Terao

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

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 \chapter{Resumen}
 
-	El presente trabajo se enmarca dentro del contexto de la Conjetura de Terao para configuraciones de hiperplanos. En esta conjetura, Terao afirma que la libertad de una configuración de hiperplanos depende tan solo de sus intersecciones y los grados de estas, es decir, que la dependencia es puramente combinatoria. Para llegar hasta ella, hace falta una construcción de los divisores libres. En nuestro caso, en un espacio menos general, estos divisores se materializan como el módulo de derivaciones polinómicas tangentes a una función. Así pues, parte del camino hacia la Conjetura de Terao pasa por comprender estos divisores y, en particular, conocer cuándo son libres. Debido a que este tema es vasto y un trabajo de estas dimensiones no es recipiente suficiente, solo nos dedicaremos a dichos dos objetivos. El primero de ellos lo resolveremos en la segunda parte con la introducción de las sicigias y el segundo en la tercera parte con el Criterio de Saito.
+	El presente trabajo se enmarca dentro del contexto de la Conjetura de Terao~\cite{Terao} para configuraciones de hiperplanos. En esta conjetura, Terao afirma que la libertad de una configuración de hiperplanos depende solo del patrón de intersecciones, es decir, que la dependencia es puramente combinatoria. Las configuraciones de divisores son un caso particular de divisores en los que también se plantea el problema de libertad; de manera más algebraica podemos estudiar los divisores a partir de polinomios. El divisor asociado a un polinomio es libre si el módulo de derivaciones polinómicas tangentes al divisor lo es. Así pues, parte del camino hacia la Conjetura de Terao pasa por comprender estos divisores y, en particular, conocer cuándo son libres. Debido a que este tema es vasto y un trabajo de estas dimensiones no es recipiente suficiente, solo nos dedicaremos a dichos dos objetivos. El primero de ellos lo resolveremos en la segunda parte con la introducción de las sicigias y el segundo en la tercera parte con el Criterio de Saito.
 	
 	La estructura de nuestro documento está dividida en tres. En la primera de las partes nos familiarizaremos con el tipo de objeto que estamos trabajando: el módulo. Exploraremos sus propiedades básicas, las relaciones con espacios similares como el espacio vectorial y desarrollaremos en moderada profundidad algunos aspectos concretos más relacionados con el contexto en el que nos encontramos.
 	
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 \selectlanguage{english}
 \chapter{Abstract}
 
-	This work is framed within the context of Terao’s Conjecture for hyperplane arrangements. In this conjecture, Terao asserts that the freeness of a hyperplane arrangement depends solely on its intersections and their degrees, i.e. that the dependency is purely combinatorial. To reach this conclusion, it is necessary to construct free divisors. In our case, in a less general space, these divisors materialize as the module of polynomial derivations tangent to a function. Thus, part of the path toward Terao’s Conjecture involves understanding these divisors and, in particular, determining when they are free. Given the vastness of this topic and that the dimensions of this work are not enough to make all of it fit, we will only focus on said two objectives. The first problem will be solved in the second section with the introduction of syzygies and the second problem in the third section using Saito’s Criterion.
+	This work is framed within the context of Terao’s Conjecture~\cite{Terao} for hyperplane arrangements. In this conjecture, Terao asserts that the freeness of a hyperplane arrangement depends only on its intersection pattern, i.e. that the dependency is purely combinatorial. To reach this conclusion, it is necessary to construct free divisors. In our case, in a less general space, these divisors materialize as the module of polynomial derivations tangent to a function. Thus, part of the path toward Terao’s Conjecture involves understanding these divisors and, in particular, determining when they are free. Given the vastness of this topic and that the dimensions of this work are not enough to make all of it fit, we will only focus on said two objectives. The first problem will be solved in the second section with the introduction of syzygies and the second problem in the third section using Saito’s Criterion.
 	
 	The structure of our document is divided into three. In the first part, we will familiarize ourselves with the type of object we are working with: the module. We will explore its basic properties, its relationships with similar spaces such as the vector space, and develop with moderate deepness some specific aspects more closely related to the context in which we find ourselves.