fusion

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -157,7 +157,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 
 \DeclareMathOperator{\imagen}{im}
 \usepackage[loadshadowlibrary, shadow, textwidth=20mm, textsize=tiny]{todonotes}
-\makeatletter% 
+\makeatletter%
 \@mparswitchfalse%
 \makeatother%
 \normalmarginpar
@@ -249,7 +249,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 \chapter{Resumen}
 
 	En este trabajo respondemos a varias preguntas acerca del módulo de derivaciones polinómicas de un polinomio: qué clase de objeto es, para lo cual necesitaremos utilizar la teoría de módulos; cómo calcularlo, donde explicaremos herramientas como las bases de \Groebner{} y las sicigias; y por último, una demostración del Criterio de Saito, que nos permite saber si el dicho módulo de derivaciones admite una base o no.
-	
+
 	In this paper we answer several questions about the module of polynomial derivations of a polynomial: which kind of object it is, where we will need to use module theory; how to compute it, with an explanation of tools like \Groebner{} bases and syzygies; and lastly, a proof of Saito's Criterion, which allows us to know whether the derivations module admits a basis or not.
 %--- FIN DEL RESUMEN
 
@@ -279,34 +279,34 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\derivaciones{f} := \definicionconjunto{ \delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) = hf, h \in \Kx}.
 	\end{equation*}
 	Con estas derivaciones de \derivaciones{f} estamos obteniendo campos de vectores tangentes a la hipersuperficie $f=0$. Este conjunto será el principal objeto de estudio de este documento.
-	
+
 	A primera vista, es apreciable la relación con los vectores, pero no se tratará de espacios vectoriales, sino de una generalización de estos a coeficientes en un anillo: los módulos. Desarrollaremos una descripción de este tipo de objeto en el Capítulo \ref{Capítulo de Módulos}. A continuación, notemos que la condición $\delta\!\left( f \right) = hf$ puede reescribirse como
 	\begin{equation*}
 		\sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} = hf \iff \sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} - hf = 0 \iff \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} \vectorvertical{a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ -h} = 0.
 	\end{equation*}
 	El vector de coeficientes expresa una <<relación>> entre los elementos de \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} al igual que una solución de un sistema lineal homogéneo expresa una relación entre las columnas de una matriz. El conjunto de todas estas relaciones o soluciones del sistema se conoce como el módulo de sicigias. Para poder calcularlo, necesitaremos las Bases de \Groebner: una herramienta que nos ayuda a la hora de determinar si un elemento pertenece o no a un ideal de \Kx, pero en este caso generalizada también a módulos. Todo esto lo desarrollaremos en el Capítulo \ref{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}.
-	
+
 	Por último, una de las principales dificultades que presentan los módulos es conocer si son libres y, en caso de que sí, conseguir una base. Así como en cualquier espacio vectorial sabemos que siempre hay una base y que todo subespacio también la tiene, no tiene por qué ser así en el caso de módulos. Para poder discernir en particular si \derivaciones{f} admite una base, la herramienta a utilizar es el Criterio de Saito. Este resultado afirma que \derivaciones{f} admite una base si y solo si se pueden encontrar $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \in \derivaciones{f}$ de forma que ---viéndolos como vectores de $\Kx^n$--- se cumpla
 	\begin{equation*}
 		\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf\quad \text{donde $u$ es una unidad de \Kx}.
 	\end{equation*}
 	En el Capítulo \ref{Capítulo del Criterio de Saito} desarrollaremos la demostración de este criterio basados en \cite{VALLES}.
-	
+
 	De hecho, este concepto de que \derivaciones{f} admita una base no se comprende del todo bien actualmente. Por ejemplo, si tomamos $f := x^2z + y^3 \in \anillodepolinomios{K}{x,y,z}$ nos encontramos con la superficie
 	\begin{figure}[h]
 		\centering
 		\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/primerasuperficie.png}\\
 		$x^2z + y^3 = 0$
 	\end{figure}
-	
+
 	En este caso, \derivaciones{x^2z + y^3} no es libre\todo[]{Pon la referencia del cálculo}. Puede encontrarse el cálculo de todo lo comentado hasta ahora para este caso en el apéndice \ref{Apéndice Cálculo}. Sin embargo, añadiendo un plano que cree una especie de <<continuación tangente>> a esas esquinas que aparecen, que se consigue multiplicando por $x$, nos queda la siguiente superficie:
-	
+
 	\begin{figure}[h]
 		\centering
