%&pdflatex %!TEX TS-program = pdflatex %!TEX encoding = UTF-8 Unicode % % PLANTILLA PARA UN TRABAJO DE FIN DE GRADO % EN EL GRADO DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA % % Mario Pérez Riera % Área de Análisis Matemático, Universidad de Zaragoza % % Última modificación: 1 de agosto de 2021 % % Escrito para pdfLaTeX % % \documentclass[11pt]{book} % Paquetes y fuentes %--------------------------------------------------------------------------- \usepackage{geometry} % define las dimensiones de la página \geometry{ a4paper, % Tamaño del papel centering, % Zona útil centrada margin = 25mm, % Márgenes en blanco: 25mm % includehead, % Incluir la cabecera en el área del texto % includefoot, % Incluir el pie en el área del texto } \usepackage[utf8]{inputenc} % para usar el teclado normalmente \usepackage[spanish]{babel} % selecciona idioma \usepackage[T1]{fontenc} % gestión de fuentes con acentos \usepackage{graphicx} \graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG/Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza}} % Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas: \usepackage{amssymb} % para cargar las fuentes de la A.M.S. \usepackage{amsmath} % para usar letras griegas en negrita \usepackage{amsthm} % mejora los entornos tipo-teorema y proof \usepackage{mathptmx} % fuente Times \usepackage{diffcoeff} \usepackage{nolbreaks} \usepackage{nicefrac} %\usepackage{lmodern} % fuente Times \usepackage{tikz} % para los dibujos \usetikzlibrary{babel} % para evitar conflictos entre TikZ y babel %\usepackage{longtable} % permite saltos de páginas en tablas largas %------ Enlaces en el pdf \usepackage{url} \usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black, urlcolor=black]{hyperref} %------ Cabeceras y pies de página \usepackage{titleps} \newpagestyle{miestilo}{ %-- Cabecera par y cabecera impar \sethead[\thepage][][\textsl{\chaptername\ \thechapter. \chaptertitle}] {\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage} %-- Pie de página par y pie de página impar %\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][] %{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{} } \newpagestyle{primeraparte}{ %-- Cabecera par y cabecera impar \sethead[\thepage][][\textsl{\chaptertitle}] {\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage} %-- Pie de página par y pie de página impar %\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][] %{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{} } %------ \S 4.3, p. 93, de The LaTeX Companion 1a ed. (Figura 4.2) (Juan Luis) \newcommand{\clearemptydoublepage}{\newpage{\pagestyle{empty}\cleardoublepage}} \newcommand{\sectionmarkwithoutsections}[1]{\markright{#1}} \makeindex \theoremstyle{plain} % Entornos tipo teorema \newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter] \newtheorem{proposicion}[teorema]{Proposición} \newtheorem{lema}[teorema]{Lema} % La misma numeración que 'teorema' \newtheorem{definicion}[teorema]{Definición} \theoremstyle{definition} % Entornos tipo definición \newtheorem*{defin}{Definición} % El asterisco hace que no se numere %\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo} \newtheorem{ejemplo}[teorema]{Ejemplo} % Conjuntos \usepackage[pizarra, barra]{conjuntos_TFG} % Vectores \usepackage[negrita, parentesis, vertical]{vectores_TFG} % Cosas propias \newcommand{\modulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-módulo}} \newcommand{\submodulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-submódulo}} \DeclareMathOperator{\imagen}{im} \usepackage[loadshadowlibrary, shadow, textwidth=20mm, textsize=tiny]{todonotes} \newcommand{\engendrado}[1]{\ensuremath{\left\langle #1 \right\rangle}} \newcommand{\anillodepolinomios}[2]{\ensuremath{#1\!\left[#2\right]}} \newcommand{\LT}[1]{\ensuremath{\text{LT}\left(#1\right)}} \newcommand{\LM}[1]{\ensuremath{\text{LM}\left(#1\right)}} \newcommand{\syz}[1]{\ensuremath{\text{syz}\left(#1\right)}} \DeclareMathOperator{\grado}{grado} \newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}} \begin{document} \frontmatter % Parte primera del texto \pagestyle{primeraparte} % Estilo de cabeceras para la parte primera del texto %\pagenumbering{roman} % Incluido en \frontmatter %--- PORTADA DEL TFG \begin{titlepage} \begin{center} \null \vfill \Huge{\bfseries Una plantilla en {\LaTeX}}\\% \Huge{\bfseries para el trabajo de fin de grado} \vfill \noindent \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=100mm]{ciencias.png}\\% \includegraphics[width=100mm]{logoUZ.png} \end{figure} \vfill \Huge{\bfseries Sixto José Martínez Gan}\\% \Huge{Trabajo de fin de grado de Matemáticas}\\% \Huge{Universidad de Zaragoza}\\% \vfill \huge{Junio de 2025} \end{center} \end{titlepage} %--- FIN DE LA PORTADA \clearemptydoublepage %\setcounter{page}{7} % Por si queremos imponer un número de página %--- RESUMEN \chapter{Resumen} %--- FIN DEL RESUMEN \clearemptydoublepage \tableofcontents \clearemptydoublepage %------------- \mainmatter % Parte principal del texto \pagestyle{miestilo} % Estilo de cabeceras para la parte principal del texto %--- CAPÍTULO 1 DEL TFG \chapter{Introducción} Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables, por ejemplo \nolbreaks{$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + xz$}, y estamos trabajando intensivamente con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones como \begin{equation*} y^2\diffp{f}{x} + xy\diffp{f}{y} - x^3\diffp{f}{z}, \quad \diffp{f}{x} - \diffp{f}{z}, \quad \text{o} \quad \left(x^2 - y^2\right)\diffp{f}{x} + \left( xy - yz \right)\diffp{f}{y}. \end{equation*} Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor es un múltiplo escalar de la propia $f$. Por ejemplo, \begin{equation*} x\diffp{f}{x} + y\diffp{f}{y} + z\diffp{f}{z} = x \cdot \left( 2x + z \right) + y \cdot 2y + z \cdot x = 2x^2 + 2y^2 + 2xz = 2f. \end{equation*} \todo{¿Cómo de larga debería ser esta introducción? ¿Tiene que <> ya los funcionamientos o solo plantear los problemas que queremos resolver?}¿Cuáles son estas? ¿Qué estructura siguen? ¿Y cómo podemos calcularlas? \chapter{Módulos} \todo[inline]{¿Hace falta introducir las definiciones de anillo y espacio vectorial o se dan por hechas?} Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. \begin{definicion} Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si \begin{itemize} \item $(M, +)$ es un grupo abeliano y \item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned} &\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\ &a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\ &\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\ &1 \cdot m = m \end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$ \end{itemize} \end{definicion} \begin{ejemplo} $\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}. La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}. A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. \end{ejemplo} \todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?} \begin{definicion} Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \submodulo{A} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas. \end{definicion} \begin{ejemplo} Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$. Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores, \begin{equation*} \engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}}, \end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$. \end{ejemplo} \begin{definicion} Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si \begin{equation*} N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}. \end{equation*} En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$. \end{definicion} \begin{definicion} Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un homomorfismo de \modulo{A}s si respeta las operaciones de módulo, es decir, si \begin{itemize} \item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y \item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$ \end{itemize} para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. \todo[inline]{¿Se deberían introducir las nociones de isomorfismo, ser isomorfo, etc?} \end{definicion} \begin{ejemplo} La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}. Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s. \end{ejemplo} \begin{lema} Sea un anillo $A$, dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ e $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$. \end{lema} \todo[inline]{¿Es apropiado incluir la demostración o es suficientemente obvio?} \begin{definicion} Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A}, $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$. \end{definicion} Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación \begin{align*} \partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\ p(x, y) &\mapsto \diffp{p}{x_i}(x, y). \end{align*} \todo[inline]{¿Hasta qué punto interesa o deja de interesar poner los argumentos de los polinomios?} Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto donde residen todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales: \begin{equation*} \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}. \end{equation*} Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$: \begin{equation*} \derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}. \end{equation*} \begin{definicion} Sea $A$ un anillo. Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados. Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$. \end{definicion} \begin{lema} Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A} noetheriano.\todo[inline]{¿A partir de qué momento se pueden suprimir las premisas genéricas?} Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos. \end{lema} \begin{proof} [\textsc{Demostración}] \end{proof} \begin{lema} Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria. \end{lema} \begin{proof} [\textsc{Demostración}] \end{proof} \chapter{Bases de Gröbner y Syzygias} \chapter{El Criterio de Saito} \end{document}