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TeX
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TeX
%&pdflatex
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%!TEX TS-program = pdflatex
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%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
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% PLANTILLA PARA UN TRABAJO DE FIN DE GRADO
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% EN EL GRADO DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
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% Mario Pérez Riera
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% Área de Análisis Matemático, Universidad de Zaragoza
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% Última modificación: 1 de agosto de 2021
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% Escrito para pdfLaTeX
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\documentclass[11pt]{book}
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% Paquetes y fuentes
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%---------------------------------------------------------------------------
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\usepackage{geometry} % define las dimensiones de la página
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\geometry{
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a4paper, % Tamaño del papel
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centering, % Zona útil centrada
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margin = 25mm, % Márgenes en blanco: 25mm
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% includehead, % Incluir la cabecera en el área del texto
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% includefoot, % Incluir el pie en el área del texto
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}
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\usepackage{parskip}
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\usepackage[utf8]{inputenc} % para usar el teclado normalmente
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\usepackage[spanish]{babel} % selecciona idioma
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\usepackage[T1]{fontenc} % gestión de fuentes con acentos
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%\usepackage{ulem}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{wrapfig}
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\graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG_Sixto/Imagenes_y_Figuras}}
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% Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas:
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\usepackage{amssymb} % para cargar las fuentes de la A.M.S.
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\usepackage{amsmath} % para usar letras griegas en negrita
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\usepackage{amsthm} % mejora los entornos tipo-teorema y proof
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\usepackage{mathptmx} % fuente Times
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{diffcoeff}
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\usepackage{nicefrac}
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\usepackage{stix}
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% Bibliografía.
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\ifbibtex
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{tikz} % para los dibujos
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\usetikzlibrary{babel} % para evitar conflictos entre TikZ y babel
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\usepackage{tikz-cd}
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%\usepackage{longtable} % permite saltos de páginas en tablas largas
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%------ Enlaces en el pdf
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\usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black,
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urlcolor=black]{hyperref}
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\newcommand{\referenciamodomatematico}[2]{\hyperref[#2]{#1 \ref*{#2}}}
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%------ Cabeceras y pies de página
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\usepackage{titleps}
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\newpagestyle{miestilo}{
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%-- Cabecera par y cabecera impar
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\sethead[\thepage][][\textsl{\chaptername\ \thechapter. \chaptertitle}]
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{\textsl{Divisores Libres y Configuraciones de Hiperplanos \ - \ Sixto José Martínez Gan}}{}{\thepage}
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%-- Pie de página par y pie de página impar
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%\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][]
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%{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{}
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}
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\newpagestyle{primeraparte}{
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%-- Cabecera par y cabecera impar
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\sethead[\thepage][][\textsl{\chaptertitle}]
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{\textsl{Divisores Libres y Configuraciones de Hiperplanos \ - \ Sixto José Martínez Gan}}{}{\thepage}
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%-- Pie de página par y pie de página impar
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%\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][]
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%{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{}
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}
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%------ \S 4.3, p. 93, de The LaTeX Companion 1a ed. (Figura 4.2) (Juan Luis)
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\newcommand{\clearemptydoublepage}{\newpage{\pagestyle{empty}\cleardoublepage}}
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\newcommand{\sectionmarkwithoutsections}[1]{\markright{#1}}
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\makeindex
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\theoremstyle{plain} % Entornos tipo teorema
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\newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter]
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\newtheorem{proposicion}[teorema]{Proposición}
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\newtheorem{lema}[teorema]{Lema} % La misma numeración que 'teorema'
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\theoremstyle{definition} % Entornos tipo definición
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\newtheorem{definicion}[teorema]{Definición}
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\newtheorem*{defin}{Definición} % El asterisco hace que no se numere
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%\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo}
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\newtheorem{ejemplo}[teorema]{Ejemplo}
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% Conjuntos
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\usepackage[pizarra, barra]{conjuntos_TFG}
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% Vectores
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\usepackage[negrita, parentesis, vertical, punto]{vectores_TFG}
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% Cosas propias
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\newcommand{\lineal}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-lineal}}
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\newcommand{\modulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-módulo}}
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\newcommand{\submodulo}[1]{{\ensuremath{#1}-submódulo}}
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\newcommand{\espaciovectorial}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-espacio} vectorial}
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\newcommand{\subespaciovectorial}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-subespacio} vectorial}
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\DeclareMathOperator{\imagen}{im}
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\usepackage[loadshadowlibrary, shadow, textwidth=20mm, textsize=tiny]{todonotes}
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\makeatletter%
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\@mparswitchfalse%
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\makeatother%
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\normalmarginpar
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\newcommand{\engendrado}[1]{\ensuremath{\left\langle #1 \right\rangle}}
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\newcommand{\anillodepolinomios}[2]{\ensuremath{#1\!\left[#2\right]}}
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\newcommand{\Kx}{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}
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\newcommand{\Groebner}{Gr\"obner}
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\vskip\belowcaptionskip}
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\begin{document}
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\frontmatter % Parte primera del texto
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\pagestyle{primeraparte} % Estilo de cabeceras para la parte primera del texto
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%\pagenumbering{roman} % Incluido en \frontmatter
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%--- PORTADA DEL TFG
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\begin{titlepage}
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\begin{center}
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\null
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\vfill
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\Huge{\bfseries Divisores Libres y}\\%
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\Huge{\bfseries Configuraciones de Hiperplanos}
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\vfill
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\noindent
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\includegraphics[width=100mm]{Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza/ciencias.png}\\%
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\includegraphics[width=100mm]{Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza/logoUZ.png}
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\end{figure}
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\vfill
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\Huge{\bfseries Sixto José Martínez Gan}\\%
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\Huge{Trabajo de fin de grado de Matemáticas}\\%
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\Huge{Universidad de Zaragoza}\\%
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\vfill
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\huge{Junio de 2025}
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\end{center}
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\end{titlepage}
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%--- FIN DE LA PORTADA
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\clearemptydoublepage
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%\setcounter{page}{7} % Por si queremos imponer un número de página
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%--- RESUMEN
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\chapter{Resumen}
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El presente trabajo se enmarca dentro del contexto de la Conjetura de Terao~\cite{Terao} para configuraciones de hiperplanos. En esta conjetura, Terao afirma que la libertad de una configuración de hiperplanos depende solo del patrón de intersecciones, es decir, que la dependencia es puramente combinatoria. Las configuraciones de divisores son un caso particular de divisores en los que también se plantea el problema de libertad; de manera más algebraica podemos estudiar los divisores a partir de polinomios. El divisor asociado a un polinomio es libre si el módulo de derivaciones polinómicas tangentes al divisor lo es. Así pues, parte del camino hacia la Conjetura de Terao pasa por comprender estos divisores y, en particular, conocer cuándo son libres. Debido a que este tema es vasto y un trabajo de estas dimensiones no es recipiente suficiente, solo nos dedicaremos a dichos dos objetivos. El primero de ellos lo resolveremos en la segunda parte con la introducción de las sicigias y el segundo en la tercera parte con el Criterio de Saito.
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La estructura de nuestro documento está dividida en tres. En la primera de las partes nos familiarizaremos con el tipo de objeto que estamos trabajando: el módulo. Exploraremos sus propiedades básicas, las relaciones con espacios similares como el espacio vectorial y desarrollaremos en moderada profundidad algunos aspectos concretos más relacionados con el contexto en el que nos encontramos.
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En la segunda de estas partes, el objetivo será enfrentarnos al problema de determinar si un elemento cualquiera pertenece o no a un módulo de polinomios. Para ello, exploraremos algo más en detalle el comportamiento en los casos más sencillos donde esto es todavía factible sin necesidad de introducir ninguna herramienta nueva. Eso nos llevará a abstraer el algoritmo de la división a este nuevo espacio en el que nos encontramos, conocer sus propiedades y como estas están fuertemente con la elección del término <<principal>> de un elemento que utilizamos para reducir en la división. A partir de aquí, mostraremos cómo construir nuevos conjuntos que nos permitan utilizar esta nueva división, las bases de \Groebner, y utilizaremos estas para obtener otro objeto que generaliza a las soluciones de sistemas lineales, la sicigia. Con todo esto, ya seremos capaces de calcular el módulo de derivaciones.
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Por último, en la tercera parte, daremos una detallada demostración del Criterio de Saito, el resultado que nos da un criterio para garantizar si un conjunto de derivaciones de este módulo forma una base de este. Con lo cual damos fin al trabajo habiendo no solo contextualizado estos objetos sino también presentado dos resultados fundamentales en esta teoría.
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\selectlanguage{english}
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\chapter{Abstract}
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This work is framed within the context of Terao’s Conjecture \cite{Terao} for hyperplane arrangements. In this conjecture, Terao asserts that the freeness of a hyperplane arrangement depends solely on the pattern of intersections, i.e. the dependency is purely combinatorial. Divisor configurations form a particular case of divisors in which the problem of freeness is posed too; in a more algebraic manner, we can study divisors from polynomials. A divisor associated with a polynomial is free if the module of polynomial derivations tangent to the divisor is too.
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Thus, part of the path towards Terao’s Conjecture goes through understanding these divisors and, in particular, knowing when they are free. Given the vastness of this topic and that a work of this dimensions would not fit it, we will focus exclusively on said objectives. The first will be addressed in the second part with the introduction of syzygies and the second in the third part using Saito’s Criterion.
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The structure of our document is divided into three. In the first part, we will familiarize ourselves with the type of object we are working with: the module. We will explore its basic properties, its relationships with similar spaces such as the vector space, and develop with moderate deepness some specific aspects more closely related to the context in which we find ourselves.
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In the second part, our objective will be to tackle the problem of determining whether any given element belongs to a module of polynomials. To do so, we will explore with some greater detail the behavior in simpler cases where this is still feasible without introducing any new tools. This will lead us to abstract the division algorithm to this new space we are in, get to know its properties, and understand how they are strongly tied to the choice of the principal term of an element that we use for reduction in division. From here, we will demonstrate how to construct new sets that allow us to apply this new division, Gröbner bases, and we will use them to obtain another object that generalizes the solutions of linear systems: the syzygy. With all this, we will finally be equipped to compute the module of derivations.
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Finally, in the third part, we will give a detailed proof of Saito’s Criterion, the result that offers a criterion to guarantee whether a set of derivations of this module forms a basis of it. With that we conclude our work having not only contextualized these objects but also presented two fundamental results in this theory.
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\selectlanguage{spanish}
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\clearemptydoublepage
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\tableofcontents
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\clearemptydoublepage
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%-------------
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\mainmatter % Parte principal del texto
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\pagestyle{miestilo} % Estilo de cabeceras para la parte principal del texto
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%--- CAPÍTULO 1 DEL TFG
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\chapter{Introducción}
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% Contar todo lo que sabemos hacer.
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Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables \nolbreaks{$f \in \anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n} =: \Kx$}, y estamos trabajando con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones de la forma
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\begin{equation*}
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a_1 \diffp{}{x_1} + a_2\diffp{}{x_2} + \dots + a_n\diffp{}{x_n}\quad a_i \in \Kx \ \forall i.
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\end{equation*}
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Al conjunto de todas estas derivaciones lo llamaremos \derivaciones{\Kx}. Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor al evaluarlas en $f$ es un múltiplo de la propia $f$. Es decir, conocer el conjunto
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\begin{equation*}
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\derivaciones{f} := \definicionconjunto{ \delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) = hf, h \in \Kx}.
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\end{equation*}
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Con estas derivaciones de \derivaciones{f} estamos obteniendo campos de vectores tangentes a la hipersuperficie $f=0$. Este conjunto será el principal objeto de estudio de este documento.
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A primera vista, es apreciable la relación con los vectores, pero no se tratará de espacios vectoriales, sino de una generalización de estos a coeficientes en un anillo: los módulos. Desarrollaremos una descripción de este tipo de objeto en el Capítulo \ref{Capítulo de Módulos}. A continuación, notemos que la condición $\delta\!\left( f \right) = hf$ puede reescribirse como
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\begin{equation*}
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\sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} = hf \iff \sum_{i = 1}^{n}a_i \diffp{f}{x_i} - hf = 0 \iff \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} \vectorvertical{a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \\ -h} = 0.
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\end{equation*}
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||
El vector de coeficientes expresa una <<relación>> entre los elementos de \vectorhorizontal{\diffp{f}{x_1}, \diffp{f}{x_2}, \dots, \diffp{f}{x_n}, f} al igual que una solución de un sistema lineal homogéneo expresa una relación entre las columnas de una matriz. El conjunto de todas estas relaciones o soluciones del sistema se conoce como el módulo de sicigias. Para poder calcularlo, necesitaremos las Bases de \Groebner: una herramienta que nos ayuda a la hora de determinar si un elemento pertenece o no a un ideal de \Kx, pero en este caso generalizada también a módulos. Todo esto lo desarrollaremos en el Capítulo \ref{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}.
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Por último, una de las principales dificultades que presentan los módulos es conocer si son libres y, en caso afirmativo, conseguir una base. Así como en cualquier espacio vectorial sabemos que siempre hay una base y que todo subespacio también la tiene, no tiene por qué ser así en el caso de módulos. Para poder discernir en particular si \derivaciones{f} admite una base, la herramienta a utilizar es el Criterio de Saito. Este resultado afirma que \derivaciones{f} admite una base si y solo si se pueden encontrar $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \in \derivaciones{f}$ de forma que ---viéndolos como vectores de $\Kx^n$--- se cumpla
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\begin{equation*}
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\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf\quad \text{donde $u$ es una unidad de \Kx}.
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\end{equation*}
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En el Capítulo \ref{Capítulo del Criterio de Saito} desarrollaremos la demostración de este criterio basados en \cite{VALLES}.
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De hecho, este concepto de que \derivaciones{f} admita una base no se comprende del todo bien actualmente. Por ejemplo, si tomamos $f := x^2z + y^3 \in \anillodepolinomios{K}{x,y,z}$ nos encontramos con la superficie
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/primerasuperficie.png}\\
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$x^2z + y^3 = 0$
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\end{figure}
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En este caso, \derivaciones{x^2z + y^3} no es libre. Puede encontrarse el cálculo de todo lo comentado hasta ahora para este caso en el Apéndice \ref{Apéndice Cálculo}. Sin embargo, añadiendo un plano que cree una especie de <<continuación tangente>> a esas esquinas que aparecen, que se consigue multiplicando por $x$, nos queda la siguiente superficie:
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.3]{Imagenes_y_Figuras/segundasuperficie.png}\\
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$x\left( x^2z + y^3 \right) = 0$
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\end{figure}
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Y en este caso, \derivaciones{f} sí que admite una base. Para garantizarlo, hacemos uso del Criterio de Saito (véase el \nolbreaks{Teorema \ref{Criterio de Saito}}) con
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% \begin{align*}
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% \delta_1 &:= \left( x^2z + y^3 \right)\diffp{}{z},\\
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% \delta_2 &:= y\diffp{}{y} + 3z\diffp{}{z}, \\
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||
% \delta_3 &:= x\diffp{}{x} - 2z\diffp{}{z}.
|
||
% \end{align*}
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\begin{align*}
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||
\delta_1 &:= y \diffp{}{y} + 3z \diffp{}{z}, \\
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||
\delta_2 &:= 3x \diffp{}{x} - y \diffp{}{y} - 9z \diffp{}{z}, \\
|
||
\delta_3 &:= x^2 \diffp{}{y} - 3 y^2 \diffp{}{z}.
|
||
\end{align*}
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||
Viendo estos como vectores de $\Kx^r$, hacemos el determinante:
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% \begin{equation*}
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% \det\begin{pmatrix}
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% 0 & 0 & x \\
|
||
% 0 & y & 0 \\
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||
% x^2z + y^3 & 3z & -2z
|
||
% \end{pmatrix} = -y\left[ x\left( x^2z + y^3 \right) \right] = -yf.
|
||
% \end{equation*}
|
||
\begin{equation*}
|
||
\det\begin{pmatrix}
|
||
0 & 3x & 0 \\
|
||
y & -y & x^2 \\
|
||
3z & -9z & -3y^2
|
||
\end{pmatrix} = 9x(x^2z+y^3) = 9f.
|
||
\end{equation*}
|
||
El determinante es un escalar por $f$, y por lo tanto, $\delta_1$, $\delta_2$ y $\delta_3$ forman una base de \derivaciones{f}.
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\chapter{Módulos} \label{Capítulo de Módulos}
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\section{Conceptos básicos}
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Los conjuntos con los que trabajaremos son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo. En este capítulo veremos solo algunas de las propiedades y definiciones necesarias para nuestros propósitos. Sin embargo, la teoría de módulos se extiende mucho más allá de esta exigua presentación, por lo que recomendamos que se consulte un texto introductorio como \cite{SINGULARLIBRO} o \cite{COCOA}.
|
||
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||
\begin{definicion}
|
||
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \emph{\modulo{A}} si
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\vspace{0cm}\begin{equation*}
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(M, +) \ \ \text{es un grupo abeliano y} \ \ \begin{cases}
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\left( a + b \right) \cdot \left( m + m' \right) = a\cdot m + a \cdot m' + b \cdot m + b \cdot m', \\
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\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
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1 \cdot m = m
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\end{cases} \!\!\!\!\!\!\forall a,b \in A, \ \forall m,m'\in M.
