Reescritura del comienzo del capítulo de las Bases de Gröbner y pequeños cambios en el capítulo de Módulos.
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{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Sixto José Martínez Gan}}{}{\thepage}
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{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage}
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%-- Pie de página par y pie de página impar
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\Huge{\bfseries Una plantilla en {\LaTeX}}\\%
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\Huge{\bfseries para el trabajo de fin de grado}
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\Huge{\bfseries Configuraciones de Hiperplanos}
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@ -266,7 +266,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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\chapter{Módulos}
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\section{Conceptos básicos}
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Los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
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Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
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\begin{itemize}
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Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{\Kx} es isomorfo a $\Kx^n$ y, por esta misma razón, \derivaciones{f} puede verse como un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$.
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\begin{definicion}
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Diremos que un anillo $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
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Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}$.
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Diremos que un anillo $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados. Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}$.
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\end{definicion}
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De aquí en adelante, salvo que se indique lo contrario, asumiremos que $A$ siempre es un anillo noetheriano.
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\begin{lema}
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Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano. Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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\begin{lema}
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Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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\begin{definicion}
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Sea $M$ un \modulo{A}. Diremos que $M$ es libre de torsión si el único $m \in M$ tal que $am = 0$ para todo $a \in A$ es $0$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por
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\begin{equation*}
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@ -391,21 +381,20 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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Diremos que $M$ es un \modulo{A} reflexivo si $M$ es isomorfo a \dualdual{M} por medio de esta aplicación $\psi$.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un \nolbreaks{$K$-espacio vectorial} de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. Podemos ver a $V$ como un \modulo{K} y, entonces, \Hom{K}{V}{K} son simplemente las aplicaciones lineales de $V$ en $K$. Cada elemento $\phi$ de \Hom{K}{V}{K} puede representarse como la multiplicación por una matriz, puesto que
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Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un \nolbreaks{$K$-espacio vectorial} de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \Hom{K}{V}{K} se compone de las aplicaciones lineales de $V$ en $K$. Cada elemento $\phi$ de \Hom{K}{V}{K} puede representarse como la multiplicación por una matriz, puesto que
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\begin{equation*}
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\phi\!\left( v \right) = \productoescalar{\vectorhorizontalcuatro{\phi\!\left( v_1 \right)}{\phi\!\left( v_2 \right)}{\hdots}{\phi\!\left( v_n \right)}}{v};
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\end{equation*}
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y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que tenemos que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que este sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Para ello, basta darse cuenta que el kernel de esta es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo.
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y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Basta darse cuenta que el kernel de $\psi$ es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo.
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\end{ejemplo}
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\begin{ejemplo}
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Consideremos ahora el \modulo{\enteros} \cociente{\enteros}{p\enteros} donde $p$ es un número primo. Sabemos que $\cociente{\enteros}{p\enteros} = \engendrado{1}$ por lo tanto, cualquier $\phi \in \dual{\cociente{\enteros}{p\enteros}}$ está unívocamente determinado por la imagen de $1$. Supongamos que $\phi\!\left( 1 \right) = x \in \enteros$, se debe cumplir que
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Consideremos ahora el \modulo{\enteros} \cociente{\enteros}{p\enteros} donde $p$ es un número primo. Sabemos que $\cociente{\enteros}{p\enteros} = \engendrado{1}$; por lo tanto, cualquier $\phi \in \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$ está unívocamente determinado por la imagen de $1$. Supongamos que $\phi\!\left( 1 \right) = x \in \enteros$, se debe cumplir que
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\begin{equation*}
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px = p\phi\!\left( 1 \right) = \phi\!\left( p\cdot 1 \right) = \phi\!\left( 0 \right) = 0 \ \Leftrightarrow \ px = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 0.
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\end{equation*}
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Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\mathbf{0}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo.
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Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo.
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\end{ejemplo}
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Una discusión más profunda acerca de los módulos reflexivos y sus propiedades puede encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
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Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
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En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
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@ -457,34 +446,41 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75, 1.94);
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\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
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\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75, -1.94);
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\node at (1, -0.1) {\large $\cdots$};
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\end{scope}
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\draw (-4.15, -1.4) -- (-5.75, -1.94);
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\draw (-4.15, 1.4) -- (-5.75, 1.94);
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\node at (-3, -2) {$\phi_{k-1}$};
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\node at (-6, 0) {\large $\cdots$};
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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Para indicar que una aplicación $\phi : M \rightarrow N$ es inyectiva, escribiremos $0 \rightarrow M \xrightarrow{\phi} N$; y para indicar que es sobreyectiva, $M \xrightarrow{\phi} N \rightarrow 0$.
