fusion2

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -286,12 +286,13 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 	\end{equation*}
 	El vector de coeficientes expresa una <<relación>> entre los elementos de \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} al igual que una solución de un sistema lineal homogéneo expresa una relación entre las columnas de una matriz. El conjunto de todas estas relaciones o soluciones del sistema se conoce como el módulo de sicigias. Para poder calcularlo, necesitaremos las Bases de \Groebner: una herramienta que nos ayuda a la hora de determinar si un elemento pertenece o no a un ideal de \Kx, pero en este caso generalizada también a módulos. Todo esto lo desarrollaremos en el Capítulo \ref{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}.
 
-	Por último, una de las principales dificultades que presentan los módulos es conocer si son libres y, en caso de que sí, conseguir una base. Así como en cualquier espacio vectorial sabemos que siempre hay una base y que todo subespacio también la tiene, no tiene por qué ser así en el caso de módulos. Para poder discernir en particular si \derivaciones{f} admite una base, la herramienta a utilizar es el Criterio de Saito. Este resultado afirma que \derivaciones{f} admite una base si y solo si se pueden encontrar $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \in \derivaciones{f}$ de forma que ---viéndolos como vectores de $\Kx^n$--- se cumpla
+	Por último, una de las principales dificultades que presentan los módulos es conocer si son libres y, en caso afirmativo, conseguir una base. Así como en cualquier espacio vectorial sabemos que siempre hay una base y que todo subespacio también la tiene, no tiene por qué ser así en el caso de módulos. Para poder discernir en particular si \derivaciones{f} admite una base, la herramienta a utilizar es el Criterio de Saito. Este resultado afirma que \derivaciones{f} admite una base si y solo si se pueden encontrar $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \in \derivaciones{f}$ de forma que ---viéndolos como vectores de $\Kx^n$--- se cumpla
 	\begin{equation*}
 		\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf\quad \text{donde $u$ es una unidad de \Kx}.
 	\end{equation*}
 	En el Capítulo \ref{Capítulo del Criterio de Saito} desarrollaremos la demostración de este criterio basados en \cite{VALLES}.
 
+
 	De hecho, este concepto de que \derivaciones{f} admita una base no se comprende del todo bien actualmente. Por ejemplo, si tomamos $f := x^2z + y^3 \in \anillodepolinomios{K}{x,y,z}$ nos encontramos con la superficie
 	\begin{figure}[h]
 		\centering
@@ -299,8 +300,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		$x^2z + y^3 = 0$
 	\end{figure}
 
-	En este caso, \derivaciones{x^2z + y^3} no es libre\todo[]{Pon la referencia del cálculo}. Puede encontrarse el cálculo de todo lo comentado hasta ahora para este caso en el apéndice \ref{Apéndice Cálculo}. Sin embargo, añadiendo un plano que cree una especie de <<continuación tangente>> a esas esquinas que aparecen, que se consigue multiplicando por $x$, nos queda la siguiente superficie:
-
+	En este caso, \derivaciones{x^2z + y^3} no es libre. Puede encontrarse el cálculo de todo lo comentado hasta ahora para este caso en el Apéndice \ref{Apéndice Cálculo}. Sin embargo, añadiendo un plano que cree una especie de <<continuación tangente>> a esas esquinas que aparecen, que se consigue multiplicando por $x$, nos queda la siguiente superficie:
 	\begin{figure}[h]
 		\centering
 		\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/segundasuperficie.png}\\
@@ -308,20 +308,32 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 	\end{figure}
 
 	Y en este caso, \derivaciones{f} sí que admite una base. Para garantizarlo, hacemos uso del Criterio de Saito (véase el \nolbreaks{Teorema \ref{Criterio de Saito}}) con
+%	\begin{align*}
+%		\delta_1 &:= \left( x^2z + y^3 \right)\diffp{}{z},\\
+%		\delta_2 &:= y\diffp{}{y} + 3z\diffp{}{z}, \\
+%		\delta_3 &:= x\diffp{}{x} - 2z\diffp{}{z}.
+%	\end{align*}
 	\begin{align*}
-		\delta_1 &:= \left( x^2z + y^3 \right)\diffp{}{z},\\
-		\delta_2 &:= y\diffp{}{y} + 3z\diffp{}{z} \quad \text{y} \\
-		\delta_3 &:= x\diffp{}{x} - 2z\diffp{}{z}.
-	\end{align*}
+	\delta_1 &:= y \diffp{}{y} + 3z \diffp{}{z}, \\
+	\delta_2 &:= 3x \diffp{}{x} - y \diffp{}{y} - 9z \diffp{}{z}, \\
+	\delta_3 &:= x^2 \diffp{}{y} - 3 y^2 \diffp{}{z}.
+    \end{align*}
 	Viendo estos como vectores de $\Kx^r$, hacemos el determinante:
+%	\begin{equation*}
+%		\det\begin{pmatrix}
+%			0 & 0 & x \\
+%			0 & y & 0 \\
+%			x^2z + y^3 & 3z & -2z
+%		\end{pmatrix} = -y\left[ x\left( x^2z + y^3 \right) \right] = -yf.
+%	\end{equation*}
 	\begin{equation*}
-		\det\begin{pmatrix}
-			0 & 0 & x \\
-			0 & y & 0 \\
-			x^2z + y^3 & 3z & -2z
-		\end{pmatrix} = -y\left[ x\left( x^2z + y^3 \right) \right] = -yf.
-	\end{equation*}
-	El criterio de Saito se cumple, y por lo tanto, $\delta_1$, $\delta_2$ y $\delta_3$ forman una base de \derivaciones{f}.\todo{Ya que está en el título añadiría un párrafo sobre el caso de hiperplanos, su interés, su dificultad y el uso en futuros trabajos, citando eventualmente a Torrielli}
+	\det\begin{pmatrix}
+		0 & 3x & 0 \\
+		y & -y & x^2 \\
+		3z & -9z & -3y^2
+	\end{pmatrix} = 9x(x^2z+y^3) = 9f.
+    \end{equation*}
+	El determinante es un escalar por $f$, y por lo tanto, $\delta_1$, $\delta_2$ y $\delta_3$ forman una base de \derivaciones{f}.
 
 \chapter{Módulos} \label{Capítulo de Módulos}
 	\section{Conceptos básicos}