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\vspace{0cm}\end{equation*}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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El producto cartesiano $\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
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Un módulo sobre un cuerpo es un espacio vectorial pero no todas las propiedades de espacios vectoriales
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se trasladan a módulos.
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%La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\racionales^n$ es un \modulo{\racionales}.
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A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$ sobre un cuerpo $K$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
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\end{ejemplo}
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De aquí en adelante, para todos los resultados, daremos por sentado que $A$ sea un anillo y $M$ un \modulo{A}.
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\begin{definicion}
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Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \emph{\submodulo{A}} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
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Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales de estos vectores,
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\begin{equation*}
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\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\racionales}{x, y}} = \definicionconjunto{\vectordos{a\left( x^2y + xy^2 \right) + by^3}{a\left( x + y \right) + bx^3}}{a, b \in \anillodepolinomios{\racionales}{x, y}}.
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\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
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\end{ejemplo}
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\begin{definicion}
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Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $G$ un subconjunto cualquiera de $N$. Diremos que $N$ \emph{está generado por} $G$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}_A$ si
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\begin{equation*}
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N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
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\end{equation*}
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En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}_A$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}_A$. Cuando el anillo con el que estamos trabajando esté claro, omitiremos el subíndice.
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\end{definicion}
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Análogamente a los espacios vectoriales, existe un concepto de base.
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\begin{definicion}
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Diremos que $B \subseteq M$ es una \emph{base} de $M$ si $M = \engendrado{B}$ y además, para cada $m$ existe una única representación como combinación lineal de elementos de $B$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ es \emph{libre} si admite una base.
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\end{definicion}
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Ahora introducimos el concepto de torsión, que juega un papel muy importante con respecto a la libertad de los módulos.
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\begin{definicion}
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El submódulo de torsión de $M$ se define como
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\begin{equation*}
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\mathrm{Tors}\!\left( M \right) := \definicionconjunto{m \in M}{\text{existe un $a \neq 0$ tal que $am = 0$}}
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\end{equation*}
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Diremos que $M$ es \emph{libre de torsión} si $\mathrm{Tors}\!\left( M \right) = 0$.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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Pensemos en \enteros{} y en \enterosmodulo{p} donde $p \in \naturales$ como en \modulo{\enteros}. El módulo \enteros{} admite a $1$ como base ya que todo entero $z$ tiene una única representación como $z\cdot 1$. Ahora bien, supongamos que \enterosmodulo{p} tiene una base \conjunto{z_1, z_2, \dots, z_k}. Para cualquier $z \in \enterosmodulo{p}$ existirán $a_1, a_2, \dots, a_n$ de forma que $z = \sum_{i = 1}^{k}a_iz_i$. Ahora bien, démonos cuenta de que \enterosmodulo{p} no es un \modulo{\enteros} libre de torsión ya que para todo $z$, $pz = \sum_{i = 1}^{k}pa_iz_i = 0$; esto nos permite escribir
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\begin{equation*}
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z = \sum_{i = 1}^{k} \left( 1+p \right)a_iz_i.
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\end{equation*}
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Por lo tanto, la representación de $z$ no es única en términos de la base y, por ende, \enterosmodulo{p} no es libre.
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\end{ejemplo}
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De hecho, todo módulo libre es libre de torsión, aunque el converso no tiene por qué ser cierto. Un caso donde este converso es falso es el \nolbreaks{Ejemplo \ref{Ejemplo de No Tener Base}}.
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Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos.
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\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
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Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: \nolbreaks{$m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$}. Definimos el \emph{cociente de un módulo por un submódulo} como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$, que es un \modulo{A} con las operaciones heredadas. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
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\end{definicion}
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Por último, una definición que es independiente de los módulos pero que condiciona los polinomios que podremos estudiar con el Criterio de Saito.
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\begin{definicion}
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Un polinomio $p \in \Kx$ se dice \emph{libre de cuadrados} si, en caso de poder expresarlo de la forma $p = a^2b$, se tiene que $a$ es una unidad de \Kx.
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\end{definicion}
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\begin{lema} \label{Lema MCD Parciales}
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Un polinomio $p \in \Kx$ es libre de cuadrados si y solo si $\mcd{p, \diffp{p}{x_1}, \diffp{p}{x_2}, \dots, \diffp{p}{x_n}}$ es una unidad de \Kx.
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\end{lema}
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\section{Homomorfismos}
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\begin{definicion}
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Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un \emph{homomorfismo de \modulo{A}s} si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
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\begin{itemize}
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\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
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\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
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\end{itemize}
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para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. En ocasiones, nos referiremos a los homomorfismos de \modulo{A}s como aplicaciones \lineal{A}es.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
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||
Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s.
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\end{ejemplo}
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\begin{lema}
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Sean dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. El núcleo $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ y la imagen $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
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\end{lema}
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Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}[row sep=-3pt]
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\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}\rar["\partial_i"]&\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
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p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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Observamos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}s.
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Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
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\begin{equation*}
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\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
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\end{equation*}
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Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Para cada $\delta \in \derivaciones{\Kx}$ definimos $\delta \cdot p := \delta\!\left( p \right)$. Observemos que $\partial_i$ no es un homomorfismo de \modulo{\Kx}s debido al comportamiento con el producto de la derivada. De hecho, los elementos $\delta \in \Kx$ se comportan como sigue:
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\begin{equation*}
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\begin{cases}
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\delta\!\left( f_1 + f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right) + \delta\!\left( f_2 \right), \\
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\delta\!\left( f_1 f_2 \right) = \delta\!\left( f_1 \right)f_2 + f_1\delta\!\left( f_2 \right)\quad \text{y} \\
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\delta\!\left( af_1 \right) = a\delta\!\left( f_1 \right)
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\end{cases}
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\end{equation*}
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para $f_1$ y $f_2$ polinomios de \Kx{} y $a$ una constante de $K$.
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Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar de $f$ forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
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\begin{equation} \label{Definicion Modulo Derivaciones de f}
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\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
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\end{equation}
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Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{\Kx} es isomorfo a $\Kx^n$ y, por esta misma razón, \derivaciones{f} puede verse como un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$.
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\begin{definicion}
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Diremos que un anillo $A$ es \emph{noetheriano} si todos sus ideales son finitamente generados. Diremos también que un \modulo{A} $M$ es \emph{noetheriano} si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}$.
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\end{definicion}
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||
De aquí en adelante, salvo que se indique lo contrario, asumiremos que $A$ siempre es un anillo noetheriano.
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\begin{lema}
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Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano. Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
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\end{lema}
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\begin{lema}
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Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ llega a ser estacionaria en algún momento.
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\end{lema}
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\begin{definicion}
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Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El \emph{conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s} de $M$ a $N$ es también un \modulo{A} y se denota por
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\begin{equation*}
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\Hom{A}{M}{N} := \definicionconjunto{\phi : M \longrightarrow N}{\text{$\phi$ es un homomorfismo de \modulo{A}s}}.
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\end{equation*}
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Se define el módulo dual \dual{M} como el conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ en $A$:
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\begin{equation*}
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\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
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\end{equation*}
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\end{definicion}
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\begin{definicion}\label{Definicion_bilineal}
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Dados dos $M, N, O$ \modulo{A}s, una \emph{aplicación bilineal} $\Phi:M\times N\to O$ cumple
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\begin{equation*}
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\begin{cases}
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\Phi\!\left( a m + a'm', n \right) = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m', n \right) \ \ \text{y} \\
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||
\Phi\!\left( m, a n + a'n' \right)\; = a\Phi\!\left( m, n \right) + a' \Phi\!\left( m, n' \right)
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||
\end{cases} \quad \forall a,a'\in A, \ \forall m, m'\in M, \ \forall n, n'\in N.
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\end{equation*}
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Si $O=A$, diremos que es una \emph{forma bilineal}, e induce homomorfismos $\Phi_1:M\to\dual{N}$, $\Phi_2:N\to\dual{M}$, dados por
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\begin{equation*}
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\Phi_1(m)(n):=\Phi(m, n)=:\Phi_2(n)(m).
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\end{equation*}
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\end{definicion}
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Por la definición de espacio dual tenemos una forma bilineal $\Phi^M:M\times\dual{M}\to A$, definida mediante evaluación, que induce un homomorfismo natural $\Psi:=\Phi^M_1:M\to\dualdual{M}$. Esta aplicación envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\Psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$:
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\begin{align*}
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\Psi : M &\longrightarrow \dualdual{M} \\
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m &\longmapsto \Psi\!\left( m \right) : \dual{M} \longrightarrow A \\
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&\hspace{2.1cm} \phi \hspace{0.2cm} \longmapsto \phi\!\left( m \right)
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||
\end{align*}
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\begin{definicion}
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Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $\Psi$ es un isomorfismo.
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\end{definicion}
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Esta noción será de gran importancia como puede verse en el esquema \ref{Esquema Demostración} puesto que los módulos reflexivos son libres de torsión.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo}
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Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \dual{V} admite como base a la \emph{base dual} compuesta por los $v^*_{i}$ definidos como
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\begin{equation*}
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v^{*}_{i}\!\left( v_j \right) := \begin{cases}
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1 & \text{si $i = j$;} \\
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0 & \text{si no.}
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\end{cases}
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\end{equation*}
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Como una base de \dual{V} tiene tantos elementos como una de $V$, $V$ y \dual{V} deben ser isomorfos y, por ende, \dual{V} y \dualdual{V} también: estas bases inducen isomorfismo $\phi_1:V\to\dual{V}$
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y $\phi_2:\dual{V}\to\dualdual{V}$ que dependen de las bases. Es fácil ver que $\Psi=\phi_2\circ\phi_1$ y es por tanto un isomorfismo. A partir de ahora en espacios vectoriales identificaremos un espacio y su bidual.
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%Así pues, $V$ y \dualdual{V} son isomorfos. Pero para verificar que $V$ sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\Psi$ sea un isomorfismo. Para ello, supongamos que $\Psi\!\left( v \right) = \Psi\!\left( v' \right)$; entonces, como $\mathrm{id} \in \dual{V}$, $\mathrm{id}\!\left( v \right) = \mathrm{id}\!\left( v' \right)$ por lo que $\Psi$ es inyectiva, lo cual ya nos garantiza que sea un isomorfismo.
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Este ejemplo aplica también a módulos libres de rango finito.
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\end{ejemplo}
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\begin{ejemplo}
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Consideremos ahora el \modulo{\enteros} \cociente{\enteros}{p\enteros} donde $p$ es un número primo. Sabemos que $\cociente{\enteros}{p\enteros} = \engendrado{1}$; por lo tanto, cualquier $\phi \in \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$ está unívocamente determinado por la imagen de $1$. Supongamos que $\phi\!\left( 1 \right) = x \in \enteros$, se debe cumplir que
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\begin{equation*}
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px = p\phi\!\left( 1 \right) = \phi\!\left( p\cdot 1 \right) = \phi\!\left( 0 \right) = 0 \ \Leftrightarrow \ px = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 0.
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\end{equation*}
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Es decir, que $\dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} = \conjunto{\dual{\mathbf{0}}}$ donde $\dual{\mathbf{0}}$ envía cualquier elemento de \cociente{\enteros}{p\enteros} al $0$ de \enteros. Al estar \dual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} solo compuesto por la aplicación que todo lo lleva al cero, su dual, $\dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)}$, solo estará compuesto por la aplicación \dualdual{\mathbf{0}} que envía todo al $0$ de \enteros{} también. Al ser todos estos conjuntos finitos, podemos ver que la cardinalidad de \dualdual{\left( \cociente{\enteros}{p\enteros} \right)} y \cociente{\enteros}{p\enteros} no coinciden y por lo tanto no pueden ser isomorfos, impidiendo esto a su vez que \cociente{\enteros}{p\enteros} sea un \modulo{\enteros} reflexivo.
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\end{ejemplo}
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\begin{lema}\label{Lema_Reflexivo_dual}
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Si $M$ es un \modulo{\Kx} finitamente generado, entonces \dual{M} es reflexivo.
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\end{lema}
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La demostración de deja para más adelante ya que necesitamos introducir algún nuevo concepto.
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La reflexividad jugará un papel importante en la demostración del Criterio de Saito que ilustramos en el esquema de \eqref{Esquema Demostración}. Más propiedades acerca de los módulos reflexivos pueden encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
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En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
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\begin{definicion}
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Diremos que una expresión del siguiente estilo:
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\begin{equation*}
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\dots \xrightarrow{\phi_{k-1}} M_k \xrightarrow{\phi_{k}} M_{k+1} \xrightarrow{\phi_{k+1}} M_{k+2} \xrightarrow{\phi_{k+2}} \dots
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\end{equation*}
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es una \emph{sucesión exacta} si se cumple que $\imagen \phi_i = \ker \phi_{i+1}$ para todo $i$, como ilustra este diagrama:
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\scriptsize
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\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
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\foreach \veces in {2, 1}{
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||
\begin{scope}[xshift=\veces*6 cm]
|
||
\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 1, y radius = 2];
|
||
\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 2, y radius = 4];
|
||
\filldraw[black] (0, 0) ellipse [x radius = 1pt, y radius = 2pt];
|
||
\draw (-5.75, 3.97) -- (0.25, 1.94);
|
||
\draw (-5.75, -3.97) -- (0, -2);
|
||
\draw (-4.15, 1.4) -- (0, 0);
|
||
\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75, 1.94);
|
||
\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
|
||
\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75, -1.94);
|
||
\node at (0.5, 0) {$0$};
|
||
\node at (0, -3) {$M_{k+\veces}$};
|
||
\node at (3, -2) {$\phi_{k+\veces}$};
|
||
\end{scope}
|
||
}
|
||
\begin{scope}[xshift=0 cm]
|
||
\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 1, y radius = 2];
|
||
\filldraw[draw=black, fill opacity=0.5, fill=gray] (0, 0) ellipse [x radius = 2, y radius = 4];
|
||
\filldraw[black] (0, 0) ellipse [x radius = 1pt, y radius = 2pt];
|
||
\draw (-5.75, 3.97) -- (0.25, 1.94);
|
||
\draw (-5.75, -3.97) -- (0, -2);
|
||
\draw (-4.15, 1.4) -- (0, 0);
|
||
\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75, 1.94);
|
||
\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
|
||
\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75, -1.94);
|
||
\node at (0.5, 0) {$0$};
|
||
\node at (0, -3) { $M_k$};
|
||
\node at (3, -2) {$\phi_{k}$};
|
||
\end{scope}
|
||
\begin{scope}[xshift=18 cm]
|
||
\draw (-5.75, 3.97) -- (0.25, 1.94);
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\draw (-5.75, -3.97) -- (0, -2);
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\draw (-4.15, 1.4) -- (0, 0);
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\draw[dashed] (-4.15, 1.4) -- (-5.75, 1.94);
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\draw (-4.15, -1.4) -- (0, 0);
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\draw[dashed] (-4.15, -1.4) -- (-5.75, -1.94);
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\node at (1, -0.1) {\large $\cdots$};
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\end{scope}
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\draw (-4.15, -1.4) -- (-5.75, -1.94);
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\draw (-4.15, 1.4) -- (-5.75, 1.94);
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\node at (-3, -2) {$\phi_{k-1}$};
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\node at (-6, 0) {\large $\cdots$};
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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Para indicar que una aplicación $\phi : M \rightarrow N$ es inyectiva, escribiremos $0 \rightarrow M \xrightarrow{\phi} N$; y para indicar que es sobreyectiva, $M \xrightarrow{\phi} N \rightarrow 0$.
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\end{definicion}
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Con las sucesiones exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f} \subseteq \Kx$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f} o más exactamente a $J\cap\engendrado{f}$. Esto último es equivalente a decir que nos interesan aquellos elementos que son $0$ cuando hacemos el cociente de $J$ por $J\cap \engendrado{f}$. Este cociente se puede hacer de dos formas que son isomorfas: $\cociente{J + \engendrado{f}}{\engendrado{f}}$ o $\cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}$. Todo esto lo podemos expresar como una secuencia exacta:
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\begin{equation} \label{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}
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\begin{tikzcd}
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0 \arrow[r] & \derivaciones{f} \arrow[r, "\Phi"] & \derivaciones{\Kx} \arrow[r, "\pi \circ \xi"] \arrow[d, leftrightarrow] & \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \arrow[r] & 0 & \\
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& & \Kx^n & & &
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\end{tikzcd}
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\end{equation}
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La función $\Phi$ es una inclusión, $\xi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica de $J$ a \cociente{J}{J \cap \engendrado{f}}.
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\begin{wrapfigure}[3]{r}{0.3\textwidth}
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\vspace{-1.3cm}
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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& P \arrow[d, "h"] \arrow[ld, "\phi" above] & \\
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M \arrow[r, "e"] & N \arrow[r] & 0
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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\end{wrapfigure}
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\begin{definicion} \label{Definición Módulo Proyectivo}
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Un \modulo{A} $P$ es \emph{proyectivo} si para cada epimorfismo de \modulo{A}s $e : M \rightarrow N$ y cada homomorfismo de \modulo{A} $h: P \rightarrow N$ existe un homomorfismo de \modulo{A}s $\phi : P \rightarrow M$ de forma que $h = e \circ \phi$.