 		\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/segundasuperficie.png}\\
 		$x\left( x^2z + y^3 \right) = 0$
 	\end{figure}
-	
+
 	Y en este caso, \derivaciones{f} sí que admite una base. Para garantizarlo, hacemos uso del Criterio de Saito (véase el \nolbreaks{Teorema \ref{Criterio de Saito}}) con
 	\begin{align*}
 		\delta_1 &:= \left( x^2z + y^3 \right)\diffp{}{z},\\
@@ -322,7 +322,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\end{pmatrix} = -y\left[ x\left( x^2z + y^3 \right) \right] = -yf.
 	\end{equation*}
 	El criterio de Saito se cumple, y por lo tanto, $\delta_1$, $\delta_2$ y $\delta_3$ forman una base de \derivaciones{f}.\todo{Ya que está en el título añadiría un párrafo sobre el caso de hiperplanos, su interés, su dificultad y el uso en futuros trabajos, citando eventualmente a Torrielli}
-	
+
 \chapter{Módulos} \label{Capítulo de Módulos}
 	\section{Conceptos básicos}
 		Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. En este capítulo veremos solo algunas de las propiedades y definiciones necesarias para nuestros propósitos. Sin embargo, la teoría de módulos se extiende mucho más allá de esta exigua presentación, por lo que recomendamos que se consulte un texto introductorio como \cite{SINGULARLIBRO} o \cite{COCOA}.
@@ -376,7 +376,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\begin{definicion}
 			Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ es \emph{libre} si admite una base.
 		\end{definicion}
-		
+
 		Ahora introducimos el concepto de torsión, que juega un papel muy importante con respecto a la libertad de los módulos.
 		\begin{definicion}
 			El submódulo de torsión de $M$ se define como
@@ -399,7 +399,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 		\begin{definicion}
 			Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: \nolbreaks{$m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$}. Definimos el \emph{cociente de un módulo por un submódulo} como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$, que es un \modulo{A} con las operaciones heredadas. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
 		\end{definicion}
-		
+
 		Por último, una definición que es independiente de los módulos pero que condiciona los polinomios que podremos estudiar con el Criterio de Saito.
 		\begin{definicion}
 			Un polinomio $p \in \Kx$ se dice \emph{libre de cuadrados} si, en caso de poder expresarlo de la forma $p = a^2b$, se tiene que $a$ es una unidad de \Kx.
@@ -465,7 +465,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
 		\begin{lema}
 			Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ llega a ser estacionaria en algún momento.
 		\end{lema}
-		
+
 		\begin{definicion}
 			Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El \emph{conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s} de $M$ a $N$ es también un \modulo{A} y se denota por
 			\begin{equation*}
@@ -510,8 +510,8 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
 																				\end{cases}
 			\end{equation*}
 			Como una base de \dual{V} tiene tantos elementos como una de $V$, $V$ y \dual{V} deben ser isomorfos y, por ende, \dual{V} y \dualdual{V} también: estas bases inducen isomorfismo $\phi_1:V\to\dual{V}$
-y $\phi_2:\dual{V}\to\dualdual{V}$ que dependen de las bases. Es fácil ver que $\Psi=\phi_2\circ\phi_1$ y es por tanto un isomorfismo. A partir de ahora en espacios vectoriales identificaremos un espacio y su bidual. 
+y $\phi_2:\dual{V}\to\dualdual{V}$ que dependen de las bases. Es fácil ver que $\Psi=\phi_2\circ\phi_1$ y es por tanto un isomorfismo. A partir de ahora en espacios vectoriales identificaremos un espacio y su bidual.
-%Así pues, $V$ y \dualdual{V} son isomorfos. Pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\Psi$ sea un isomorfismo. Para ello, supongamos que $\Psi\!\left( v \right) = \Psi\!\left( v' \right)$; entonces, como $\mathrm{id} \in \dual{V}$, $\mathrm{id}\!\left( v \right) = \mathrm{id}\!\left( v' \right)$ por lo que $\Psi$ es inyectiva, lo cual ya nos garantiza que sea un isomorfismo. 
+%Así pues, $V$ y \dualdual{V} son isomorfos. Pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\Psi$ sea un isomorfismo. Para ello, supongamos que $\Psi\!\left( v \right) = \Psi\!\left( v' \right)$; entonces, como $\mathrm{id} \in \dual{V}$, $\mathrm{id}\!\left( v \right) = \mathrm{id}\!\left( v' \right)$ por lo que $\Psi$ es inyectiva, lo cual ya nos garantiza que sea un isomorfismo.
 Este ejemplo aplica también a módulos libres de rango finito.
 		\end{ejemplo}
 		\begin{ejemplo}
@@ -521,46 +521,16 @@ Este ejemplo aplica también a módulos libres de rango finito.
 			\end{equation*}
 			Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo.
 		\end{ejemplo}
-		
-		
 