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\end{definicion}
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Con las secuencias exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f}$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}; para poder identificarlo, haremos el cociente de $J$ por \engendrado{f} para que así todas las expresiones de $J$ que sean múltiplos de $f$ vayan al cero. Todo esto lo podemos expresar como sigue:
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Con las secuencias exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f} \subseteq \Kx$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}. Esto último es equivalente a decir que nos interesan aquellos elementos que son $0$ cuando hacemos el cociente de $J$ por \engendrado{f}. Todo esto lo podemos expresar como una secuencia exacta:
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\begin{equation} \label{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}
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0 \rightarrow \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi} \derivaciones{\Kx} \xrightarrow{\kappa} \Kx^n \xrightarrow{\xi} J \xrightarrow{\pi} \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \rightarrow 0.
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\begin{tikzcd}
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0 \arrow[r] & \derivaciones{f} \arrow[r, "\Phi"] & \derivaciones{\Kx} \arrow[r, "\pi \circ \xi"] \arrow[d, leftrightarrow] & \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \arrow[r] & 0 & \\
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& & \Kx^n & & &
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\end{tikzcd}
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\end{equation}
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La función $\Phi$ es una inclusión, la función $\kappa$ es el isomorfismo que envía $\partial_i$ a \vectorbasecanonica{i}, $\xi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica.
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La función $\Phi$ es una inclusión, $\xi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica de $J$ a \cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}.
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\begin{wrapfigure}[3]{r}{0.3\textwidth}
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\vspace{-1.3cm}
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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& P \arrow[d, "h"] \arrow[ld, "\phi" above] & \\
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M \arrow[r, "e"] & N \arrow[r] & 0
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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\end{wrapfigure}
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Un tipo de módulo muy importante en la demostración del Criterio de Saito es el módulo proyectivo, que nos sirve en muchos casos como tipo de módulo intermedio para algunos razonamientos.
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\begin{definicion} \label{Definición Módulo Proyectivo}
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Un \modulo{A} $P$ es proyectivo si para cada epimorfismo de \modulo{A}s $e : M \rightarrow N$ y cada homomorfismo de \modulo{A} $h: P \rightarrow N$ existe un homomorfismo de \modulo{A}s $\phi : P \rightarrow M$ de forma que $h = e \circ \phi$.
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\end{definicion}
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Suele ser común referirse a esto diciendo que todo homomorfismo $h$ puede ser <<elevado>> a través de cualquier epimorfismo $e$ a un homomorfismo $\phi$ y queda ilustrado por el siguiente diagrama de secuencias exactas:
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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& P \arrow[d, "h"] \arrow[ld, "\phi" above] & \\
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M \arrow[r, "e"] & N \arrow[r] & 0
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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Suele ser común referirse a esto diciendo que todo homomorfismo $h$ puede ser <<elevado>> a través de cualquier epimorfismo $e$ a un homomorfismo $\phi$ y queda ilustrado por el diagrama de la derecha.
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\begin{ejemplo}
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Sean $M = \cociente{\enteros}{4\enteros}$, $N = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ y $P = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ vistos como \modulo{\enteros}s. Como $e$ es un epimorfismo de \modulo{\enteros}s, necesariamente tendremos que $e\!\left( 0 \right) = e\!\left( 2 \right) = 0$ y $e\!\left( 1 \right) = e\!\left( 3 \right) = 1$. Como $h$ simplemente tomaremos la identidad. Sea ahora $\phi: P \rightarrow M$ un homomorfismo de \modulo{\enteros}s cualquiera; existen dos posibilidades para $\phi\!\left( 1 \right)$:
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\begin{itemize}
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@ -500,36 +496,38 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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\begin{proof}
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Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la definición \ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$.
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\end{proof}
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Una discusión más exhaustiva acerca de los módulos proyectivos en \cite{LIBROPROYECTIVOS}.
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\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
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Una introducción a los módulos proyectivos puede encontrarse en \cite[sección 1.2]{LIBROPROYECTIVOS}.
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\chapter{Bases de Gröbner y Sicigias}
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A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos.
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A partir de este momento solo trabajaremos con módulos $\Kx^n$ ya que son los involucrados en el módulo de derivaciones.
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Uno de los principales problemas que tienen los módulos en general es que describirlos es más complicado que en el caso de los espacios vectoriales. Con los espacios vectoriales, sabemos que siempre existe una base y que, dándola, describimos por completo este espacio. En el caso de los módulos, sin embargo, dar una base en el sentido de base de espacio vectorial no siempre es posible. Esto se materializa en el problema de ser capaz de determinar si un elemento en particular se encuentra dentro del módulo.
