Resúmenes.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

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 %--- RESUMEN
 \chapter{Resumen}
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-\todo{Configuraciones de hiperplanos, justificar. Conjetura de Terao.}
 
-	El presente trabajo se enmarca dentro del contexto de la Conjetura de Terao para configuraciones de hiperplanos. 
-	En este trabajo estudiaremos varios aspectos del módulo de derivaciones polinómicas de un polinomio. Comenzamos dando las pinceladas básicas de la teoría de módulos para comprender con qué tipo de objeto estamos trabajando. A continuación, exploramos algunas de las dificultades que presenta este tipo de objeto con respecto a otros similares como son el espacio vectorial, en particular la determinación de la pertenencia a este y la existencia de una base. Solucionamos el primero de estos problemas introduciendo dos herramientas fundamentales de esta teoría: las bases de \Groebner{} y las sicigias. Por último, para solucionar el segundo problema, damos una detallada demostración del Criterio de Saito, un resultado que nos caracteriza para qué módulos existe una base.
+	El presente trabajo se enmarca dentro del contexto de la Conjetura de Terao para configuraciones de hiperplanos. En esta conjetura, Terao afirma que la libertad de una configuración de hiperplanos depende tan solo de sus intersecciones y los grados de estas, es decir, que la dependencia es puramente combinatoria. Para llegar hasta ella, hace falta una construcción de los divisores libres. En nuestro caso, en un espacio menos general, estos divisores se materializan como el módulo de derivaciones polinómicas tangentes a una función. Así pues, parte del camino hacia la Conjetura de Terao pasa por comprender estos divisores y, en particular, conocer cuándo son libres. Debido a que este tema es vasto y un trabajo de estas dimensiones no es recipiente suficiente, solo nos dedicaremos a dichos dos objetivos. El primero de ellos lo resolveremos en la segunda parte con la introducción de las sicigias y el segundo en la tercera parte con el Criterio de Saito.
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+	La estructura de nuestro documento está dividida en tres. En la primera de las partes nos familiarizaremos con el tipo de objeto que estamos trabajando: el módulo. Exploraremos sus propiedades básicas, las relaciones con espacios similares como el espacio vectorial y desarrollaremos en moderada profundidad algunos aspectos concretos más relacionados con el contexto en el que nos encontramos.
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+	En la segunda de estas partes, el objetivo será enfrentarnos al problema de determinar si un elemento cualquiera pertenece o no a un módulo de polinomios. Para ello, exploraremos algo más en detalle el comportamiento en los casos más sencillos donde esto es todavía factible sin necesidad de introducir ninguna herramienta nueva. Eso nos llevará a abstraer el algoritmo de la división a este nuevo espacio en el que nos encontramos, conocer sus propiedades y como estas están fuertemente con la elección del término <<principal>> de un elemento que utilizamos para reducir en la división. A partir de aquí, mostraremos cómo construir nuevos conjuntos que nos permitan utilizar esta nueva división, las bases de \Groebner, y utilizaremos estas para obtener otro objeto que generaliza a las soluciones de sistemas lineales, la sicigia. Con todo esto, ya seremos capaces de calcular el módulo de derivaciones.
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+	Por último, en la tercera parte, daremos una detallada demostración del Criterio de Saito, el resultado que nos da un criterio para garantizar si un conjunto de derivaciones de este módulo forma una base de este. Con lo cual damos fin al trabajo habiendo no solo contextualizado estos objetos sino también presentado dos resultados fundamentales en esta teoría.
 	
 \selectlanguage{english}
 \chapter{Abstract}
 
 	\section*{English}
-	In this paper we are going to study several aspects of the module of polynomial derivations of a polynomial. We start by stating the basic features of module theory in order to understand which kind of object we are working with. Afterwards, we explore some of the difficulties this kind of object presents with respect to others similar to it such as the vector space, in particular the determination of whether an element belongs to it and the existence of a basis. We solve the first of those problems by introducing two fundamental tools in this theory: \Groebner{} bases and syzygies. Lastly, so as to solve the second problem, we give a detailed proof of Saito's Criterion, a result that characterizes which modules admit a basis.
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+	This work is framed within the context of Terao’s Conjecture for hyperplane arrangements. In this conjecture, Terao asserts that the freeness of a hyperplane arrangement depends solely on its intersections and their degrees, i.e. that the dependency is purely combinatorial. To reach this conclusion, it is necessary to construct free divisors. In our case, in a less general space, these divisors materialize as the module of polynomial derivations tangent to a function. Thus, part of the path toward Terao’s Conjecture involves understanding these divisors and, in particular, determining when they are free. Given the vastness of this topic and that the dimensions of this work are not enough to make all of it fit, we will only focus on said two objectives. The first problem will be solved in the second section with the introduction of syzygies and the second problem in the third section using Saito’s Criterion.
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+	The structure of our document is divided into three. In the first part, we will familiarize ourselves with the type of object we are working with: the module. We will explore its basic properties, its relationships with similar spaces such as the vector space, and develop with moderate deepness some specific aspects more closely related to the context in which we find ourselves.
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+	In the second part, our objective will be to tackle the problem of determining whether any given element belongs to a module of polynomials. To do so, we will explore with some greater detail the behavior in simpler cases where this is still feasible without introducing any new tools. This will lead us to abstract the division algorithm to this new space we are in, get to know its properties, and understand how they are strongly tied to the choice of the principal term of an element that we use for reduction in division. From here, we will demonstrate how to construct new sets that allow us to apply this new division, Gröbner bases, and we will use them to obtain another object that generalizes the solutions of linear systems: the syzygy. With all this, we will finally be equipped to compute the module of derivations.
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+	Finally, in the third part, we will give a detailed proof of Saito’s Criterion, the result that offers a criterion to guarantee whether a set of derivations of this module forms a basis of it. With that we conclude our work having not only contextualized these objects but also presented two fundamental results in this theory.
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