-		
+
+
+
 		\begin{lema}\label{Lema_Reflexivo_dual}
 			Si $M$ es un \modulo{\Kx} finitamente generado, entonces \dual{M} es reflexivo.
 		\end{lema}
 
 La demostración de deja para más adelante ya que necesitamos introducir algún nuevo concepto.
-		\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
-			%
-			\begin{equation*}
-				\begin{tikzcd}
-					M_\mathrm{Q}  \times  \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"]                                                 & \cuerpofracciones{\Kx} &  \\
-					M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm]  \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u]          &  \\
-					0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm]                                                 & 0 \arrow[u]            &
-				\end{tikzcd}
-			\end{equation*}
-\vspace{-1cm}
-			\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
-		\end{wrapfigure}
 
-		\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
-%			Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}). 
-Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
-			
-			Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
-			\begin{equation*}
-				\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
-			\end{equation*}
-			o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
-			Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
-			\begin{equation*}
-				\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}\quad
-M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
-			\end{equation*} 
-%			
-%			\todo{Esto terminarlo.}
-		\end{proof}
-		
 		La reflexividad jugará un papel importante en la demostración del Criterio de Saito que ilustramos en el esquema de \eqref{Esquema Demostración}. Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
 
 		En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
@@ -664,10 +634,10 @@ M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \r
 			Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la Definición~\ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i  \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$.
 		\end{proof}
 		Una introducción a los módulos proyectivos puede encontrarse en \cite[sección 1.2]{LIBROPROYECTIVOS}.
-	
+
 	\section{Producto Exterior}
 		De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para comprenderlo, necesitaremos entender primero el producto tensorial
-cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\ref{Definicion_bilineal} como aplicaciones lineales. 
+cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\ref{Definicion_bilineal} como aplicaciones lineales.
 %Este aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $P$ son \modulo{A}s y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos convertir una aplicación bilineal en una lineal. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial.
 
