TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

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 % Bibliografía.
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 \else
 \usepackage[backend=biber]{biblatex}
@@ -414,7 +414,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			\begin{equation*}
 				\mathrm{Tors}\!\left( M \right) := \definicionconjunto{m \in M}{\text{existe un $a \neq 0$ tal que $am = 0$}}
 			\end{equation*}
-			Diremos que $M$ es \emph{libre de torsión} si $\mathrm{Tors}\!\left( M \right) = 0$.
+			Diremos que $M$ es \emph{libre de torsión} si $\mathrm{Tors}\!\left( M \right) = 0$.\todo{Un comentario sobre que todo espacio vectorial es libre, que en módulos libre implica libre de torsión y que la recíproca no es cierta.}
 		\end{definicion}
 		\begin{ejemplo}
 			Pensemos en \enteros{} y en \enterosmodulo{p} donde $p \in \naturales$ como en \modulo{\enteros}. El módulo \enteros{} admite a $1$ como base ya que todo entero $z$ tiene una única representación como $z\cdot 1$. Ahora bien, supongamos que \enterosmodulo{p} tiene una base \conjunto{z_1, z_2, \dots, z_k}. Para cualquier $z \in \enterosmodulo{p}$ existirán $a_1, a_2, \dots, a_n$ de forma que $z = \sum_{i = 1}^{k}a_iz_i$. Ahora bien, démonos cuenta de que \enterosmodulo{p} no es un \modulo{\enteros} libre de torsión ya que para todo $z$, $pz = \sum_{i = 1}^{k}pa_iz_i = 0$; esto nos permite escribir
@@ -423,8 +423,6 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			\end{equation*}
 			Por lo tanto, la representación de $z$ no es única en términos de la base y, por ende, \enterosmodulo{p} no es libre.
 		\end{ejemplo}
-		De hecho, todo módulo libre es libre de torsión, aunque el converso no tiene por qué ser cierto. Un caso donde este converso es falso es el \nolbreaks{Ejemplo \ref{Ejemplo de No Tener Base}}.
-		
 		Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos.
 		\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
 			Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
@@ -686,7 +684,9 @@ La demostración de deja para más adelante ya que necesitamos introducir algún
 		\begin{equation*}
 			0 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0,
 		\end{equation*}
-		encontramos en este resultado un criterio de libertad más práctico sobre todo a la hora de demostrar que un módulo no es libre: intentar calcular su resolución mínima y, si tiene, ver si es de la forma anterior. Sin embargo, este cálculo no está disponible siempre lo cual hace que no nos sirva salvo en aquellas situaciones donde sí que podemos calcular resoluciones y afirmar que sean mínimas. Una exposición más detallada de esto puede encontrarse en \cite{SINGULARLIBRO}, e ilustraremos su uso en \ref{Apéndice a ordenador}.
+		encontramos en este resultado un criterio de libertad más práctico sobre todo a la hora de demostrar que un módulo no es libre: intentar calcular su resolución mínima y, si tiene, ver si es de la forma anterior. Sin embargo, explicar el cómputo de estas resoluciones mínimas, si bien está al alcance de la teoría presentada, aumentaría significativamente la longitud de este texto, por lo que nos limitamos a indicar hacia un texto que sí las trata, \cite{SINGULARLIBRO}, y a ilustrar su uso en la sección \ref{Apéndice a ordenador}. \todo{Di que en general es difícil encontrar una resolución mínima.}
+
+
 
 		\section{Rango de un módulo}
 		En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
@@ -1267,7 +1267,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
 
 	En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así.
 
-	\begin{ejemplo} \label{Ejemplo de No Tener Base}
+	\begin{ejemplo}
 		Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que
 		\begin{equation*}
 			p_1a_1 + p_2a_2 + \dots + p_ka_k = x \quad \text{y} \quad q_1a_1 + q_2a_2 + \dots + q_ka_k = y.
@@ -1597,7 +1597,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
 			\begin{equation*}
 				0 \longrightarrow \syz{s_1, s_2, \dots, s_l}\hookrightarrow \Kx^l \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto s_i} \Kx^k \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto f_i} M \longrightarrow 0.
 			\end{equation*}
-			Siguiendo de esta forma calcularíamos una resolución, que no tiene por qué ser la mínima. De hecho, ni siquiera sabemos cómo podríamos calcularla. En este caso, sin embargo, por ser $x^2z + y^3$ homogéneo, sí que hay una forma de calcularla. No la explicamos aquí pero sí la ilustramos en el siguiente apartado.
+			Siguiendo de esta forma calcularíamos una resolución, que no tiene por qué ser la mínima. Ilustramos el cálculo por ordenador de una resolución mínima para estos valores en la siguiente sección.
 			
 		\section{Con ordenador} \label{Apéndice a ordenador}
 			Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULARPROGRAMA} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta.
@@ -1655,7 +1655,7 @@ x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0,
 -x2,   -3,0,   0,  0
 			\end{lstlisting}
 
-			Por último, veamos que no es libre calculando una resolución mínima con la instrucción \texttt{mres}. Téngase en cuenta que podemos calcular esto porque $x^2z + y^3$ es homogéneo y que en general no será posible:
+			Por último, veamos que no es libre calculando una resolución mínima con la instrucción \texttt{mres}:
 			\begin{lstlisting}
 module Siz = [0, 0, x2z+y3], [0, y, 3z], [0,x2,-3y2], [x, 0, -2z], [3y2,-2xz,0];                                                                               
 mres(Siz,0);