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Enrique Artal Bartolo 2025-06-11 10:54:35 +02:00
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@ -530,36 +530,6 @@ Este ejemplo aplica también a módulos libres de rango finito.
\end{lema}
La demostración de deja para más adelante ya que necesitamos introducir algún nuevo concepto.
\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
%
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}
M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\vspace{-1cm}
\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
\end{wrapfigure}
\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
% Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
\begin{equation*}
\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
\end{equation*}
o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
\begin{equation*}
\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}\quad
M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
\end{equation*}
%
% \todo{Esto terminarlo.}
\end{proof}
La reflexividad jugará un papel importante en la demostración del Criterio de Saito que ilustramos en el esquema de \eqref{Esquema Demostración}. Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
@ -691,8 +661,7 @@ cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\end{wrapfigure}
Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para toda aplicación bilineal $b$ podemos encontrar una única aplicación lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right):
Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para toda aplicación bilineal $b$ podemos encontrar una única aplicación lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right)$:
%\vspace{-0.7cm}
\begin{ejemplo}
Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \racionales^3 \times \racionales^3 \rightarrow \racionales$, que es bilineal. En este caso, todo elemento de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---:
@ -817,19 +786,51 @@ Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización co
\begin{proof}
Para la primera afirmación, vemos que $M_Q$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
Para la segunda, véase que
\begin{equation*}
\begin{array}{rcll}
\ker\varphi = 0 &\iff& \frac{m}{1} \neq 0 &\forall m \in M\setminus\conjunto{0} \\
&\iff & \frac{am}{a} \neq 0 &\forall a \in A \setminus \conjunto{0} \\
&\iff& am \neq 0 &\forall a \in A \setminus \conjunto{0}
\end{array}
\qedhere
\end{equation*}
\begin{align*}
\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
&\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
&\iff am \neq 0 \\
&\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.\qedhere
\end{align*}
% Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M_Q$ puede escribirse como $ \frac{m}{q}$ para algún $m\in M$ y algún $q\in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Consideremos el homomorfismo de $M_Q$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
%
% \todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
%
\end{proof}
Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
%
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}
M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
\end{tikzcd}
\end{equation*}
\vspace{-1cm}
\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
\end{wrapfigure}
\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
% Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
\begin{equation*}
\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
\end{equation*}
o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
\begin{equation*}
\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}\quad
M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
\end{equation*}
%
% \todo{Esto terminarlo.}
\end{proof}
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M_Q$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
\end{definicion}