 		\begin{definicion}
@@ -691,8 +661,7 @@ cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\
 				\end{tikzcd}
 			\end{equation*}
 		\end{wrapfigure}
-Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para toda aplicación bilineal $b$ podemos encontrar una única aplicación lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right):
+Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para toda aplicación bilineal $b$ podemos encontrar una única aplicación lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right)$:
-
 		%\vspace{-0.7cm}
 		\begin{ejemplo}
 			Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \racionales^3 \times \racionales^3 \rightarrow \racionales$, que es bilineal. En este caso, todo elemento de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---:
@@ -703,7 +672,7 @@ Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio
 				\end{aligned}
 			\end{equation}
 			De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente.
-			
+
 			Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \racionales^3 \otimes \racionales^3 \rightarrow \racionales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso,
 			\begin{equation*}
 				\phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases}
@@ -713,7 +682,7 @@ Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio
 			\end{equation*}
 			Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado.
 		\end{ejemplo}
-		
+
 		Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$.
 		\begin{definicion}
 			Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como
@@ -738,9 +707,9 @@ Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio
 			\end{equation*}
 			Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial.
 		\end{ejemplo}
-		
+
 		Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$.
-		
+
 		Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <<más grande>>, esto no tiene por qué ser así.
 		\begin{ejemplo}
 			Consideremos $\racionales^3 \wedge \racionales^3 \wedge \racionales^3$. Los elementos son de la forma
@@ -756,7 +725,7 @@ Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio
 		\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior}
 			Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. En particular, nótese que si $k > n$, entonces $\bigwedge^k V = \conjunto{0}$.
 		\end{lema}
-		
+
 		Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural.
 		\begin{definicion}
 			Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la \emph{aplicación exterior }$\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue:
@@ -778,11 +747,11 @@ Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio
 				\qedhere
 			\end{equation}
 		\end{proof}
-		
+
 		\section{El rango}\todo{Parte de esta sección irá antes}
 		En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
 		\begin{definicion}
-			Sea $A$ un dominio de integridad sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado, es decir, si $s,s'\in S$, entonces $ss'\in S$ (supondremos además que $0\notin S$). Consideremos la relación de equivalencia 
+			Sea $A$ un dominio de integridad sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado, es decir, si $s,s'\in S$, entonces $ss'\in S$ (supondremos además que $0\notin S$). Consideremos la relación de equivalencia
 $\sim$ sobre $A\times S$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$\footnote{La definición de localización es, en realidad, más general: \begin{equation*}
 					\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff \exists\sigma \in S \ \text{tal que} \ \sigma\left( ms' - m's \right) = 0.
 			\end{equation*} Pero en para nosotros, como asumimos que no hay divisores del $0$, nuestra definición es suficiente.}. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
@@ -795,7 +764,7 @@ $\sim$ sobre $A\times S$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta
 			\end{equation*}
 es la \emph{localización} de $A$ respecto de $S$. Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ se trata de un cuerpo $\cuerpofracciones{A}$ llamado \emph{cuerpo de fracciones de $A$}. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
 		\end{definicion}
-		
+
 		El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
 %		\begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
 %			Llamaremos \emph{extensión de escalares} del \modulo{A} $M$ al  \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} $M_Q$.
@@ -817,23 +786,55 @@ Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización co
 		\begin{proof}
 			Para la primera afirmación, vemos que $M_Q$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
 			Para la segunda, véase que
-			\begin{equation*}
+			\begin{align*}
-				\begin{array}{rcll}
+				\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0  \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
-					\ker\varphi = 0 &\iff&  \frac{m}{1} \neq 0   &\forall m \in M\setminus\conjunto{0} \\
+							    &\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
-					&\iff &  \frac{am}{a} \neq 0  &\forall a \in A \setminus \conjunto{0} \\
+							    &\iff am \neq 0  \\
-					&\iff& am \neq 0 &\forall a \in A \setminus \conjunto{0}
+							    &\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.\qedhere
-				\end{array}
+			\end{align*}
-\qedhere
-			\end{equation*}
 %			Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M_Q$ puede escribirse como $ \frac{m}{q}$ para algún $m\in M$ y algún $q\in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Consideremos el homomorfismo de $M_Q$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
 %
 %			\todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
 %
 		\end{proof}
+
+Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
+		\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
+			%
+			\begin{equation*}
+				\begin{tikzcd}
+					M_\mathrm{Q}  \times  \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"]                                                 & \cuerpofracciones{\Kx} &  \\
+					M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm]  \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u]          &  \\
+					0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm]                                                 & 0 \arrow[u]            &
+				\end{tikzcd}
+			\end{equation*}
+\vspace{-1cm}
+			\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
+		\end{wrapfigure}
+
+		\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
+%			Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
+Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
+
+			Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
+			\begin{equation*}
+				\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
+			\end{equation*}
+			o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
+			Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
+			\begin{equation*}
+				\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}\quad
+M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
+			\end{equation*}
+%
+%			\todo{Esto terminarlo.}
+		\end{proof}
+
+
 		\begin{definicion}
 			Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M_Q$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
 		\end{definicion}
-		
+
 		Recordemos que ya en el Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos.\todo{Como hay que mover esta sección esto puede ir directamente a producto exterior}
 		\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior Módulos}
 			Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$.
@@ -853,9 +854,9 @@ Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización co
 			\end{align*}
 			Ahora bien, por hipótesis $M_Q$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $n$ así que $\bigwedge^n \left( M_Q \right)$ será también un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}, en este caso de rango $\binom{n}{s}$. Gracias al isomorfismo, $\left( \bigwedge^s M \right) \otimes \cuerpofracciones{A}$ es igualmente otro \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $\binom{n}{s}$ lo cual quiere decir que $M$ es de rango $\binom{n}{s}$.
 		\end{proof}
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 \chapter{Bases de Gröbner y Sicigias} \label{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}
 
 	A partir de este momento solo trabajaremos con módulos $\Kx^n$ ya que son los involucrados en el módulo de derivaciones.
@@ -1144,7 +1145,7 @@ A^k\rar["\sigma"]&M\\
 a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2f_2 + \dots + a_kf_k
 \end{tikzcd}
  		\end{equation}
-		
+
 		Con la definición, ya podemos dar por respondida la primera pregunta que nos hacíamos en la introducción: ¿qué es \derivaciones{f}?
  		\begin{definicion}
  			Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Denotaremos por $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$ \emph{al \submodulo{A} de $A^k$ formado por todas las sicigias de} $f_1, f_2, \dots, f_k$.
@@ -1244,10 +1245,10 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
 		\end{gather*}
 		Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. Más que solucionar nuestro problema, estos resultados nos sirven para ilustrar la gran dificultad que supone garantizar que un módulo reflexivo sea libre.
 
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 		\subsection{Comienzo de la demostración}
 		Puede encontrarse en \cite[corolario 1.7]{SAITO} una demostración de que \derivaciones{f} es un módulo reflexivo de rango $n$. Siguiendo el esquema, tenemos que \derivaciones{f} es libre de torsión, pero necesitaríamos que tuviese rango $1$ para continuar hacia delante. Lo que haremos será estudiar el módulo $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ para reducir este rango y poder continuar.
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+
 		Esta cadena de implicaciones que recogemos aquí nos será muy útil a lo largo de esta demostración:
 		\begin{gather} \label{Esquema Demostración}
 			\left.\begin{aligned}
@@ -1341,7 +1342,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
 	      \end{equation*}
 
 	    \subsection{$\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ implica que \derivaciones{f} es libre}
-		
+
 		Ahora asumamos que existen $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ de forma que $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ con $u$ una unidad de \Kx{} y volvamos al esquema de \ref{Secuencia Demostración Saito}. A partir de este, sabemos que tenemos
 		\begin{equation*}
 			\begin{array}{rcccl}
@@ -1373,7 +1374,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
 			\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_{i-1} \wedge \delta \wedge \delta_{i+1} \wedge \dots \wedge \delta_{n-1} \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N.
 		\end{equation*}
 		Percatémonos de que esta expresión, una vez eliminamos todos los productos exteriores nulos, queda como $\overline{b}_i \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N$, lo cual es solo posible si $\overline{b}_i \in \Kx$. Con esto concluimos que $\delta \in N$ y, por tanto, que $N = \derivaciones{f}$.
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 	\appendix
 	\chapter{Un ejemplo completo de cálculo}\label{Apéndice Cálculo}