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Veamos cómo se afronta este problema a distintos niveles.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}
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Supongamos que tenemos \anillodepolinomios{\reales}{x} ---solo una variable--- como módulo de sí mismo, $f := x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$ y $g := x^{3} - 9x^{2} + 26x - 24$ dos elementos de este y queremos determinar si el polinomio $p = 3x^7 + 4x^5 - 3x^2 + x + 1$ pertenece al submódulo ---o en este caso, ideal--- $\engendrado{f, g}$. Como \anillodepolinomios{\reales}{x} es un dominio euclídeo, es dominio de ideales principales y, por lo tanto,
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Consideremos el \modulo{\reales} \anillodepolinomios{\reales}{x} ---solo una variable--- y a \nolbreaks{$f := x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$} y \nolbreaks{$g := x^{3} - 9x^{2} + 26x - 24$} dos elementos de este. Queremos determinar si un polinomio cualquiera, por ejemplo \nolbreaks{$p = 3x^7 + 4x^5 - 3x^2 + x + 1$}, pertenece al submódulo ---o en este caso, ideal--- $\engendrado{f, g}$. Como \anillodepolinomios{\reales}{x} es un dominio euclídeo, es dominio de ideales principales y, por lo tanto,
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\begin{equation*}
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\engendrado{f, g} = \engendrado{\gcd \left(f, g\right)} = \engendrado{x^2 - 5x + 6}.
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\engendrado{f, g} = \engendrado{\mcd{f, g}} = \engendrado{x^2 - 5x + 6}.
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\end{equation*}
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Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios:
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Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios de una variable que conocemos:
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\begin{equation*}
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p = \underset{\text{cociente}}{\underbrace{\left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)}} \left( x^2 - 5x + 6 \right) + \underset{\text{resto}}{\underbrace{7007x - 13511}}.
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p = \underbrace{\left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)}_{\text{cociente $q$}} \underbrace{\left( x^2 - 5x + 6 \right)}_{\text{divisor $d$}} + \underbrace{7007x - 13511}_{\text{resto $r$}}.
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\end{equation*}
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El resto es distinto de $0$, por lo que $p$ no pertenece a \engendrado{f, g}.
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Por el Teorema de la División, sabemos que este resto es el único polinomio de \anillodepolinomios{\reales}{x} que satisface $p = q d + r$ con grado menor que $d$. Por lo tanto, al no ser $0$, podemos afirmar que $p$ no está en \engendrado{f,g}.
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\end{ejemplo}
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Este ejemplo nos señala el camino para investigar la pertenencia a un módulo: primero, debemos encontrar una representación de los generadores para los que un <<algoritmo de la división>> tenga sentido; después, realizamos esta división que debe estar definida de forma que si el <<resto>> es distinto de cero, sepamos que el elemento no pertenece, y si es cero, entonces sí.
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Este ejemplo también ilustra un cambio de perspectiva que será muy importante a lo largo de toda esta sección: la división deja de ser importante por los valores exactos que arroja y su relevancia es más bien cualitativa. Con esto nos referimos a que, como tal, los valores concretos del cociente y el resto no tienen ninguna relevancia a la hora de determinar si $p$ pertenece o no a \engendrado{f, g}. Conocidas las propiedades de este algoritmo de la división en \anillodepolinomios{\reales}{x}, solo nos interesa si el resto es $0$ o no, puesto que es lo que determina si $p$ pertenece o no a \engendrado{f, g}. En base a esto, nuestra motivación para la división debe cambiar de ser <<obtener $q$ y $r$ de forma que $p = qd + r$ donde $\grado r < \grado d$>> a un más abstracto <<obtener un representante $r$ que satisfaga algunas condiciones de la clase de $p$ en \cociente{\anillodepolinomios{\reales}{x}}{\engendrado{f, g}}>>.
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Visto así, el ejemplo \eqref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar al conjunto generador con un solo elemento, para el cual tenemos el algoritmo de la división usual definido. Además, sabemos que el resto de este algoritmo de la división arroja la conclusión que buscamos.
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Visto así, el ejemplo \ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar a cualquier conjunto generador con un solo elemento; por lo tanto, sobre cualquier conjunto generador siempre habrá definida una división, que consistirá en dividir como ya conocemos por el elemento generador. Además, por el Teorema de la División, conocemos que el representante $r$ que satisfaga $\grado r < \grado d$ es único, lo cual nos permite discernir si $p$ está en \engendrado{f, g} viendo si $r = 0$ o no.
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El problema aparece cuando empezamos a investigar conjuntos más complicados.
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Consideremos ahora el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$, un elemento $f: = 4x^2y+ 12xy^2 + \frac{5}{2}xz^3 + x^2yz$ y el ideal $I := \engendrado{f}$. Aquí, no hay problema en conseguir un sistema de generadores que nos permita <<dividir>> puesto que solo hay un elemento. Sin embargo, a la hora de intentar dividir, nos encontramos dudando sobre cómo hacerlo. Tal y como está escrito, podríamos inclinarnos por tomar como el término principal a $4x^2y$ e intentar dividir como lo hacemos en \anillodepolinomios{\reales}{x}, pero hay términos que tienen mayor grado, así que puede que esta forma no nos termine llevando a un resto como buscamos. Pero si decidimos poner a un término de grado máximo, al principio, ¿cuál de los dos deberíamos elegir, $xz^3$ o $x^2yz$? ¿son los dos válidos y nos llevarán al mismo resultado? En resumen, ¿cómo debemos tomar el valor que tenemos que tomar como <<líder>> para dirigir la división?
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En espacios más complicados, muchas de estas buenas propiedades desaparecen e impiden extender el proceso anterior.
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\begin{description}
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\item[Más variables: ] Consideremos ahora el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$, un elemento $f: = 4x^2y+ 12xy^2 + \frac{5}{2}xz^3 + x^2yz$ y el ideal $I := \engendrado{f}$. Si bien este espacio no tiene por qué ser un dominio de ideales principales, al solo haber un generador podemos obviar de momento esa parte. Siguiendo la línea del ejemplo \ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}, para ver si $p \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$ deberíamos dividir por $f$ y ver si el resto es $0$ o no. Pero llegados a este punto, ¿cómo deberíamos dividir? Podemos intentar imitar el algoritmo usual de la división, pero este necesita siempre una noción de orden entre los términos del divisor y también del dividendo. En este caso, ¿deberíamos tomar $4x^2y$ como <<término líder>> de $f$ o igual sería mejor tomar a uno de mayor grado como $\frac{5}{2}xz^3$? Pero $\frac{5}{2}xz^3$ y $x^2yz$ tienen el mismo grado, ¿a cuál coger, entonces? La elección de este <<término líder>> en dividendo y divisor cambiará el funcionamiento del algoritmo, así que debemos cerciorarnos de cuáles de estas opciones son válidas y también revisar si el algoritmo tradicional adaptado de esta manera sirve su propósito.
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\item[Más generadores: ] Sin cambiar de espacio, consideremos ahora el ideal $I := \engendrado{x + y, xyz, x^2 + y^2 + z^2}$. En este caso, el que \anillodepolinomios{\reales}{x, y, z} no sea un dominio de ideales principales es un problema. ¿Cómo podemos dividir siquiera? Otra dificultad a la que nos enfrentamos aquí una vez hayamos entendido cómo dividir será saber si nuestro sistema de generadores es compatible con la división ya que, por ejemplo, a $x^2 + y^2 + z^2$ se le puede restar $\left( x+y \right)^2$ e $I$ podría expresarse como $\engendrado{x+y, xyz, -2xy + z^2}$. ¿Sirven ambas representaciones?
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\item[Más <<dimensiones>>: ] Por último, también debemos tener en cuenta que por lo general trabajaremos en $\Kx^r$, lo cual hará que los elementos tengan más de una componente. ¿Cómo integrar las componentes en las divisiones?
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\end{description}
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En el mismo anillo que el ejemplo anterior, consideremos el ideal $I := \engendrado{x + y, xyz, x^2 + y^2 + z^2}$. Con este ideal la situación es todavía peor que con el anterior. ¿Nos sirven estos generadores? ¿Y cómo hacemos para dividir con ellos?
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Vemos por lo tanto que en el momento en el que introducimos más variables, perdemos la capacidad de resolver el problema de una forma razonable. Para poder solucionar este problema, deberemos generalizar el algoritmo de la división para que este pueda aplicarse a estos nuevos objetos y, asimismo, deberemos trabajar en una representación del ideal que sea compatible con nuestro nuevo algoritmo.
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En resumen, para poder construir un algoritmo de la división más general necesitaremos tener un orden total dentro de los monomios para saber cómo ir construyendo el cociente, ver cómo dividir por más de un generador e integrar a las distintas componentes.
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\section{Graduación de Módulos}
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Pensemos con detalle en el algoritmo de la división en un anillo de polinomios familiar como es \anillodepolinomios{\reales}{x}. Al dividir $p = x^3 + 2x^2 - x + 1$ entre $q = x^2 - 1$, buscamos anular el término de mayor grado de $p$ ---$x^3$--- haciendo al mayor término de $q$ ---$x^2$--- alcanzar a este. Esto es básicamente en lo que pensamos en todo momento mientras realizamos el algoritmo de la división <<con caja>>:
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