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\end{definicion}
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Suele ser común referirse a esto diciendo que todo homomorfismo $h$ puede ser <<elevado>> a través de cualquier epimorfismo $e$ a un homomorfismo $\phi$ y queda ilustrado por el diagrama de la derecha.
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\begin{ejemplo}
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Sean $M = \cociente{\enteros}{4\enteros}$, $N = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ y $P = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ vistos como \modulo{\enteros}s. Como $e$ es un epimorfismo de \modulo{\enteros}s, necesariamente tendremos que $e\!\left( 0 \right) = e\!\left( 2 \right) = 0$ y $e\!\left( 1 \right) = e\!\left( 3 \right) = 1$. Como $h$ simplemente tomaremos la identidad. Sea ahora $\phi: P \rightarrow M$ un homomorfismo de \modulo{\enteros}s cualquiera; existen dos posibilidades para $\phi\!\left( 1 \right)$:
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\begin{itemize}
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\item si $\phi\!\left( 1 \right) \in \conjunto{0, 2}$, entonces $e\!\left( \phi\!\left( 1 \right) \right) = 0 \neq h\!\left( 1 \right)$;
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\item si por el contrario $\phi\!\left( 1 \right) \in \conjunto{1, 3}$, entonces $\phi\!\left( 0 \right) = \phi\!\left( 2\cdot 1 \right) = 2\phi\!\left( 1 \right) = 2$ y de nuevo llegamos a que $e\!\left( \phi\!\left( 1 \right) \right) = 0 \neq h\!\left( 1 \right)$.
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\end{itemize}
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En conclusión, $\cociente{\enteros}{2\enteros}$ no es un \modulo{\enteros} proyectivo.
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\end{ejemplo}
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Damos ahora dos propiedades que nos permitirán relacionar los módulos proyectivos con los libres.
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\begin{lema} \label{Lema Libre implica Proyectivo}
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Todo módulo libre es proyectivo.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la Definición~\ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$.
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\end{proof}
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Una introducción a los módulos proyectivos puede encontrarse en \cite[sección 1.2]{LIBROPROYECTIVOS}.
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Una construcción que en este trabajo no trataremos en profundidad pero que sí es relevante para estudiar la libertad de los módulos es la resolución libre, que nos permite expresar por completo un módulo como submódulo de un módulo libre y las relaciones entre sus elementos.
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\begin{definicion}
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Una resolución libre de $M$ es una sucesión exacta de la forma
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\begin{equation*}
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\dots \longrightarrow F_{k+1} \longrightarrow F_k \longrightarrow \dots \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0
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\end{equation*}
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donde los $F_i$ son \modulo{A}s libres finitamente generados.
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\end{definicion}
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\begin{lema} \label{Lema Longitud Mínima Resolución}
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Todo \modulo{A} ---recuérdese que $A$ es noetheriano--- finitamente generado que admita una resolución de longitud finita
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow F_k \longrightarrow \dots \longrightarrow F_1 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0
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\end{equation*}tiene una resolución de longitud mínima.
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\end{lema}
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Dándonos cuenta de que si $M$ es libre, entonces debe admitir una resolución de la forma
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0,
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\end{equation*}
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encontramos en este resultado un criterio de libertad más práctico sobre todo a la hora de demostrar que un módulo no es libre: intentar calcular su resolución mínima y, si tiene, ver si es de la forma anterior. Sin embargo, este cálculo no está disponible siempre lo cual hace que no nos sirva salvo en aquellas situaciones donde sí que podemos calcular resoluciones y afirmar que sean mínimas. Una exposición más detallada de esto puede encontrarse en \cite{SINGULARLIBRO}, e ilustraremos su uso en \ref{Apéndice a ordenador}.
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\section{Rango de un módulo}
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En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un dominio de integridad sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado, es decir, si $s,s'\in S$, entonces $ss'\in S$ (supondremos además que $0\notin S$). Consideremos la relación de equivalencia
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$\sim$ sobre $A\times S$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$\footnote{La definición de localización es, en realidad, más general: \begin{equation*}
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\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff \exists\sigma \in S \ \text{tal que} \ \sigma\left( ms' - m's \right) = 0.
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\end{equation*} Pero en para nosotros, como asumimos que no hay divisores del $0$, nuestra definición es suficiente.}. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
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\begin{equation*}
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S^{-1}A := \cociente{A\times S}{\sim}
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\end{equation*}
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junto con las operaciones
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\begin{equation*}
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\frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta}
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\end{equation*}
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||
es la \emph{localización} de $A$ respecto de $S$. Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ se trata de un cuerpo $\cuerpofracciones{A}$ llamado \emph{cuerpo de fracciones de $A$}. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
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\end{definicion}
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El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
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% \begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
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||
% Llamaremos \emph{extensión de escalares} del \modulo{A} $M$ al \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} $M_Q$.
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% \end{definicion}
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\begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
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Sea $S$ un subconjunto de $A$ multiplicativamente cerrado. Definimos la \emph{localización de $M$ con respecto a $S$} como el \modulo{S^{-1}A}
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\begin{equation*}
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S^{-1}M := \definicionconjunto{\frac{m}{s}}{m \in M, s \in S},
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\end{equation*}
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||
donde $\frac{m}{s}$ denota la clase de equivalencia de $\left( m, s \right) \in M \times S$ con respecto a la relación de equivalencia
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\begin{equation*}
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\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff ms' = m's.
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\end{equation*}
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Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización como $M_\mathrm{Q}$ y la llamaremos $Q(A)$-\emph{extensión de escalares} de~$M$.
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\end{definicion}
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\begin{lema} \label{Lema Extensión es Inyección}
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La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M_\mathrm{Q}$ dada por $m \mapsto \frac{m}{1}$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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Para la primera afirmación, vemos que $M_\mathrm{Q}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
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Para la segunda, véase que
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\begin{align*}
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\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
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&\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
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&\iff am \neq 0 \\
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&\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.\qedhere
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\end{align*}
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% Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M_\mathrm{Q}$ puede escribirse como $ \frac{m}{q}$ para algún $m\in M$ y algún $q\in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Consideremos el homomorfismo de $M_Q$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
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%
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% \todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
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%
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\end{proof}
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Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
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\mbox{}\vspace{-1.7cm}
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\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
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\footnotesize
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
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M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
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||
0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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\vspace{-0.8cm}
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\caption{} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
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\end{wrapfigure}
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\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
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% Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
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Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
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Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
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\begin{equation*}
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\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q}}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
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\end{equation*}
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o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
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Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_\mathrm{Q}} \simeq M_\mathrm{Q}$. Esto nos identificar
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\begin{equation*}
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\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_\mathrm{Q}}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}},\quad
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M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q}}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
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\end{equation*}
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%
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% \todo{Esto terminarlo.}
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\end{proof}
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\begin{definicion}
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Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M_\mathrm{Q}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
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\end{definicion}
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Un caso particular importante es el de cualquier ideal $I$, que independientemente del número de generadores que tenga siempre es de rango $1$.
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\section{Producto Exterior}
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De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para comprenderlo, necesitaremos entender primero el producto tensorial
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cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\ref{Definicion_bilineal} como aplicaciones lineales.
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%Este aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $P$ son \modulo{A}s y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos convertir una aplicación bilineal en una lineal. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Tomemos como $E$ al \modulo{A} definido como $\bigoplus_{\substack{m \in M \\ n \in N}} A \cdot \vectorbasecanonica{m, n}$ donde \vectorbasecanonica{m, n} debe entenderse como la tupla $\left( m, n \right)$ sin ningún tipo de operación asociada, es decir, no debemos pensar que $\vectorbasecanonica{m, n} + \vectorbasecanonica{m', n'} = \vectorbasecanonica{m+m', n+n'}$ al igual que no pensamos que $\euno + \edos = \etres$. Ahora, consideremos dentro de $E$ el \submodulo{A} $S$ definido por
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\begin{equation*}
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S = \engendrado{ \left.\begin{gathered}
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\vectorbasecanonica{m + m', n} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m', n}, \quad
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\vectorbasecanonica{m, n + n'} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m, n'}, \\
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||
\vectorbasecanonica{am, n} - a\vectorbasecanonica{m, n}, \quad
|
||
\vectorbasecanonica{m, an} - a\vectorbasecanonica{m, n}
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||
\end{gathered} \right\rvert a \in A, m \in M, n \in N}.
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\end{equation*}
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Definimos el p\emph{roducto tensorial} de $M$ por $N$ como $M \otimes N := \cociente{E}{S}$ y denotaremos a la clase de equivalencia de cada $\vectorbasecanonica{m, n}$ como $m \otimes n$.
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\end{definicion}
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\begin{wrapfigure}[2]{r}{0.3\textwidth}
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\vspace{-1cm}
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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M \otimes N \arrow[rd, "l"]& & \\
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M \times N \arrow[r, "b"] \arrow[u]& P
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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\end{wrapfigure}
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||
Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio: para toda aplicación bilineal $b$ podemos encontrar una única aplicación lineal $l: M \otimes N \to P$ de forma que $b\!\left( m, n \right) = l\!\left( m\otimes n \right)$:
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%\vspace{-0.7cm}
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\begin{ejemplo}
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Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \racionales^3 \times \racionales^3 \rightarrow \racionales$, que es bilineal. En este caso, todo elemento de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---:
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\begin{equation}\label{Desglose Producto Tensorial}
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\begin{aligned}
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\vectortres{a}{b}{c} \otimes \vectortres{d}{e}{f} + S &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \otimes \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) + S \\
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&= ad \euno\otimes\euno + ae\euno\otimes\edos + af\euno\otimes\etres + bd\edos\otimes\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\otimes\edos + bf\edos\otimes\etres + cd\etres\otimes\euno + ce\etres\otimes\edos + cf\etres\otimes\etres + S
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||
\end{aligned}
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\end{equation}
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De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente.
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Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\racionales^3 \otimes \racionales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \racionales^3 \otimes \racionales^3 \rightarrow \racionales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso,
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\begin{equation*}
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\phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases}
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1 &\text{si $i = j$;}\\
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0 &\text{si $i \neq j$.}
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\end{cases}
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\end{equation*}
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Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado.
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\end{ejemplo}
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Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$.
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\begin{definicion}
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||
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como
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\begin{equation*}
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T = \engendrado{m \otimes m' - m' \otimes m \vert m, m' \in M}.
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\end{equation*}
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||
Definiremos el \emph{producto exterior }de $M$ por $M$ como $M \wedge M := \cociente{\left( M \otimes M \right)}{T}$ y denotaremos la clase de equivalencia de cada $\left( m, m' \right)$ como $m \wedge m'$.
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\end{definicion}
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Nótese que ahora $m \wedge m = 0$ y que en este caso tenemos una propiedad universal similar a la del producto tensorial pero con aplicaciones bilineales alternadas.
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\begin{ejemplo}
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El ejemplo natural en el caso de aplicaciones bilineales alternadas es el producto vectorial $\bullet \times \bullet : \racionales^3 \times \racionales \rightarrow \racionales^3$. Podemos aplicar el mismo proceso que en \eqref{Desglose Producto Tensorial}.
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\begin{align*}
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\vectortres{a}{b}{c} \wedge \vectortres{d}{e}{f} &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \wedge \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) \\
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&= ad \euno\wedge\euno + ae\euno\wedge\edos + af\euno\wedge\etres + bd\edos\wedge\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\wedge\edos + bf\edos\wedge\etres + cd\etres\wedge\euno + ce\etres\wedge\edos + cf\etres\wedge\etres; \\
|
||
\intertext{suprimimos los elementos de la forma $\vectorbasecanonica{i} \wedge \vectorbasecanonica{i}$ y ponemos todas las parejas $\vectorbasecanonica{i} \wedge \vectorbasecanonica{j}$ de forma que $i < j$;}
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||
&= ae\euno\wedge\edos + af\euno\wedge\etres - bd\euno\wedge\edos + bf\edos\wedge\etres - cd\euno\wedge\etres - ce\edos\wedge\etres \\
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&= \left( ae - bd \right)\euno\wedge\edos + \left( af - cd \right)\euno\wedge\etres + \left( bf - ce \right)\edos\wedge\etres.
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\end{align*}
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Vemos por lo tanto que $\racionales^3 \wedge \racionales^3$ tiene como base $\left\lbrace \euno\wedge\edos, \euno\wedge\etres, \edos\wedge\etres \right\rbrace$ y las imágenes de estos son
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\begin{equation*}
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\phi\!\left( \euno\wedge\edos \right) = \euno \times \edos = \etres, \quad \phi\!\left( \euno\wedge\etres \right) = \euno \times \etres = -\edos \ \text{y} \ \phi\!\left( \edos\wedge\etres \right) = \edos \times \etres = \euno.
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\end{equation*}
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Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial.
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\end{ejemplo}
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Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$.
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Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <<más grande>>, esto no tiene por qué ser así.
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\begin{ejemplo}
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Consideremos $\racionales^3 \wedge \racionales^3 \wedge \racionales^3$. Los elementos son de la forma
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\begin{align}
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\vectortres{a}{b}{c} \wedge \vectortres{d}{e}{f} \wedge \vectortres{g}{h}{i} &= aei\euno\wedge\edos\wedge\etres + afh\euno\wedge\etres\wedge\edos + bdi\edos\wedge\euno\wedge\etres \nonumber \\
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&\phantom{text} + bfg\edos\wedge\etres\wedge\euno + cdh\etres\wedge\euno\wedge\edos + ceg\etres\wedge\edos\wedge\euno; \nonumber \\
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\intertext{donde podemos ver que, por ejemplo, $\edos\wedge\etres\wedge\euno = -\edos\wedge\euno\wedge\etres = \euno\wedge\edos\wedge\etres$ y así expresamos todos estos productos en términos de $\euno\wedge\edos\wedge\etres$;}
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&= \left( aei + bfg + cdh - \left( ceg + afh + bdi \right) \right) \euno\wedge\edos\wedge\etres. \label{Producto Exterior Como Determinante}
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\end{align}
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Vemos, por lo tanto, que $\racionales^3\wedge\racionales^3\wedge\racionales^3$ es en realidad $\racionales\left( \euno\wedge\edos\wedge\etres \right)$, un espacio isomorfo a \racionales.
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\end{ejemplo}
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Lo que ocurre en estos casos es que los distintos órdenes en los que pongamos los elementos de un producto exterior $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_k$ solo lo cambian en signo. Podemos resumir lo que ocurre en el siguiente lema.
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\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior}
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Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$. En particular, nótese que si $k > n$, entonces $\bigwedge^k V = \conjunto{0}$.
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\end{lema}
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Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la \emph{aplicación exterior }$\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue:
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\begin{equation*}
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m_1\wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_k \longmapsto \phi\!\left( m_1 \right)\wedge \phi\!\left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \phi\!\left( m_k \right).
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\end{equation*}
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\end{definicion}
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Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\bigwedge^n V$ y $\bigwedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Qué escalar es este nos lo dice el siguiente lema.
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\begin{proposicion} \label{Aparición Determinante Función Exterior}
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Sea $\phi : V \rightarrow W$ como en el párrafo anterior. Entonces, la aplicación lineal $\bigwedge^n \phi : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ envía
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\begin{equation*}
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v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n \mapsto \det\Phi\, w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n.
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\end{equation*}
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\end{proposicion}
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\begin{proof}
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Es suficiente con el razonamiento del párrafo anterior y un desarrollo similar al de \eqref{Producto Exterior Como Determinante}, que como puede verse, es el determinante de una matriz $3\times 3$:
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\begin{equation}
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\funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n.
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\qedhere
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\end{equation}
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\end{proof}
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Recordemos que ya en el Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos.
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\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior Módulos}
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Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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Consideremos $\left( \bigwedge^s M \right)_\mathrm{Q}$. Hay un isomorfismo de \modulo{\cuerpofracciones{A}}s entre $\left( \bigwedge^s M \right)_\mathrm{Q}$ y $\bigwedge^s\left( M_\mathrm{Q} \right)$:
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\begin{align*}
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\left( \bigwedge^sM \right)_\mathrm{Q} &\longleftrightarrow \bigwedge^s\left( M_\mathrm{Q} \right) \\
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\frac{a}{b}\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s \right) &\longrightarrow \left( \frac{a}{b} m_1\right) \wedge \left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \right) \\
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\frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s}\left( m_1 \wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_s\right) &\longleftarrow \left( \frac{a_1}{b_1}m_1 \right) \wedge \left( \frac{a_2}{b_2}m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( \frac{a_s}{b_s} m_s \right)
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\end{align*}
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Aunque pudiera parecer que no es un isomorfismo puesto que los lados derechos no lucen iguales, recordemos que por las propiedades del producto tensorial y exterior y por ser ambos conjuntos \modulo{\cuerpofracciones{A}} tenemos que
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\begin{equation*}
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\left( \frac{a_1}{b_1}m_1 \right) \wedge \left( \frac{a_2}{b_2}m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( \frac{a_s}{b_s} m_s \right) = \left( \frac{a_1a_2\dots a_s}{b_1 b_2 \dots b_s}m_1 \right) \wedge \left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \left( m_s \right).
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\end{equation*}
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Ahora bien, por hipótesis $M_\mathrm{Q}$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $n$ así que $\bigwedge^n \left( M_\mathrm{Q} \right)$ será también un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}, en este caso de rango $\binom{n}{s}$. Gracias al isomorfismo, $\left( \bigwedge^s M \right)_\mathrm{Q}$ es igualmente otro \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de rango $\binom{n}{s}$ lo cual quiere decir que $M$ es de rango $\binom{n}{s}$.
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\end{proof}
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\chapter{Bases de Gröbner y Sicigias} \label{Capítulo de Bases de Groebner y Sicigias}
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A partir de este momento solo trabajaremos con módulos $\Kx^n$ ya que son los involucrados en el módulo de derivaciones.
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Uno de los principales problemas que tienen los módulos en general es que describirlos es más complicado que en el caso de los espacios vectoriales. Con los espacios vectoriales, sabemos que siempre existe una base y que, dándola, describimos por completo este espacio. En el caso de los módulos, sin embargo, dar una base en el sentido de base de espacio vectorial no siempre es posible. Esto se materializa en el problema de ser capaz de determinar si un elemento en particular se encuentra dentro del módulo.
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Veamos cómo se afronta este problema a distintos niveles.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}
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Consideremos el \modulo{\racionales} \anillodepolinomios{\racionales}{x} ---solo una variable--- y a \nolbreaks{$f := x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$} y \nolbreaks{$g := x^{3} - 9x^{2} + 26x - 24$} dos elementos de este. Queremos determinar si un polinomio cualquiera, por ejemplo \nolbreaks{$p = 3x^7 + 4x^5 - 3x^2 + x + 1$}, pertenece al submódulo ---o en este caso, ideal--- $\engendrado{f, g}$. Como \anillodepolinomios{\racionales}{x} es un dominio euclídeo, es dominio de ideales principales y, por lo tanto,
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\begin{equation*}
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\engendrado{f, g} = \engendrado{\mcd{f, g}} = \engendrado{x^2 - 5x + 6}.
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\end{equation*}
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Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios de una variable que conocemos:
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\begin{equation*}
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p = \left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)\left( x^2 - 5x + 6 \right) + 7007x - 13511.
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\end{equation*}
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Por el Teorema de la División, sabemos que este resto es el único polinomio de \anillodepolinomios{\racionales}{x} que satisface $p = q d + r$ con grado menor que $d$. Por lo tanto, al no ser $0$, podemos afirmar que $p$ no está en \engendrado{f,g}.
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\end{ejemplo}
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Este ejemplo también ilustra un cambio de perspectiva que será muy importante a lo largo de toda esta sección: la división deja de ser importante por los valores exactos que arroja y su relevancia es más bien cualitativa. Con esto nos referimos a que, como tal, el valor concreto del cociente no tienen ninguna relevancia a la hora de determinar si $p$ pertenece o no a \engendrado{f, g} y el del resto nos importa ya que nos da la clase de equivalencia, pero si hubiese más de un posible representante, daría igual cuál nos fuese devuelto. En concreto, en \anillodepolinomios{\racionales}{x}, solo nos interesa si el resto es $0$ o no, puesto que es lo que determina si $p$ pertenece o no a \engendrado{f, g}. En base a esto, nuestra motivación para la división debe cambiar de ser <<obtener $q$ y $r$ de forma que $p = qd + r$ donde $\grado r < \grado d$>> a un más abstracto <<obtener un representante $r$ que satisfaga algunas condiciones de la clase de $p$ en \cociente{\anillodepolinomios{\racionales}{x}}{\engendrado{f, g}}>>.
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Visto así, el Ejemplo \ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar a cualquier conjunto generador con un solo elemento; por lo tanto, sobre cualquier conjunto generador siempre habrá definida una división, que consistirá en dividir como ya conocemos por el elemento generador. Además, por el Teorema de la División, conocemos que el representante $r$ que satisfaga $\grado r < \grado d$ es único, lo cual nos permite discernir si $p$ está en \engendrado{f, g} viendo si $r = 0$ o no.
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En espacios más complicados, muchas de estas buenas propiedades desaparecen e impiden extender el proceso anterior.
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\begin{description}[wide, leftmargin=0pt,itemindent=6pt]
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\item[Más variables:] Consideremos ahora el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y, z}$, un elemento $f: = 4x^2y+ 12xy^2 + \frac{5}{2}xz^3 + x^2yz$ y el ideal $I := \engendrado{f}$. Si bien este espacio no tiene por qué ser un dominio de ideales principales, al solo haber un generador podemos obviar de momento esa parte. Siguiendo la línea del Ejemplo~\ref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}, para ver si $p \in \anillodepolinomios{\racionales}{x, y, z}$ deberíamos dividir por $f$ y ver si el resto es $0$ o no. Pero llegados a este punto, ¿cómo deberíamos dividir? Podemos intentar imitar el algoritmo usual de la división, pero este necesita siempre una noción de orden entre los términos del divisor y también del dividendo. En este caso, ¿deberíamos tomar $4x^2y$ como <<término líder>> de $f$ o igual sería mejor tomar a uno de mayor grado como $\frac{5}{2}xz^3$? Pero $\frac{5}{2}xz^3$ y $x^2yz$ tienen el mismo grado, ¿cuál escoger, entonces? La elección de este <<término líder>> en dividendo y divisor cambiará el funcionamiento del algoritmo, así que debemos cerciorarnos de cuáles de estas opciones son válidas y también revisar si el algoritmo tradicional adaptado de esta manera sirve su propósito.
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\item[Más generadores:] Sin cambiar de espacio, consideremos ahora el ideal $I := \engendrado{x + y, xyz, x^2 + y^2 + z^2}$. En este caso, el que \anillodepolinomios{\racionales}{x, y, z} no sea un dominio de ideales principales es un problema. ¿Cómo podemos dividir siquiera? Otra dificultad a la que nos enfrentamos aquí una vez hayamos entendido cómo dividir será saber si nuestro sistema de generadores es compatible con la división ya que, por ejemplo, a $x^2 + y^2 + z^2$ se le puede restar $\left( x+y \right)^2$ e $I$ podría expresarse como $\engendrado{x+y, xyz, -2xy + z^2}$. ¿Sirven ambas representaciones?
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\item[Más <<dimensiones>>:] Por último, también debemos tener en cuenta que por lo general trabajaremos en $\Kx^r$, lo cual hará que los elementos tengan más de una componente. ¿Cómo integrar las componentes en las divisiones?
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\end{description}
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En resumen, para poder construir un algoritmo de la división más general necesitaremos tener un orden total dentro de los monomios para saber cómo ir construyendo el cociente, ver cómo dividir por más de un generador e integrar a las distintas componentes.
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\section{Órdenes monomiales}
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El concepto de orden monomial nos permite construir un orden total sobre los monomios de \Kx. Para poder definirlo bien, debemos identificar un monomio en $n$ variables con un vector en $\naturales^n$ que represente sus exponentes, es decir, $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots x_n^{\alpha_n} \longleftrightarrow \left( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \right)$. Tomando $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$, notaremos $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$ como $x^\mathbf{\alpha}$. Así pues, un orden monomial se corresponde con un orden total en $\naturales^n$ de forma que sea compatible con la estructura de monoide que posee el conjunto de monomios.
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\begin{definicion}
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Un \emph{orden monomial} $>$ es un orden total sobre los monomios en $n$ variables que respeta la multiplicación, es decir, que satisface $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$ para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$.
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\end{definicion}
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Sin embargo esta propiedad deja en el aire el papel del $1$. ¿Cómo debemos ordenarlo?
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\begin{definicion}
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Sea $>$ un orden monomial. Si para todo $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$
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\begin{itemize}
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\item $x^{\mathbf{\alpha}} > 1$, diremos que el orden es global;
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\item $x^{\mathbf{\alpha}} < 1$, diremos que el orden es local;
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\item si no son ninguna de las dos anteriores, diremos que el orden es mixto.
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\end{itemize}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}[Orden lexicográfico]
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Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal,
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$x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$ si la primera componente no nula por la izquierda de $\alpha - \beta$ es positiva. Con los valores de antes, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$ ya que la primera componente de $\left( 3, 2, 4 \right) - \left( 2, 4, 4 \right) = \left( 1, -2, 0 \right)$ es positiva. Para referirnos a este orden en concreto utilizaremos \mayorquelex. Es fácil ver que es, en efecto, un orden monomial ya que si $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$, tendremos que la primera componente de $\mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ será positiva, y lo mismo ocurrirá con la de $\mathbf{\alpha} + \mathbf{\gamma} - \left( \mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma} \right) = \mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ por lo que $x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$.
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\end{ejemplo}
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\begin{ejemplo}[Orden graduado-lexicográfico]
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En ocasiones no nos interesará ordenar los monomios con el orden lexicográfico puesto que no tiene en cuenta el grado: $x^2 > xy^{129}z^{34}$. Por lo tanto, podemos definir un orden que tenga en cuenta el grado; en particular, que primero ordene por el grado y, en caso de empate, utilice el orden lexicográfico. Lo llamaremos <<graduado-lexicográfico>>:
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\begin{equation*}
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x^\mathbf{\alpha} \mayorquedeglex x^\mathbf{\beta} \Longleftrightarrow \begin{cases}
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\grado{x^\mathbf{\alpha}} > \grado{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \grado{x^\mathbf{\alpha}} = \grado{x^\mathbf{\beta}} \; \text{y} \; x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
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\end{cases}
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\end{equation*}
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\end{ejemplo}
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Para poder generalizar estos órdenes a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
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2xy + y^2 \\ x^3
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\end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos$.
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\begin{definicion}
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A las expresiones de la forma $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ con $i \in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace$ las llamaremos \emph{monomios} de \Kx.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sea $>$ un orden monomial en \Kx. Un \emph{orden monomial de módulos} \mayorquemodulos{} es un orden total sobre los monomios de $\Kx^r$ que es compatible con la estructura de \modulo{\Kx} de $\Kx^r$ y con el orden $>$, es decir, que satisface
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\begin{equation*}
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\begin{cases}
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x^{\mathbf{\alpha}}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^{\mathbf{\beta}}\vectorbasecanonica{j} \implies x^{\mathbf{\alpha}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^{\mathbf{\beta}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{j}\quad \text{y} \\
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x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} \mayorquemodulos x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}
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\end{cases} \forall \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta},\mathbf{\gamma} \in \naturales \ \forall i, j \in \left\lbrace 1, \dots, r \right\rbrace.
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\end{equation*}Por lo general, omitiremos el subíndice <<$\mathrm{m\acute{o}d}$>> por claridad.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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Una manera de extender el orden monomial \mayorquelex{} a los monomios de $\Kx^n$ es ordenar primero en función de la posición, haciendo que las primeras posiciones vayan antes que las últimas ---por ejemplo $\vectorbasecanonica{2} > \vectorbasecanonica{3}$---, y si hubiese un empate, entonces se utilizase el orden \mayorquelex. Así definimos el siguiente orden monomial de módulos:
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\begin{equation} \label{Definicion Orden Lexicográfico Módulos}
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x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} > x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \Longleftrightarrow \begin{cases}
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i < j \quad \text{o} \\
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i = j \ \text{y} \ x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
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\end{cases}
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\end{equation}
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Sin embargo, podríamos haber tomado la decisión de que primero se comparasen $x^\mathbf{\alpha}$ y $x^\mathbf{\beta}$ y, en caso de empate, se hubiesen mirado las posiciones. Ambas posibilidades dan lugar a
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distintos órdenes monomiales de módulos: %Poner otra ecuación de definición con el otro orden.
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Vemos pues que es necesario aclarar si la posición de los monomios debe ser evaluada antes o después, así que denotamos a estos órdenes como \mayorquemodular{POS}{LEX} para el correspondiente a \eqref{Definicion Orden Lexicográfico Módulos} y \mayorquemodular{LEX}{POS} para aquel que primero compara según el orden lexicográfico y después según la posición. Por ver un caso concreto, $xy\edos \mayorquelexpos y^3\euno$ pero $y^3\euno \mayorqueposlex xy\edos$.
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Esta generalización que hemos hecho no está limitada a \mayorquelex, también se podría realizar con otros órdenes como \mayorquedeglex. Incluso se podrían permutar las posiciones para obtener todavía más órdenes.
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\end{ejemplo}
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Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la generalización del algoritmo de la división formalizando esa noción de <<término líder>> que mencionábamos.
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\begin{definicion}
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Sea $p := c_1x^\mathbf{s_1}\vectorbasecanonica{i_1} + c_2x^\mathbf{s_2}\vectorbasecanonica{i_2} + \dots + c_mx^\mathbf{s_m}\vectorbasecanonica{i_m}$ un polinomio de $\Kx^r$ y $>$ un orden monomial de módulos. Sea $k \in \left\lbrace 1, \dots, m \right\rbrace$ de forma que $x^\mathbf{s_k}$ sea el máximo del conjunto de monomios de $p$ según el orden $>$, entonces
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\begin{itemize}
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\item el \emph{monomio líder} de $p$ se denomina $\LM{p}:= x^\mathbf{s_k}\vectorbasecanonica{i_k}$;
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\item el \emph{coeficiente líder} de $p$ es el coeficiente que acompaña al monomio líder en $p$ y se define como $\LC{p} := c_k$;
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\item el \emph{término líder} de $p$ es $\LT{p} := \LC{p}\LM{p}$.
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\end{itemize}
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\end{definicion}
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Necesitamos también concretar la noción de divisibilidad para poder integrar las distintas componentes que puedan tener los elementos dentro de la división. Según la Definición~\ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$.
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Con todo esto, ya podemos definir un algoritmo de la división de un elemento por otro en $\Kx^r$. En esencia, imitaremos al algoritmo tradicional solo que, en este caso, nos guiaremos por los monomios líderes y no por el grado.
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\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Simple}
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El \emph{algoritmo de división simple} se aplica a dos elementos $f$ y $g$ de $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este.
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\begin{algorithmic}[1]
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\State Definimos $D \gets f$, $d \gets g$, $c \gets 0$ y $r \gets \mathbf{0}$ como las variables que representan el dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente. Nótese que $D$, $d$ y $r$ son vectores de $\Kx^r$ mientras que $c$ es un polinomio de \Kx.
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\Repeat
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||
\While{$\LM{d} \vert \LM{D}$}
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\State Sea $m \in \Kx$ de forma que $\LM{D} = m\LM{d}$.
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||
\State $D \gets D - m d$, $c \gets c + m$
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||
\EndWhile
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||
\State $D \gets D - \LM{D}$, $r \gets r + \LM{D}$
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||
\Until{$D = \mathbf{0}$}
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\end{algorithmic}
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Al finalizar este algoritmo, tendremos que $f = c g + r$ donde ninguno de los términos de $r$ es divisible por \LM{g}.
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\end{definicion}
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La única novedad de este algoritmo con respecto al que ya conocemos de polinomios en una sola variable es la instrucción de la línea 6. En ella, le sustraemos a $D$ su término líder, lo añadimos al resto y repetimos todo el proceso otra vez con el resto de términos de $D$. Esto lo hacemos para reducir todo lo posible el resto, garantizando que ninguno de sus términos sea divisible por \LM{g}. De no hacer esto, solo podríamos garantizar que, al final de la ejecución, $\LT{D}$ no es divisible por $\LT{g}$.
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\begin{ejemplo}
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Sean $f := 3x^4\euno + 2x^3\euno + 2x^2y\edos + x^2\euno$ y $g := x^2\euno + 2y\etres$ dos elementos de $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^3$ con el orden monomial \mayorquedeglexpos. Aunque hayamos expresado en la definición todo de una forma muy <<programable>>, en esencia, lo que hacemos es bastante similar a una división usual:
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\begin{center}
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\begin{blockarray}{rrrrrrrcl}
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\begin{block}{rrrrrrrc|l}
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$3x^4\euno$ & +$2x^3\euno$ & +$2x^2y\edos$ & & +$x^2\euno$ & & & & \cocientecaja{x^2\euno + 2y\etres} \\
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$-(3x^4\euno$ & & & $+6x^2y\etres)$ & & & & & $3x^2 + 2x + 1$ \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrrrrcl}
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\cmidrule{1-5}
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& +$2x^3\euno$ & +$2x^2y\edos$ & $-6x^2y\etres\phantom{)}$ & +$x^2\euno$ & & & & \\
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& $-(2x^3\euno$ & & & & $+4xy\etres)$ & & & \\ \cmidrule{2-6}
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& \tiny 1\textsuperscript{a} iteración: & \cancel{$2x^2y\edos$} & \cancel{$-6x^2y\etres\phantom{)}$} & +$x^2\euno$ & $-4xy\etres\phantom{)}$ & & & \\
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& & \tiny $\uparrow$ 1\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 2\textsuperscript{a} iteración & $-(x^2\euno$ & & $+2y\etres)$ & & \\ \cmidrule{5-7}
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& & & & \tiny 3\textsuperscript{a} iteración: & \cancel{$-4xy\etres\phantom{)}$} & \cancel{$-2y\etres$} & & \\
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& & & & & \tiny $\uparrow$ 3\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 4\textsuperscript{a} iteración & & \\
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\end{block}
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\end{blockarray}
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\vspace{-0.4cm}
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\end{center}
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\begin{description}[wide, leftmargin=0pt,itemindent=6pt]
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\item[1\textsuperscript{a} iteración:] reducimos $D$ dos veces, lo cual se corresponde con dos ejecuciones del bucle interno o las dos primeras restas que aparecen arriba. Después, eliminamos el término líder de $D$, $2x^2y\edos$, ya que no es divisible por $\LM{x^2\euno + 2y\etres} = x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos$.
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\item[2\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-6x^2y\etres$, sigue sin ser divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos este de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres$.
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\item[3\textsuperscript{a} iteración:] reducimos una vez. Después, eliminamos el término líder de $D$, $-4xy\etres$, ya que no es divisible por $x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = -2y\etres$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres$.
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\item[4\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-2y\etres$, el último que queda, no es divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos el término líder de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = 0$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres - 2y\etres$. Al ser ya $D = 0$, el algoritmo para y nos queda
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\begin{equation*}
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f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g + 2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres
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\end{equation*}
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donde ninguno de los términos en $r$ es divisible por \LT{g}.
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\end{description}
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\end{ejemplo}
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A partir de este algoritmo, podemos generalizar más para afrontar un número finito de divisores. La clave para esta generalización será buscar entre estos divisores a alguno que pudiera reducir $D$ y, caso de encontrarlo, reducir por ese. Puede que haya casos donde haya más de un divisor que pueda reducir, en cuyo caso se puede escoger el que se prefiera.
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\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Compuesta}
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Sean $f$ un elemento y $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$. Definimos el \emph{algoritmo de división compuesta} de $f$ entre $N$ como sigue:
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\begin{algorithmic}[1]
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\State Definimos $D \gets f$, $d_i \gets g_i$, $c_i \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, los divisores, los cocientes y el resto, respectivamente.
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\Repeat
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\While{haya algún $i$ de forma que $\LM{d_i} \vert \LM{D}$}
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\State Sea $i$ de forma que $\LM{d_i} \vert \LM{D}$.
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\State Sea $m \in \Kx$ de forma que $\LM{D} = m\LM{d_i}$.
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\State $D \gets D - m d_i$, $c_i \gets c_i + m$
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\EndWhile
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||
\State $D \gets D - \LM{D}$, $r \gets r + \LM{D}$
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\Until{$D = 0$}
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\end{algorithmic}
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\end{definicion}
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Un ejemplo como el de \eqref{Ejemplo División Compuesta} muestra cómo funciona este algoritmo. Ahora, haría falta generalizar todavía más para ser capaces también de dividir por un número infinito de divisores, pero los siguientes resultado nos permitirán ver que esto no es necesario. El primero de estos, el Teorema de la base de Hilbert, nos garantiza el buen comportamiento de los anillos de polinomios en el sentido de ser noetherianos, lo cual jugará un papel fundamental en el funcionamiento de las bases de \Groebner.
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\begin{teorema}[de la base de Hilbert]
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Sea $A$ un anillo noetheriano. Entonces el anillo de polinomios \anillodepolinomios{A}{x_1, \dots, x_n} es también noetheriano.
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\end{teorema}
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\begin{proposicion} \label{Proposición Kx^r noetheriano}%Proposición 2.1.29 de Singular.
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Sea $A$ un anillo noetheriano y $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Entonces, $M$ es un \modulo{A} noetheriano.
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\end{proposicion}
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Como $K$ es un cuerpo, todos sus ideales son principales, así que es noetheriano. Por el teorema de la base de Hilbert, \Kx{} es noetheriano también. Y por último, por la Proposición~\ref{Proposición Kx^r noetheriano}, $\Kx^r$ es igualmente noetheriano. Esto nos asegura que es suficiente con tener un algoritmo de la división para un número finito de divisores.
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Con respecto a los problemas que se presentaban al principio, ya hemos resuelto varios: tenemos un orden para los monomios que nos permite tener un convenio de cuáles son los términos principales de los polinomios, hemos integrado las distintas componentes de un vector de $\Kx^r$ al concepto de monomio y sabemos cómo dividir por ellas, y también sabemos cómo afrontar la división con más de un divisor. Sin embargo, todavía podemos encontrarnos con casos como el siguiente.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Fallo División}
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Supongamos que $N := \engendrado{x\euno + y\edos, y\euno + x\edos}$ es un \submodulo{\anillodepolinomios{\racionales}{x,y}} de $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^2$ y queremos saber si $f := x^2\edos - y^2\edos$ pertenece a $N$. Al aplicar el algoritmo de la división siguiendo el orden \mayorqueposlex{} de \ref{Algoritmo de la División Compuesta} nos encontramos que ninguno de los dos generadores de $N$ puede reducir a $f$, por lo tanto el resto es el propio $f$. Como el resto es distinto de $0$, estaríamos tentados a decir que $f$ no pertenece a $N$, pero démonos cuenta de que $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$ y, por ende, sí que pertenece.
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\end{ejemplo}
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Para entender bien lo que ocurre en este ejemplo, necesitamos el siguiente objeto.
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\begin{definicion}
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Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El\emph{ \submodulo{\Kx} de los monomios líderes} de $G$ lo denotaremos por $\LM{N} := \engendrado{\LM{g} \vert g \in N}$.
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\end{definicion}
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¿Qué es lo que ocurre en el Ejemplo~\ref{Ejemplo Fallo División}? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$.
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Esto supone un duro golpe para nuestros algoritmos de la división, ya que cuando para un \submodulo{\Kx} $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ tengamos que $\LM{N} \neq \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}$, aunque el resto sea distinto de $0$, no podremos garantizar que el elemento esté fuera de $N$. Por supuesto, si el resto es $0$ sí que podemos garantizar que sí está. Para solucionar este problema, necesitamos encontrar una representación de los submódulos que sí sea compatible con el algoritmo de la división. Es decir, que cuando dividamos por los generadores y el resto sea distinto de $0$, podamos decir que el elemento no pertenece.
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\section{Bases de Gröbner}
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Para conseguir esta mejor representación, simplemente exigimos la condición que discutíamos en la sección anterior.
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\begin{definicion}
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Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$ y $G$ un subconjunto de $N$. Este subconjunto $G$ es una \emph{base de Gröbner} de $N$ si $N = \engendrado{G}$ y $\engendrado{\LM{G}} = \LM{\engendrado{G}}$.
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\end{definicion}
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Para verificar si esta clase de conjuntos generadores soluciona de una vez por todas estos problemas, necesitamos unos resultados intermedios.
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\begin{lema}[de Dickson]
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Sea \nolbreaks{$N \subseteq \naturales^n$} e $I := \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \ \vert \ \mathbf{\alpha} \in N}$ un ideal monomial. Entonces existen $\mathbf{\alpha}_1, \dots, \mathbf{\alpha}_k$ en $N$ de forma que \nolbreaks{$I = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}}$}.
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\end{lema}
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Aunque el lema de Dickson habla de ideales monomiales dentro del anillo de polinomios \Kx, extenderlo a submódulos es inmediato. Si pensamos en un \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$ generado por monomios, es decir $N := \engendrado{x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i_\mathbf{\alpha}} \vert \mathbf{\alpha} \in J}$ donde $J \subset \naturales^n$, podemos expresarlo como
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\begin{align*}
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N &= \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = 1}\euno + \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = 2}\edos + \dots + \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = r}\vectorbasecanonica{r}; \\
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\intertext{por el lema anterior, cada uno de estos <<coeficientes>> que acompañan a los vectores \vectorbasecanonica{i} es un ideal monomial finitamente generado;}
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&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}}\euno + \engendrado{x^{\mathbf{\beta}_1}, x^{\mathbf{\beta}_2}, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}}\edos + \dots + \engendrado{x^{\mathbf{\gamma}_1}, x^{\mathbf{\gamma}_2}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}}\vectorbasecanonica{r} \\
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||
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\euno, x^{\mathbf{\alpha}_2}\euno, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}\euno, x^{\mathbf{\beta}_1}\edos, x^{\mathbf{\beta}_2}\edos, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}\edos, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_1}\vectorbasecanonica{r}, x^{\mathbf{\gamma}_2}\vectorbasecanonica{r}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}\vectorbasecanonica{r}}.
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\end{align*}
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Este resultado nos permite ver una condición más fuerte sobre los \submodulo{\Kx}s monomiales de $\Kx^r$: no solo son finitamente generados, como ya sabíamos gracias a la Proposición~\ref{Proposición Kx^r noetheriano}, sino que además admiten conjuntos generadores finitos formados por algunos monomios del conjunto generador original.
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\begin{lema}
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Sea $N$ un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$ de forma que $N = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\vectorbasecanonica{i_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}\vectorbasecanonica{i_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}\vectorbasecanonica{i_k}}$. Un monomio $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$ pertenece a $N$ si y solo si es un múltiplo de alguno de los monomios generadores. En otras palabras, existe $j \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ de forma que $x^{\mathbf{\alpha}_j}\vectorbasecanonica{i_j} \vert x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$.
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\end{lema}
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Este pequeño resultado nos da una forma bastante rápida de determinar si un monomio pertenece o no a un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$. Démonos cuenta de que esto es justo lo que hacemos cuando intentamos reducir el término líder de $f$ en el algoritmo de la división de la Definición~\ref{Algoritmo de la División Compuesta}. Con todo esto, ya damos la respuesta final a la pregunta que abre el capítulo.
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\begin{teorema} \label{Teorema Buen Funcionamiento División Groebner}
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Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ y sea $G = \left\lbrace g_1, g_2, \dots, g_k \right\rbrace$ una base de Gröbner de $N$. Un elemento $f$ de $\Kx^r$ pertenece a $N$ si y solo si el resto de $f$ dividido por $G$ según el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Compuesta} es $0$.
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\end{teorema}
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\vspace{-0.3cm}
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\begin{proof}
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Como ya mencionamos antes, si el resto es $0$ sabemos que $f \in N$. Asumamos ahora que el resto no es $0$. Eso quiere decir que en alguna iteración nos hemos encontrado con que $\LM{D}$ no es divisible por ninguno de los $\LM{g_i}$. En todo momento, $D$ es de la forma $f - g$ donde $g$ es una combinación lineal de los elementos de $G$ ---los cocientes por los divisores---. Por lo tanto, si $\LM{D}$ no pertenece a \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}, como $G$ es una base de Gröbner, tampoco pertenecerá a $\LM{N}$ y, por lo tanto, $f-g = D \notin N$ lo cual, como $g$ sí que pertenece a $N$, es equivalente a decir que $f \notin N$.
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\end{proof}
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Con todo esto, ya tenemos una solución al problema de la pertenencia de un elemento a un submódulo: obtener la base de Gröbner del submódulo y dividir por ella para ver si el resto es nulo o no. Sin embargo, no tenemos garantías de que existan bases de Gröbner para todos los submódulos y, en caso de que sí las haya, tampoco sabemos cómo calcularlas.
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Recordemos el problema que nos habíamos encontrado en el Ejemplo~\ref{Ejemplo Fallo División}. En este ejemplo, había monomios líderes ocultos en los términos de los generadores. Para desenmascararlos, lo que haremos será lo que vimos en ese ejemplo: anular los términos libres para forzar a que estos aparezcan. Para eso, dados $f = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $g = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{j}$ elementos de $\Kx^r$ y $a$ y $b$ elementos de \Kx{} de forma que $a\LM{f} = b\LM{g} = \mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right)$\footnote{Aquí podría haber un pequeño malentendido con la noción de mínimo común múltiplo: por ejemplo, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de $xy^2$ y $x^2y$ en \anillodepolinomios{\racionales}{x, y}? Lo natural sería decir $x^2y^2$, que es nuestra convención, pero también sería válido decir $3x^2y^2$ ya que ambos tienen el mismo orden monomial. Por simplicidad, siempre nos referiremos a aquel que no está multiplicado por constante.}, definimos la siguiente expresión:
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\begin{equation*}
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\spoly{f}{g} = \begin{cases}
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\frac{a}{\LC{f}}f - \frac{b}{\LC{g}}g &\text{si $i = j$;} \\
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0 &\text{si $i \neq j$.}
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\end{cases}
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\vspace{-0.3cm}
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\end{equation*}
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\begin{ejemplo}
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Sean $f = 3x^2y\euno + 2x\edos$ y $g = 13x\euno + y^5\edos$ elementos de $\anillodepolinomios{\racionales}{x, y}^2$ con el orden \mayorquelexpos. Como $\LM{f} = x^2y\euno$ y $\LM{g} = x\euno$ están en la misma componente ---\euno---, y $\mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right) = x^2y = \LM{f} = xy\LM{g}$, tenemos que
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\begin{equation*}
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\spoly{f}{g} = \frac{1}{3}\left( 3x^2y\euno + 2x\edos \right) + \frac{xy}{13} \left( 13x\euno + y^5\edos \right) = \frac{2}{3}x\edos + \frac{1}{13}xy^6\edos.
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\end{equation*}
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Nótese que esto desvela a $x\edos$ como un monomio líder en $\LM{\engendrado{f, g}}$.
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\end{ejemplo}
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En esencia, lo que buscaremos hacer es evaluar las parejas de polinomios en el conjunto generador a través de esta expresión, si nos descubren un monomio líder nuevo, lo incorporamos a la base y, si no, seguimos.
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\begin{definicion}
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Sea $G := \left\lbrace g_1, \dots, g_k \right\rbrace$ y $N := \engendrado{G}$. El algoritmo que utilizaremos para obtener una base de Gröbner para $N$, llamado el \emph{Algoritmo de Buchberger}, se define como sigue:
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\begin{algorithmic}[1]
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\State Definimos $d_i \gets g_i$ para $i \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ y $t \gets k$.
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\While{hayan $i$ y $j$ en $\left\lbrace 1, \dots, t \right\rbrace$ de forma que el resto de $\spoly{g_i}{g_i}$ entre $d_1, \dots, d_t$ no sea $0$}
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||
\State Sean $i$ y $j$ una de esas posibles parejas.
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||
\State Sea $r$ el resto de dividir \spoly{g_i}{g_j} entre $d_1, \dots, d_t$.
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||
\State $d_{t+1} \gets r$
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||
\State $t \gets t+1$
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||
\EndWhile
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\end{algorithmic}
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||
Al final del algoritmo, $\left\lbrace d_1, \dots, d_t \right\rbrace$ es una base de Gröbner de $N$.
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\end{definicion}
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||
El funcionamiento de este algoritmo se sustenta en dos pilares. El primero es que, como cada vez que añadimos un nuevo elemento este es un resto cuyo término líder por definición no es múltiplo de ningún \LM{d_i}, tenemos que los \submodulo{\Kx} \engendrado{\LM{d_1}, \dots, \LM{d_t}} forman una cadena ascendente la cual, por ser $\Kx^r$ noetheriano, debe finalizar en algún momento. Por esto mismo, el algoritmo termina. El segundo es el Teorema~\ref{Criterio de Buchberger} (véase \cite[Teorema 1.7.3 y 2.5.9]{SINGULARLIBRO} para la demostración), que nos garantiza que cuando este algoritmo pare, el conjunto que tendremos será una base de \Groebner.
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\begin{teorema}[criterio de Buchberger] \label{Criterio de Buchberger}
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Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$, este último equipado con un orden monomial de módulos $>$. $G$ es una base de Gröbner de \engendrado{G} si y solo si para toda pareja de elementos $f$ y $g$ en $G$ se tiene que el resto de $\spoly{f}{g} = 0$ entre $G$ es $0$.
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\end{teorema}
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\section{Sicigias}
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En la sección anterior hemos solucionado el problema de pertenencia a un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$, pero necesitamos conocer los generadores de este submódulo. Por lo tanto, hasta el momento solo hemos resuelto la mitad del problema ya que para $\derivaciones{f}$ todavía no sabemos calcular todavía un conjunto de generadores. Para poder hacer esto, introducimos el concepto de sicigia, una noción que extiende el concepto de solución de un sistema lineal en el caso de un espacio vectorial.
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\begin{definicion}
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Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Una sicigia de los elementos $f_1, f_2, \dots, f_k$ es una \nolbreaks{$k$-tupla} $\left( g_1, g_2, \dots, g_k \right)$ de $A^k$ de forma que $f_1g_1 + f_2g_2 + \dots + f_kg_k = 0$.
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\end{definicion}
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||
Nótese que el conjunto de sicigias de $f_1, f_2, \dots, f_k$ forma un \submodulo{A} de $A^k$ puesto que es el kernel del homomorfismo de \modulo{A}s
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\vspace{-0.5cm}\begin{equation} \label{Definición Funcón Sicigias}
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\begin{tikzcd}[row sep=0pt,/tikz/column 1/.append style={anchor=base east},/tikz/column 2/.append style={anchor=base west}]
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A^k\rar["\sigma"]&M\\
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||
a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2f_2 + \dots + a_kf_k
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\end{tikzcd}
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\vspace{-0.3cm}
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\end{equation}
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Con la definición, ya podemos dar por respondida la primera pregunta que nos hacíamos en la introducción: ¿qué es \derivaciones{f}?
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\begin{definicion}
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Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Denotaremos por $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$ \emph{al \submodulo{A} de $A^k$ formado por todas las sicigias de} $f_1, f_2, \dots, f_k$.
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\end{definicion}
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||
Vemos que \derivaciones{f}, tal y como está definido en \eqref{Definicion Modulo Derivaciones de f} puede expresarse prácticamente como un módulo de sicigias:
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\begin{align*}
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\derivaciones{f} &= \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_1\partial_1f + a_2\partial_2f + \dots + a_n\partial_nf - pf = 0, p \in \Kx}; \\
|
||
&\simeq \definicionconjunto{\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) \in \Kx^n}{\left( a_1, a_2, \dots, a_n, p \right) \in \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f}, p \in \Kx}.
|
||
\end{align*}
|
||
Por lo tanto, para calcular \derivaciones{f} obtendremos primero \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f} y nos olvidaremos de la última componente. Ahora nuestro objetivo será calcular sicigias, para lo cual necesitaremos dos resultados. El primero nos permite restringir una base de Gröbner a solamente unas coordenadas.
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\begin{lema} \label{Lema Restricción Groebner}
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||
Sea $>$ un orden monomial de módulos que satisface
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\begin{equation} \label{Condición Orden Eliminación}
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x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} > x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \Leftrightarrow \begin{cases}
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i < j& \text{o} \\
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i = j& \text{y} \ x^\mathbf{\alpha} >' x^\mathbf{\beta}
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\end{cases} \quad \text{donde $>'$ es un orden monomial.}
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\end{equation}
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Es decir, un orden que mira primero la posición en el orden usual. Sea $M$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$ y $G$ una base de \Groebner{} de este con respecto al orden $>$. Entonces, para el módulo restringido a las componentes a partir de la \nolbreaks{$s$-ésima}, es decir,
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\vspace{-0.4cm}\begin{equation*}
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M_{s} := \Big\lbrace\left.\vectorhorizontalcuatro{m_s}{m_{s+1}}{\dots}{m_n} \right\rvert (\overbrace{0, 0, \dots, 0}^{s-1}, m_s, m_{s+1}, \dots, m_n) \in M \Big\rbrace,
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\end{equation*}
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el conjunto $G_s$ es una base de \Groebner{} con respecto al orden $>$.
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\end{lema}
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\vspace{-0.3cm}
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\begin{proof}
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Tomemos un $f_s = \vectorhorizontalcuatro{f_s}{f_{s+1}}{\dots}{f_n}$ en $M_s$. Por definición, este tiene un elemento asociado en $M$, $f = \left( 0, 0, \dots, 0, f_s, f_{s+1}, \dots, f_m \right)$. Al ser $G$ una base de \Groebner{} de $M$, tendremos que habrá algún $g \in G$ de forma que $\LM{g} \vert \LM{f}$. Ahora bien, por la condición que satisface el orden, sabemos que todos los términos de $g$ deben encontrarse en la \nolbreaks{$s$-ésima} componente o por debajo, lo cual nos garantiza que $g = \left( 0, 0, \dots, 0, g_s, g_{s+1}, \dots, g_n \right)$. Gracias a esto, sabemos que también se cumplirá que $\LM{g_s} \vert \LM{f_s}$ y, como $G_s \subseteq M_s$, esto es equivalente a que $\LM{M_s} = \engendrado{\LM{G}}$ lo cual nos garantiza que $G_s$ es base de \Groebner{} con respecto a este orden.
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\end{proof}
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Démonos cuenta de que esto nos permite calcular bases de \Groebner{} a $M_s$ con respecto a cualquier orden: escogemos un orden que satisfaga la condición que impone el Lema~\ref{Lema Restricción Groebner} con el cual $G_s$. Pero démonos cuenta de que $G_s$ es un conjunto generador de $M_s$ independientemente del orden escogido, así que cambiamos el orden y calculamos la base de \Groebner{} a partir de $G_s$ con respecto a este nuevo orden.
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\begin{teorema} \label{Teorema Calculo Sicigias}
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Sean $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $\Kx^r$ y sean $f_1^+, f_2^+, \dots, f_k^+$ los correspondientes elementos en $\Kx^{r+k}$ pero en este caso por el principio, es decir, si $f_i = \vectorhorizontalcuatro{a_1}{a_2}{\dots}{a_r}$ entonces
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\begin{equation*}
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f_i^+ = (a_1, a_2, \dots, a_r, 0, 0, \dots, 0) \in \Kx^{r+k}.
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\end{equation*}
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Entonces, si $G$ es una base de \Groebner{} de $M := \engendrado{f_1^+ + \vectorbasecanonica{r + 1}, f_2^+ + \vectorbasecanonica{r + 2}, \dots, f_k^+ + \vectorbasecanonica{r + k}}$ con respecto a un orden $>$ que satisfaga la condición \eqref{Condición Orden Eliminación}, se tiene que ---siguiendo la notación introducida en el Lema~\ref{Lema Restricción Groebner}---
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\begin{equation*}
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\syz{f_1, f_2, \dots, f_k} = \engendrado{G_{r+1}}.
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\end{equation*}
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En particular, $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} con respecto al orden $>$.
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\end{teorema}
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\vspace{-0.3cm}
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\begin{proof}
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Por el lema anterior sabemos que $G_{r+1}$ es una base de \Groebner{} de $M_{r+1}$. Queda pues comprobar que $M_{r+1} = \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. Supongamos\footnote{Para que el lector sepa en todo momento cuándo un elemento está en $\Kx^{r+k}$ o $\Kx^{k}$, utilizamos el subíndice en el elemento dándole consistencia con la notación utilizada en el lema anterior. Pero este no debe ser interpretado de forma distinta que si pusiéramos $m'$ o $\overline{m}$; es decir, el subíndice sobre un elemento no debe verse como el resultado de una <<proyección>>.} que $m_{r+1} = \left(\mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M_{r+1}$, entonces existe un elemento asociado $m = \left( 0, 0, \dots, 0, \mu_{r+1}, \mu_{r+2}, \dots, \mu_{r+k}\right) \in M$. Podemos expresar $m$ de dos formas, una en términos de los vectores de la base canónica y otra en términos de los $f_i^+ + \vectorbasecanonica{r + i}$ que generan $M$:
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\begin{align*}
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\mu_{r+1}\vectorbasecanonica{r+1} + \mu_{r+2}\vectorbasecanonica{r+2} + \dots + \mu_{r+k}\vectorbasecanonica{r+k} &= b_1\left( f_1^+ + \vectorbasecanonica{r+1} \right) + b_2\left( f_2^+ + \vectorbasecanonica{r+2} \right) + \dots + b_k\left( f_k^+ + \vectorbasecanonica{r+k} \right), \quad b_j \in \Kx; \\
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&= \left( b_1f_1^+ + b_2f_2^+ + \dots + b_kf_k^+ \right) \ + \ \left( b_{1}\vectorbasecanonica{r+1} + b_{2}\vectorbasecanonica{r+2} + \dots + b_{k}\vectorbasecanonica{r+k} \right).
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\end{align*}
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Como todas las componentes de $f_i^+$ desde la \nolbreaks{$r+1$-ésima} ---incluida--- son $0$, podemos extraer dos conclusiones. La primera es que $b_i = \mu_i$ ya que son los únicos coeficientes que acompañan a las últimas componentes; y la segunda es que
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\begin{equation*}
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\mu_1f_1 + \mu_2f_2 + \dots + \mu_kf_k = b_1f_1 + b_2f_2 + \dots + b_kf_k = 0.
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\end{equation*}
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Por ende, $m_{r+1} \in \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$. En el otro sentido, si tenemos que $m_{r+1} := \left( \mu_1, \mu_2, \dots, \mu_k \right)$ pertenece a $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$, entonces existe
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\begin{equation*}
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m := \mu_{r+1}\left( f_1^+ + \vectorbasecanonica{r+1} \right) + \mu_{r+2}\left( f_2^+ + \vectorbasecanonica{r+2} \right) + \dots + \mu_{r+k}\left( f_k^+ + \vectorbasecanonica{r+k} \right) \in M
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\end{equation*}
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con sus primeras $r$ componentes nulas y las últimas $k$ coinciden con las de $m_{r+1}$. Por lo tanto, $m_{r+1} \in M_{r+1}$. Concluimos, pues, que $M_{r+1} = \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$.
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\end{proof}
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Por lo tanto, para calcular \syz{f_1, f_2, \dots, f_k}, primero calcularemos una base de \Groebner{} $G$ de $$\engendrado{f_1^+ + \vectorbasecanonica{r + 1}, f_2^+ + \vectorbasecanonica{r + 2}, \dots, f_k^+ + \vectorbasecanonica{r + k}}.$$ Por este último teorema, sabemos que $G_{k+1}$ es un conjunto generador de \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} y en particular una base de \Groebner{} con respecto al orden que hayamos escogido. Si deseamos una base de \Groebner{} con respecto a otro orden, como decíamos antes de este teorema, basta con aplicar el algoritmo de Buchberger sobre $G_{k+1}$.
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\chapter{El Criterio de Saito} \label{Capítulo del Criterio de Saito}
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En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así.
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo de No Tener Base}
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Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que
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\begin{equation*}
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p_1a_1 + p_2a_2 + \dots + p_ka_k = x \quad \text{y} \quad q_1a_1 + q_2a_2 + \dots + q_ka_k = y.
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\end{equation*}
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Esto nos permite llegar a la siguiente igualdad:
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\begin{equation*}
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yp_1a_1 + yp_2a_2 + \dots + yp_ka_k = xy = xq_1a_1 + xq_2a_2 + \dots + xq_ka_k.
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\end{equation*}
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Ahora bien, por ser $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$ una base, necesariamente tendremos que $yp_i = xq_i$ para todo $i$. Como $\mcd{x, y} = 1$, es necesario que $p_i = xp_i'$. Esto nos lleva a que
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\begin{align*}
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x\left( p_1'a_1 + p_2a_2' + \dots + p_k'a_k \right) &= x, \\
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\intertext{El anillo $\Kx$ es un dominio de integridad por lo que podemos simplificar,}
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p_1'a_1 + p_2a_2' + \dots + p_k'a_k &= 1.
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\end{align*}
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Esto último es una contradicción, ya que $1 \notin \engendrado{x, y}$.
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\end{ejemplo}
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El criterio de Saito nos da una forma bastante rápida de determinar si \derivaciones{f} es o no libre. Nos permitimos la licencia de denotar por $\delta_i$ tanto a la derivación como al vector de coeficientes asociado en $\Kx^n$.
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\begin{teorema}[Criterio de Saito] \label{Criterio de Saito}
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Sea $f$ un polinomio libre de cuadrados de \Kx{} y $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ derivaciones de \derivaciones{f}. Entonces, \derivaciones{f} es libre si y solo si $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ donde $u$ es una unidad de $\Kx$, es decir, un elemento de $K \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$.
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\end{teorema}
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En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en \cite{VALLES}. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración.
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% A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación:
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% \begin{gather*}
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% \text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
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% \text{$M$ módulo libre} \ \xLeftarrow[\substack{\text{Teorema de Quillen-Suslin} \\ \text{\cite{ALGEBRA} }}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \ \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo}
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% \end{gather*}
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% Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$. Más que solucionar nuestro problema, estos resultados nos sirven para ilustrar la gran dificultad que supone garantizar que un módulo reflexivo sea libre.
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\section{Comienzo de la demostración}
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Puede encontrarse en \cite[corolario 1.7]{SAITO} una demostración de que \derivaciones{f} es un módulo reflexivo de rango $n$. Siguiendo el esquema siguiente, tenemos que \derivaciones{f} es libre de torsión, pero necesitaríamos que tuviese rango $1$ para continuar hacia delante. Lo que haremos será estudiar el módulo $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ para reducir este rango y poder continuar.
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Esta cadena de implicaciones que recogemos aquí nos será muy útil a lo largo de esta demostración:
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\begin{gather} \label{Esquema Demostración}
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\left.\begin{aligned}
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\left.\begin{aligned}
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\text{$M$ módulo reflexivo} \implies \text{$M$ libre de torsión}& \\
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\text{$M$ de rango 1}&
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\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un ideal de $\Kx$}& \\
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\text{$M$ es reflexivo}
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\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un módulo libre}
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\end{gather}
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El Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior Módulos} nos garantiza que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} reflexivo de rango $1$. Siguiendo el esquema en \ref{Esquema Demostración}, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es también libre de torsión y, por lo tanto, $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es isomorfo a un ideal de \Kx. Por último, aplicando la última de las implicaciones, tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \modulo{\Kx} libre y además de rango $1$. Sumado a esto tenemos que $\bigwedge^n \derivaciones{f}$ es un \submodulo{\Kx} de $\bigwedge^n \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$, por lo tanto, $\derivaciones{f} = \engendrado{p \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$ para algún $p$. Nótese que este $p$ está bien definido salvo por alguna unidad de \Kx, es decir, tanto nos daría poner $p$ que $kp$ siempre y cuando exista $k^{-1} \in \Kx$.
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Ahora bien, recordemos la sucesión exacta \eqref{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}. Podemos aplicar productos exteriores a los elementos, pero esto hace que la sucesión pueda dejar de ser exacta. Sin embargo, habrá un homomorfismo
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\vspace{-0.2cm}\begin{equation*}
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\textstyle \bigwedge^n \derivaciones{f} \xrightarrow{\bigwedge^n \Phi} \bigwedge^n \derivaciones{\Kx}.
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\vspace{-0.15cm}\end{equation*}
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Recordemos lo que ocurría en \ref{Aparición Determinante Función Exterior}. De forma similar, aquí tendremos que $\bigwedge^n \Phi$ se corresponde con multiplicar por el escalar $p$ ---o $up$ donde $u$ es una unidad de \Kx---. Sin embargo, el hecho de que no tengamos base de \derivaciones{f} impide que se pueda ver $\Phi$ como una matriz. Aun así, nos permitimos el abuso de notación de llamar $\det\Phi := p$, pero no es más que una convención, no se trata de un determinante de una matriz como ocurre en el caso de las aplicaciones entre espacios vectoriales. Tenemos pues que $\bigwedge^n\derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}$.
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\section{\derivaciones{f} libre implica $\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$}
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Ahora, por un lado, definamos $N := \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n}$ como un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{f} donde los $\delta_i$ forman una base de \derivaciones{f} y consideremos la inclusión $N \xrightarrow{\iota} \derivaciones{f}$. Para aclararnos algo más, escribimos el siguiente esquema de los homomorfismos ---¡ojo!, esto no es una sucesión exacta---:
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\begin{equation}\label{Secuencia Demostración Saito}
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N = \engendrado{\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n} \xrightarrow{\phantom{s}\iota\phantom{s}} \derivaciones{f} \xrightarrow{\Phi\phantom{s}} \derivaciones{\Kx}.
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\end{equation}
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Como los $\delta_i \in \derivaciones{\Kx} = \engendrado{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}$, tenemos que existe alguna matriz $A \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx \right)$ de forma que
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\begin{equation} \label{Relación Matricial Derivadas}
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\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n} = \vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} A
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\end{equation}
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Por lo tanto, podemos pensar en que la aplicación $\Phi \circ \iota$ envía a cada $\delta_i$ a $\vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} A_i$ donde $A_i$ es la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $A$. Es decir, que las columnas de $A$ se entienden como las coordenadas de los $\delta_i$ en función de la base \conjunto{\partial_1, \partial_2, \dots, \partial_n}\footnote{Es decir, que $\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A$.}. Pensemos ahora en la aplicación
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}[row sep=0pt]
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N \arrow[r, "\bigwedge^n \left( \Phi \circ \iota \right)"] & \derivaciones{\Kx} \\
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\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n \arrow[r, mapsto] & \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n \det A
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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Vemos\footnote{De nuevo, recordemos que $\det\Phi$ no es el determinante de una matriz, sino una convención que hemos explicado antes. Por otro lado, $\det\left( \Phi \circ \iota \right)$ sí que es el determinante de una matriz ya que tanto $N$ como \derivaciones{\Kx} son módulos libres.} por ella que $\det\left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = \det A$. Como $\iota$ es un monomorfismo, puede representarse como una matriz que tiene inversa en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$ y por la regla de Cramer\footnote{Por si no la recordamos, esta dice que toda matriz $C$ inversible cumple que $C^{-1} = \frac{1}{\det C} \mathrm{adj}\!\left( C \right)$, con $\mathrm{adj}\!\left( C \right)$ la matriz de adjuntos.} para la matriz inversa, $\det i$ debe ser unidad de \Kx.
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Nos dedicaremos ahora a obtener el valor del determinante. Por un lado, fijamos $f\partial_i \in \derivaciones{f}$; y por otro, definimos $\dertheta{i}{j} := \diffp{f}{x_i}\partial_j - \diffp{f}{x_j}\partial_i \in \derivaciones{f}$. Así,
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\begin{equation*}
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\textstyle \dertheta{i}{1} \wedge \dertheta{i}{2} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{i-1} \wedge f\partial_i \wedge \dertheta{i}{i+1} \wedge \dots \wedge \dertheta{i}{n-1} \wedge \dertheta{i}{n} \in \bigwedge^n \derivaciones{f}.
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\end{equation*}
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Pero, simplificando todos los productos exteriores nulos nos queda
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\begin{equation*}
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\textstyle f\left( \diffp{f}{x_i} \right)^{n-1} \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n \in \bigwedge^n \derivaciones{f} = \engendrado{\det\Phi \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n}.
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\end{equation*}
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Esto quiere decir que $\det\Phi \vert f\left( \diffp{f}{x_i} \right)^{n-1}$ para todo $i$. Esto también ocurre con su máximo común divisor:
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\begin{equation*}
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\textstyle \det\Phi \left\lvert f\mcd{f^{n-1}, \left( \diffp{f}{x_1} \right)^{n-1}, \left(\diffp{f}{x_2} \right)^{n-1}, \dots, \left( \diffp{f}{x_n} \right)^{n-1}}\right..
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\end{equation*}
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No nos olvidemos de que gracias al Lema~\ref{Lema MCD Parciales} sabemos que ese máximo común divisor es $1$. Por esta razón, $\det\Phi$ debe dividir a $f$.
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En el caso de que $f$ ya sea irreducible, $\det\Phi$ solo puede ser $1$ o $f$. Supongamos que es $1$, entonces como hemos dicho algo más arriba, $\det A = 1 \cdot \det\iota$, que es una unidad de \Kx. Nuevamente por la regla de Cramer, tendremos que $A^{-1}$ es una matriz con elementos en \Kx. Pero esto implicaría que la expresión \ref{Relación Matricial Derivadas} es bidireccional y que podemos expresar
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\begin{equation*}
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\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}A^{-1} = \vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n}.
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\end{equation*}
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Esto es lo mismo que decir $\derivaciones{f} = \derivaciones{\Kx}$, algo que en general no es cierto salvo que $f$ sea una constante. Descartamos tal situación por ser muy aislada.
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Necesitamos un pequeño resultado para poder trabajar el caso en el que $f$ no es irreducible.
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\begin{lema}
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Sea $f$ un polinomio libre de cuadrados de \Kx{} que puede ser descompuesto en factores irreducibles como $f = f_1f_2\cdots f_r$. Entonces, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
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\end{lema}
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\vspace{-0.3cm}
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\begin{proof}
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Sea $\delta \in \derivaciones{f}$ y llamemos $f_{-i} := f_1 f_2 \cdots f_{i-1} f_{i+1} \cdots f_{r-1} f_r$. Por la regla del producto tenemos que
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\vspace{-0.4cm}\begin{align*}
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\delta\!\left( f \right) &= \delta\!\left( f_1 f_2 \cdots f_r \right) \\
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pf_1 f_2 \cdots f_r &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} + f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) \\
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pf_1 f_2 \cdots f_r - f_i \delta\!\left( f_{-i} \right) &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i} \\
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\left( pf_{-i} - \delta\!\left( f_{-i} \right)\right)f_i &= \delta\!\left( f_i \right) f_{-i}.
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\end{align*}
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Como además $\mcd{f_i, f_{-i}} = 1$ por ser $f$ libre de cuadrados, podemos decir que $\delta\!\left( f_i \right) \vert f_i$. Este argumento nos garantiza que $\derivaciones{f} \subseteq \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
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En el otro sentido, supongamos que $\delta \in \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$. Está claro que $f_1 \vert \delta\!\left( f_1 \right)$. Ahora asumamos que $f_1f_2\cdots f_k \vert \delta\!\left( f_1f_2\cdots f_k \right)$ para algún $k \in \conjunto{1, 2, \dots, r-1}$, cambiemos sutilmente la expresión $f_{-i}$ a $f_1 f_2 \cdots f_{i-1} f_{i+1} \cdots f_{k} f_{k+1}$ y veamos que
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\begin{align*}
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\delta\!\left( f_1f_2\cdots f_{k+1} \right) &= \delta\!\left( f_{k+1} \right) f_{-\left( k+1 \right)} + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right) \\
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&= pf_{k+1}f_{-\left( k+1 \right)} + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right), \quad \text{donde $p \in \Kx$,} \\
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&= pf + f_{k+1}\delta\!\left( f_{-\left( k+1 \right)} \right) \\
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&\overset{*}{=} pf + f_{k+1}qf_{-\left( k+1 \right)} \\
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&= \left( p + q \right)f.
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\end{align*}
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Por lo tanto, concluimos $\bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i} \subseteq \derivaciones{f}$ y, por ende, $\derivaciones{f} = \bigcap_{i = 1}^r \derivaciones{f_i}$.
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\end{proof}
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A partir de este lema podemos decir que $\bigwedge^n \derivaciones{f} \subseteq \bigwedge^n \derivaciones{f_i}$, lo cual nos lleva a que $\engendrado{\det\Phi} \subseteq \engendrado{f_i}$ como ideales de \Kx. Pero esto no es más que decir $f_i \vert \det\Phi$ para todo $i$, por lo tanto $f \vert \det\Phi$. Junto con el resultado anterior, tenemos que $\det\Phi = u'f$ donde $u'$ es una unidad de \Kx.
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Por todo esto,
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\begin{equation*}
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\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = \det A = \det \left( \Phi \circ \iota \right) = \det\Phi \det\iota = u'f \det\iota = uf, \quad \text{con $u$ una unidad de \Kx.}
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\end{equation*}
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\section{$\det\!\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ implica que \derivaciones{f} es libre}
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Ahora asumamos que existen $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ de forma que $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ con $u$ una unidad de \Kx{} y volvamos al esquema de \ref{Secuencia Demostración Saito}. A partir de este, sabemos que tenemos
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\begin{equation*}
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\begin{array}{rcccl}
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\bigwedge^n N & \longrightarrow & \bigwedge^n \derivaciones{f} & \subseteq & \bigwedge^n \derivaciones{\Kx} \\
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\engendrado{\delta_1 \wedge \dots \wedge \delta_n} & \longrightarrow & \engendrado{f \partial_1 \wedge \dots \wedge \partial_n} & \subseteq & \engendrado{\partial_1 \wedge \dots \wedge \partial_n}
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\end{array}
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\end{equation*}
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Ahora bien, recordemos que
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\begin{equation*}
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\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n = \det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n = uf \partial_1 \wedge \partial_2 \wedge \dots \wedge \partial_n.
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\end{equation*}
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Al ser $u$ simplemente una unidad, hemos llegado a que $\bigwedge^n N = \bigwedge^n \derivaciones{f}$. Lo que buscamos ahora es quitar ese producto exterior. Ya sabemos que $ N \subseteq \derivaciones{f}$, por lo que solo nos hace falta ver la otra implicación. Sea $\delta \in \derivaciones{f}$, que por ser \derivaciones{f} un subconjunto de \derivaciones{\Kx}, lo podemos escribir como
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\begin{equation*}
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\delta = p_1\partial_1 + p_2\partial_2 + \dots + p_n\partial_n.
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\end{equation*} Fijémonos ahora en la relación \ref{Relación Matricial Derivadas}. Recordando la regla de Cramer, sabemos que
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\begin{equation*}
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A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{uf}\mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{f}B
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\end{equation*} donde $\mathrm{adj}\!\left( A \right)$ es la matriz adjunta de $A$. La matriz $A^{-1}$ está en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \cuerpofracciones{\Kx} \right)$ pero los adjuntos de la matriz $A$ están en \Kx, por lo que podemos expresar $A^{-1}$ como vemos al final de la igualdad con $B \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$. Como
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\begin{equation*}
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\vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} = \vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}A^{-1} = \frac{1}{f}\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}B,
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\end{equation*}
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reescribimos $\delta$ como
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\begin{align*}
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\delta &= \frac{b_1}{f}\delta_1 + \frac{b_2}{f}\delta_2 + \dots + \frac{b_n}{f}\delta_n, \quad \text{donde $b_i \in \Kx$, o también} \\
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&= \overline{b}_1\delta_1 + \overline{b}_2\delta_2 + \dots + \overline{b}_n\delta_n, \quad \text{donde $\overline{b}_i \in \cuerpofracciones{\Kx}$.}
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\end{align*}
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En este último paso vamos garantizar que estos $\overline{b}_i$ están\footnote{Más bien, se pueden ver como elementos de \Kx. Como por ejemplo $\frac{f^2}{f} \in \cuerpofracciones{\Kx}$, que realmente puede verse como $f$ en \Kx.} en \Kx. Para ello, acordémonos de que $\delta \in \derivaciones{f}$ y $\bigwedge^n \derivaciones{f} = \bigwedge^n N$, por lo que si en $\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n$ sustituimos $\delta_i$ por $\delta$ nos queda
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\begin{equation*}
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\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_{i-1} \wedge \delta \wedge \delta_{i+1} \wedge \dots \wedge \delta_{n-1} \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N.
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\end{equation*}
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Percatémonos de que esta expresión, una vez eliminamos todos los productos exteriores nulos, queda como $\overline{b}_i \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge \dots \wedge \delta_n \in \bigwedge^n N$, lo cual es solo posible si $\overline{b}_i \in \Kx$. Con esto concluimos que $\delta \in N$ y, por tanto, que $N = \derivaciones{f}$.
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\appendix
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\chapter{Un ejemplo completo de cálculo}\label{Apéndice Cálculo}
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El algoritmo para calcular las sicigias que nos permite obtener \derivaciones{f}, en esencia el algoritmo de Buchberger, tienen un alto coste computacional que hace impracticable ejecutarlos <<a mano>>. En la práctica, se utilizan sistemas de Álgebra Computacional que ya vienen preparados con estos algoritmos en sus versiones más óptimas. Sin embargo, como ocurre con muchas otras operaciones a lo largo de nuestra experiencia matemática, conviene saber cómo hacerlas a mano para tener una mayor intuición. En muchos textos que tratan sobre estos asuntos se suelen omitir los ejemplos a este tipo de operaciones o se dan algunos en casos demasiado sencillos ---ideales de \Kx{} en vez de \modulo{\Kx} de $\Kx^n$ donde da la casualidad que todo se anula a la primera--- por lo que creemos conveniente desarrollar en este apéndice por completo un caso no trivial para que el lector se lleve una imagen realista de qué ocurre detrás de la pantalla. Además, ilustraremos también después cómo se resuelve utilizando un sistema dedicado a este tipo de cálculos.
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\section{A mano} \label{Sección A mano}
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En concreto, intentaremos calcular \derivaciones{f} donde $f = x^2z + y^3$ en el anillo \anillodepolinomios{\complejos}{x, y, z} con el orden \mayorqueposdeglex. Recordemos que lo que buscamos es una descripción total del conjunto
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\begin{equation*}
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\derivaciones{f} = \definicionconjunto{\vectorhorizontaltres{a}{b}{c} \in \anillodepolinomios{\complejos}{x, y, z}^3}{a\diffp{f}{x} + b \diffp{f}{y} + c\diffp{f}{z} = kf, \ k \in \anillodepolinomios{\complejos}{x, y, z}}.
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\end{equation*}
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Esto lo podíamos reescribir como
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\begin{equation*}
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\derivaciones{f} = \definicionconjunto{\vectorhorizontaltres{a}{b}{c} \in \anillodepolinomios{\complejos}{x, y, z}^3}{\vectorhorizontalcuatro{a}{b}{c}{k} \in \syz{\diffp{f}{x}, \diffp{f}{y}, \diffp{f}{z}, f}, \ k \in \anillodepolinomios{\complejos}{x, y, z}}.
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\end{equation*}
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Lo primero que tendremos que hacer será calcular el submódulo de sicigias \syz{2xz, 3y^2, x^2, x^2z + y^3} siguiendo el método indicado en \ref{Teorema Calculo Sicigias}. Comenzamos ampliando los distintos elementos a vectores para que sus componentes extra <<mantengan el registro>> de las anulaciones que hacemos. Así, tomamos
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\begin{equation*}
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g_1 := \vectorvertical{2xz \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} , \ g_2 := \vectorvertical{3y^2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \ g_3 := \vectorvertical{x^2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\ \text{y} \ \ g_4' := \vectorvertical{x^2z + y^3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.
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\end{equation*}
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Calculamos ahora una base de Gr\"obner a partir de estos elementos. Para empezar con el mejor pie posible, lo que haremos será convertir este conjunto en un conjunto reducido, es decir, que buscaremos garantizar que ninguno de los términos de $g_i$ sea divisible por algún \LM{g_j} donde $j \neq i$. En este caso, vemos que $g_1$, $g_2$ y $g_3$ no tienen ningún termino divisible, sin embargo $g_4'$ sí, así que lo reducimos:
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\begin{equation} \label{Ejemplo División Compuesta}
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\begin{blockarray}{rrrrrclcl}
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\begin{block}{rrrrrc|lc|l}
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x^2z\euno & +y^3\euno & & & +\ecinco & & \cocientecaja{2xz\euno + \edos \ \ \left( g_1 \right)} & & \cocientecaja{x^2\euno + \ecuatro \ \ \left( g_3 \right)}\\
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-(x^2z\euno & & +\frac{1}{2}x\edos) & & & & \frac{1}{2}x & & \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrrclcl}
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\cmidrule{1-5}
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& y^3\euno & -\frac{1}{2}x\edos\phantom{)} & & +\ecinco & & & & \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrrc|lcl}
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& -(y^3\euno & & +\frac{1}{3}y\etres) & & & \cocientecaja{3y^2\euno + \etres \ \ \left( g_2 \right)} & & & \\ \cmidrule{1-5}
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& \text{\tiny 1\textsuperscript{a} iteración:} & \cancel{-\frac{1}{2}x\edos}\phantom{)} & \cancel{-\frac{1}{3}y\etres}\phantom{)} & \cancel{+\ecinco} & & \frac{1}{3}y & & & \\
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& & \uparrow \text{\tiny 1\textsuperscript{a} iteración} & \uparrow \text{\tiny 2\textsuperscript{a} iteración} & \text{\tiny 3\textsuperscript{a} iteración} \uparrow & & & & & \\
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\end{block}
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\end{blockarray}
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\end{equation}
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Por ser esta la primera división con más de un divisor que hacemos, la desglosaremos algo más siguiendo la notación del algoritmo en \ref{Algoritmo de la División Compuesta}.
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\begin{description}[wide, leftmargin=0pt,itemindent=6pt]
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\item[1\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = x^2z\euno$ es divisible por $\LM{g_1}$ y $\LM{g_3}$. Escogemos, por pura preferencia personal, $g_1$ y reducimos ---la primera resta---. Después de reducir, $\LT{D} = y^3\euno$ es divisible por $\LM{g_2}$ así que reducimos por este. Tras esta reducción, $\LT{D} = -\frac{1}{2}x\edos$, que no es divisible por ninguno de los monomios líderes de $g_1$, $g_2$ y $g_3$. Se lo sustraemos a $D$ y lo añadimos al resto. Esto deja $D = -\frac{1}{3}y\etres + \ecinco$, $c_1 = \frac{1}{2}x$, $c_2 = \frac{1}{3}y$, $c_3 = 0$ y $r = -\frac{1}{2}x\edos$.
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\item[2\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = -\frac{1}{3}y\etres$ no es divisible por ninguno de los términos líderes de los divisores. Así pues, no reducimos y sustraemos este término de $D$ para pasarlo a $r$. Esto deja $D = \ecinco$, $r = -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres$ y los cocientes como antes.
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\item[3\textsuperscript{a} iteración: ] $\LT{D} = \ecinco$ y nos encontramos con la misma situación que antes. Al sustraer este de $D$, $D$ pasa a ser $0$, por lo que el algoritmo termina. Nos queda $r = -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres + \ecinco$.
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\end{description}
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De aquí en adelante, no escribiremos todas las <<cajas de división>> desde el principio, sino que las iremos añadiendo conforme las necesitemos. Tampoco seguiremos tachando ni indicando hasta dónde alcanza cada iteración para descargar las divisiones.
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El resto de la anterior división es irreducible por los demás elementos, así que lo usaremos como elemento~$g_4$. Multiplicar por un escalar un elemento no afecta al resultado, por lo tanto, intentamos obtener la expresión más sencilla para este y así
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\begin{equation*}
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g_4 := -6\left( -\frac{1}{2}x\edos - \frac{1}{3}y\etres +\ecinco\right) = \vectorvertical{0 \\ 3x \\ 2y \\ 0 \\ -6}.
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\end{equation*}
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Ahora sí, comenzamos a calcular la base de Gr\"obner. La primera pareja, $g_1$ y $g_2$, nos da
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\begin{equation*}
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\spoly{g_1}{g_2} = 3y^2g_1 - 2xzg_2 = \vectorvertical{6xy^2z \\ 3y^2 \\ 0 \\ 0 \\ 0} - \vectorvertical{6xy^2z \\ 0 \\ 2xz \\ 0 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 3y^2 \\ -2xz \\ 0 \\ 0};
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\end{equation*}
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cuyo término líder se encuentra en la segunda componente. Como no hay ningún otro $g_i$ con término líder en la segunda componente, este elemento es irreducible y, por ello, lo añadimos como $g_5$ a la lista de elementos de la base. Pasamos ahora a la siguiente pareja, $g_1$ y $g_3$; aquí tenemos que
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\begin{equation*}
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\spoly{g_1}{g_3} = xg_1 - 2zg_3 = \vectorvertical{2x^2z \\ x \\ 0 \\ 0 \\ 0} - \vectorvertical{2x^2z \\ 0 \\ 0 \\ 2z \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ x \\ 0 \\ -2z \\ 0}.
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\end{equation*}
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Este elemento sí que es reducible, por lo que le aplicamos el algoritmo de la división por \conjunto{g_1, g_2, g_3, g_4, g_5}:
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\begin{center}
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\begin{blockarray}{rrrrcl}
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\begin{block}{rrrrc|l}
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$x\edos$ & & $-2z\ecuatro$ & & & \cocientecaja{2xz\euno + \edos} \\
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$-(x\edos$ & $+\frac{2}{3}y\etres$ & & $-2\ecinco)$ & & $\frac{1}{3}$ \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrcl}
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\cmidrule{1-4}
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& $-\frac{2}{3}y\etres$ & $-2z\ecuatro$ & $+2\ecinco\phantom{)}$ & & \\
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\end{block}
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\end{blockarray}
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\end{center}
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De nuevo, al no ser $0$ lo añadiremos a nuestra lista de generadores como $g_6$ pero antes lo multiplicamos por un escalar para hacer la expresión lo más sencilla posible:
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\begin{equation*}
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g_6 := \frac{-3}{2}\left( -\frac{2}{3}y\etres -2z\ecuatro +2\ecinco \right) = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ y \\ 3z \\ -3}.
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\end{equation*}
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El resto de emparejamientos en los que esté $g_1$ cumplirán $\spoly{g_1}{g_i} = 0$ ya que los términos líderes no estarán en la misma componente. Lo mismo ocurre con las parejas formadas por $g_2$ o $g_3$ y $g_4$, $g_5$ o $g_6$; y lo mismo podemos razonar con aquellas formadas por $g_4$ o $g_5$ y $g_6$. A la hora de realizar este proceso a mano, conviene mantener un registro de cuáles son los elementos de la base y qué parejas hace falta evaluar. En este momento, la situación es la siguiente: la lista de generadores es
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\begin{equation*}
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g_1 = \vectorvertical{2xz \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\!\!, \ g_2 = \vectorvertical{3y^2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\!\!, \ g_3 = \vectorvertical{x^2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\!\!, \ g_4 = \vectorvertical{0 \\ 3x \\ 2y \\ 0 \\ -6}\!\!, \ g_5 = \vectorvertical{0 \\ 3y^2 \\ -2xz \\ 0 \\ 0} \ \text{y} \ g_6 = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ y \\ 3z \\ -3}.
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\end{equation*}
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\begin{wrapfigure}{r}{0.35\textwidth}
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\vspace{-0.6cm}
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\begin{tabular}{r|cccccc}
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
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1 & \textbullet & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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2 & & \textbullet & & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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3 & & & \textbullet & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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4 & & & & \textbullet & & \checkmark \\
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5 & & & & & \textbullet & \checkmark
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\end{tabular}
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\end{wrapfigure}
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y entre estos las parejas ya evaluadas se muestran en la tabla a la derecha marcadas con el símbolo \checkmark. Démonos cuenta de que $\spoly{g_i}{g_i} = 0$ y que $\spoly{g_i}{g_j} = -\spoly{g_j}{g_i}$, por lo que no hace falta prestar atención por debajo de la diagonal la cual indicamos con el símbolo \textbullet. En blanco dejamos las parejas que sí están pendientes de ser evaluadas. Así pues, continuamos con la pareja formada por $g_2$ y $g_3$:
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\begin{equation*}
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\spoly{g_2}{g_3} = x^2g_1 - 3y^2g_3 = \vectorvertical{3x^2y^2 \\ 0 \\ x^2 \\ 0 \\ 0} - \vectorvertical{3x^2y^2 \\ 0 \\ 0 \\ 3y^2 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2 \\ -3y^2 \\ 0}.
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\end{equation*}
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Al tener su término líder en la tercera componente, solo podría ser reducido por $g_6$ y, como $\LM{g_6}$ no divide a su término líder, no se puede reducir y, por ello, lo tomamos como $g_7$. Proseguimos con la otra pareja que nos quedaba en la tabla anterior:
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\begin{equation*}
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\spoly{g_4}{g_5} = y^2g_4 - xg_5 = \vectorvertical{0 \\ 3xy^2 \\ 2y^3 \\ 0 \\ -6y^2} - \vectorvertical{0 \\ 3xy^2 \\ -2x^2z \\ 0 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ 2x^2z + 2y^3 \\ 0 \\ -6y^2}.
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\end{equation*}
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Este sí puede reducirse:
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\begin{center}
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\begin{blockarray}{rrrrcl}
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\begin{block}{rrrrc|l}
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$2x^2z\etres$ & +$2y^3\etres$ & & $-6y^2\ecinco\phantom{)}$ & & \cocientecaja{x^2\etres - 3y^2\ecuatro} \\
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$-(2x^2z\euno$ & & $-6y^2z\ecuatro)$ & & & $2z$ \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrcl}
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\cmidrule{1-4}
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& $2y^3\etres$ & $+6y^2z\ecuatro\phantom{)}$ & $-6y^2\ecinco\phantom{)}$ & & \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrc|l}
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& $-(2y^3\euno $ & $+6y^2z\ecuatro\phantom{)}$ & $-6y^2\ecinco)$ & & \cocientecaja{y\etres + 3z\ecuatro - 3\ecinco} \\ \cmidrule{1-4}
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& & & $0\phantom{)}$ & & $2y^2$ \\
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\end{block}
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\end{blockarray}
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\end{center}
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\begin{wrapfigure}{l}{0.35\textwidth}
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\begin{tabular}{r|ccccccc}
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& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
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1 & \textbullet & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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2 & & \textbullet & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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3 & & & \textbullet & \checkmark & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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4 & & & & \textbullet & \checkmark & \checkmark & \checkmark \\
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5 & & & & & \textbullet & \checkmark & \checkmark \\
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6 & & & & & & \textbullet &
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\end{tabular}
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\end{wrapfigure}
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De hecho, como puede verse, se reduce al cero, así que no hay nada que añadir. Tras dar por evaluadas todas las parejas con términos líderes en componentes distintas nos queda la tabla actualizada que vemos a la izquierda. Solo queda por lo tanto una pareja por evaluar:
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\begin{equation*}
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\spoly{g_6}{g_7} = x^2g_6 - yg_7 = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2y \\ 3x^2z \\ -3x^2} - \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2y \\ -3y^3 \\ 0} = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ 0 \\ 3x^2z + 3y^3 \\ -3x^2}.
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\end{equation*}
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Al tener el término líder en la cuarta componente, concluimos que no será divisible por ningún otro monomio líder. Lo multiplicamos por $\frac{1}{3}$ y lo añadimos a la lista como $g_8$. Por \ref{Criterio de Buchberger}, sabemos que
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\begin{equation*}
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\hspace{-1cm}g_1 = \vectorvertical{2xz \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\!\!, \ g_2 = \vectorvertical{3y^2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}\!\!, \ g_3 = \vectorvertical{x^2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\!\!, \ g_4 = \vectorvertical{0 \\ 3x \\ 2y \\ 0 \\ -6}\!\!, \ g_5 = \vectorvertical{0 \\ 3y^2 \\ -2xz \\ 0 \\ 0}\!\!, \ g_6 = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ y \\ 3z \\ -3}\!\!, \ g_7 = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2 \\ -3y^2 \\ 0} \ \text{y} \ g_8 = \vectorvertical{0 \\ 0 \\ 0 \\ x^2z + y^3 \\ -x^2}
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\end{equation*}
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forma una base de Gr\"obner. Para dar un resultado más <<canónico>>, vamos a reducirla. En este caso hay poco que hacer ya que el único elemento que es reducible es $g_4$:
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\begin{center}
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\begin{blockarray}{rrrrcl}
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\begin{block}{rrrrc|l}
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$3x\edos$ & $2y\etres$ & & $-6\ecinco\phantom{)}$ & & \cocientecaja{y\etres + 3z\ecuatro - 3\ecinco} \\
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& $-(2y\etres$ & $6z\ecuatro$ & $-6\ecinco)$ & & $2$ \\
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\end{block}
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\begin{block}{rrrrcl}
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\cmidrule{1-4}
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$3x\edos$ & & $-6z\ecuatro$ & & & \\
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\end{block}
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\end{blockarray}
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\end{center}
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Cambiando $g_4$ a $3x\edos - 6z\ecuatro$ ya sí que obtenemos una base de Gr\"obner reducida. Terminada de calcular esta base de Gr\"obner, pasamos a restringirla a las últimas cuatro componentes, ya que recordemos que a nosotros lo que nos interesaba era el <<registro>> que iban llevando estas componentes de los coeficientes de $\spoly{g_i}{g_j}$ que nos daban las anulaciones. Debemos eliminar a $g_1$, $g_2$ y $g_3$ ya que estos tienen primera componente no nula y así llegamos a la solución de la sicigia:
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\begin{equation*}
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\syz{2xz, 3y^2, x^2, x^2z + y^3} = \engendrado{\vectorvertical{3x \\ 2y \\ 0 \\ -6}, \vectorvertical{3y^2 \\ -2xz \\ 0 \\ 0}, \vectorvertical{0 \\ y \\ 3z \\ -3}, \vectorvertical{0 \\ x^2 \\ -3y^2 \\ 0}, \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2z + y^3 \\ -x^2}}.
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\end{equation*}
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Por último, recordemos que en \derivaciones{f} lo que buscamos son los coeficientes que acompañan a las derivadas, no buscamos saber cuales son los factores por los que queda multiplicado $f$. Esta información nos la da la última componente y, como por el orden monomial de módulos elegido esta última componente no juega ningún papel a la hora de garantizar que el conjunto sea base de Gr\"obner, podemos eliminarla sin más para obtener una base de Gr\"obner reducida de \derivaciones{f}:
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\begin{equation*}
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\derivaciones{x^2z + y^3} = \engendrado{\vectorvertical{3x \\ 2y \\ 0}, \vectorvertical{3y^2 \\ -2xz \\ 0 }, \vectorvertical{0 \\ y \\ 3z}, \vectorvertical{0 \\ x^2 \\ -3y^2}, \vectorvertical{0 \\ 0 \\ x^2z + y^3}}.
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\end{equation*}
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Debido a que no hemos más que mencionado las resoluciones, no ilustraremos su cálculo aquí. De todas formas, como idea intuitiva, obsérvese que para $M := \engendrado{f_1, f_2, \dots, f_k}$,
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} \hookrightarrow \Kx^k \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto f_i} M \longrightarrow 0.
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\end{equation*}
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Pero, por supuesto, \syz{f_1, f_2, \dots, f_k} no tiene por qué ser libre. Aun así, sí que sabemos que es finitamente generado así que $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k} = \engendrado{s_1, s_2, \dots, s_l}$. Pero esto quiere decir que
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow \syz{s_1, s_2, \dots, s_l}\hookrightarrow \Kx^l \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto s_i} \Kx^k \xrightarrow{\vectorbasecanonica{i} \mapsto f_i} M \longrightarrow 0.
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\end{equation*}
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Siguiendo de esta forma calcularíamos una resolución, que no tiene por qué ser la mínima. De hecho, ni siquiera sabemos cómo podríamos calcularla. En este caso, sin embargo, por ser $x^2z + y^3$ homogéneo, sí que hay una forma de calcularla. No la explicamos aquí pero sí la ilustramos en el siguiente apartado.
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\section{Con ordenador} \label{Apéndice a ordenador}
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Con el ejemplo anterior queda suficientemente ilustrado que realizar este procedimiento a mano puede ser tedioso y en casos con expresiones más enrevesadas y con más términos puede llegar a ser impracticable. Como ya decíamos antes, se suele utilizar software especializado para realizar estas operaciones. En nuestro caso, utilizamos el programa \cite{SINGULARPROGRAMA} el cual entre sus muchas funciones, tiene algunas dedicadas exclusivamente al cómputo de sicigias y bases de Gröbner. Mostramos aquí cómo realizar el mismo procedimiento que hemos visto antes a través de esta herramienta.
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Lo primero de todo es definir el anillo sobre el que estamos trabajando:
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\begin{lstlisting}
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ring A = 0, (x,y,z), (c,Dp);\end{lstlisting}
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Esta instrucción define no solo \texttt{A} como un anillo sino que también lo activa de cara al resto de operaciones; es decir, de aquí en adelante el programa asume que los ideales, módulos, etcétera son en función a este anillo. También observamos que hay tres elementos diferenciados en el valor que asignamos al anillo: \texttt{0}, \texttt{(x,y,z)} y \texttt{(c,Dp)}. El primero da la característica del anillo en el que estemos trabajando, el segundo indica el número y nombre de variables que tiene ---como $[x, y, z]$ en $\anillodepolinomios{K}{x, y, z}$--- y el último especifica el orden monomial de módulos a utilizar, que en este caso será \mayorqueposdeglex.
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Después de esto, ya podemos definir el polinomio $f$:
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\begin{lstlisting}
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poly f = x2z + y3;\end{lstlisting}
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Nótese que aunque podríamos utilizar la notación \texttt{x\textsuperscript{$\wedge$}2*z + y\textsuperscript{$\wedge$}3} la sintaxis de Singular nos permite escribir los exponentes simplemente a la derecha de las variables y omitir el símbolo de multiplicación.
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Tras esto, construimos los vectores para poder hallar su base de Gr\"obner:
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\begin{lstlisting}
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module M = [diff(f,x), 1, 0, 0, 0], [diff(f,y), 0, 1, 0, 0],
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[diff(f,z), 0, 0, 1, 0], [f, 0, 0, 0, 1]; \end{lstlisting}
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Implícitamente estamos diciendo que \texttt{M} es el \nolbreaks{\texttt{A}-módulo} generado por esos elementos, no solo le estamos asignando la lista.
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Ya por último le pedimos que nos calcule la base de Gr\"obner de dichos generadores:
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\begin{lstlisting}
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module G = std(M); // Guardamos la base como el modulo engendrado
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// por esta.
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print(G);\end{lstlisting}
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y el programa nos devuelve
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\begin{lstlisting}
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0, 0, 0, 0, 0, 3y2,2xz,x2,
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0, 0, 0, x, 3y2, 0, 1, 0,
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0, y, x2, 0, -2xz,1, 0, 0,
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x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0, 0, 0, 1,
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-x2, -3,0, 0, 0, 0, 0, 0 \end{lstlisting}
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que son los mismos elementos que habíamos obtenido antes a mano pero ordenados en orden ascendente.
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Alternativamente, puede usarse la instrucción dedicada al cómputo de sicigias, \texttt{syz}:
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\begin{lstlisting}
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ideal I = diff(f,x), diff(f,y), diff(f,z), f;
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S = syz(I);
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print(S);\end{lstlisting}
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Esto devuelve
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\begin{lstlisting}
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0, 0, x, 3y2,
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y, x2, 0, -2xz,
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3z,-3y2,-2z,0,
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-3,0, 0, 0\end{lstlisting}
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Démonos cuenta de que esto no es el mismo resultado que antes y eso se debe a que la función \texttt{syz} nos devuelve solo un conjunto generador, no una base de Gr\"obner. Pero eso tiene fácil solución:
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\begin{lstlisting}
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module GS = std(S);
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print(GS);\end{lstlisting}
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Y esto sí que ya nos devuelve la base de Gr\"obner que buscamos:
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\begin{lstlisting}
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0, 0, 0, x, 3y2,
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0, y, x2, 0, -2xz,
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x2z+y3,3z,-3y2,-2z,0,
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-x2, -3,0, 0, 0
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\end{lstlisting}
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Por último, veamos que no es libre calculando una resolución mínima con la instrucción \texttt{mres}. Téngase en cuenta que podemos calcular esto porque $x^2z + y^3$ es homogéneo y que en general no será posible:
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\begin{lstlisting}
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module Siz = [0, 0, x2z+y3], [0, y, 3z], [0,x2,-3y2], [x, 0, -2z], [3y2,-2xz,0];
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mres(Siz,0);
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\end{lstlisting}
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\newpage
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Esto nos devuelve
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\begin{lstlisting}
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3 4 1
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R <-- R <-- R
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0 1 2
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\end{lstlisting}
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Así pues, una resolución mínima es de la forma
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow \Kx^1 \longrightarrow \Kx^4 \longrightarrow \Kx^3 \longrightarrow \derivaciones{x^2z + y^3} \longrightarrow 0,
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\end{equation*}
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y por el Lema \ref{Lema Longitud Mínima Resolución}, tenemos que \derivaciones{f} no puede ser libre.
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\ifbibtex
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\bibliography{bibliografia}
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\bibliographystyle{plain}
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\else
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\nocite{*}
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\printbibliography
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\fi
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\end{document}
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