97) -- (0.25,  1.94);
+						\draw (-5.75, -3.97) -- (0, -2);
+						\draw (-4.15, 1.4) -- (0, 0);
+						\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75,  1.94);
+						\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
+						\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75,  -1.94);
+					\end{scope}
+					\draw (-4.15, -1.4) -- (-5.75,  -1.94);
+					\draw (-4.15, 1.4) -- (-5.75,  1.94);
+					\node at (-3, -2) {$\phi_{k-1}$};
+				\end{tikzpicture}
+			\end{figure}
 			Para indicar que una aplicación $\phi : M \rightarrow N$ es inyectiva, escribiremos $0 \rightarrow M \xrightarrow{\phi} N$; y para indicar que es sobreyectiva, $M \xrightarrow{\phi} N \rightarrow 0$.
 		\end{definicion}
 		
+		
 		Con las secuencias exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f}$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}; para poder identificarlo, haremos el cociente de $J$ por \engendrado{f} para que así todas las expresiones de $J$ que sean múltiplos de $f$ vayan al cero. Todo esto lo podemos expresar como sigue:
 		\begin{equation} \label{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}
 			0 \rightarrow \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi} \derivaciones{\Kx} \xrightarrow{\kappa} \Kx^n \xrightarrow{\iota} J \xrightarrow{\pi} \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \rightarrow 0.
@@ -398,7 +448,13 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\begin{definicion} \label{Definición Módulo Proyectivo}
 			Un \modulo{A} $P$ es proyectivo si para cada epimorfismo de \modulo{A}s $e : M \rightarrow N$ y cada homomorfismo de \modulo{A} $h: P \rightarrow N$ existe un homomorfismo de \modulo{A}s $\phi : P \rightarrow M$ de forma que $h = e \circ \phi$.
 		\end{definicion}
-		\todo[inline]{Aquí habrá que poner el diagrama de las secuencias exactas que expresan esto como en el Lectures.}
+		Suele ser común referirse a esto diciendo que todo homomorfismo $h$ puede ser <<elevado>> a través de cualquier epimorfismo $e$ a un homomorfismo $\phi$ y queda ilustrado por el siguiente diagrama de secuencias exactas:
+		\begin{equation*}
+			\begin{tikzcd}
+				& P \arrow[d, "h"] \arrow[ld, "\phi" above] & \\
+				M \arrow[r, "e"] & N \arrow[r] & 0
+			\end{tikzcd}
+		\end{equation*}
 		
 		\begin{ejemplo}
 			Sean $M = \cociente{\enteros}{4\enteros}$, $N = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ y $P = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ vistos como \modulo{\enteros}s. Como $e$ es un epimorfismo de \modulo{\enteros}s, necesariamente tendremos que $e\!\left( 0 \right) = e\!\left( 2 \right) = 0$ y $e\!\left( 1 \right) = e\!\left( 3 \right) = 1$. Como $h$ simplemente tomaremos la identidad. Sea ahora $\phi$ un homomorfismo de \modulo{\enteros}s cualquiera; existen dos posibilidades para $\phi\!\left( 1 \right)$: