Sixto/TFG_Sixto
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Sixto 2025-06-03 00:13:57 +02:00
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@ -894,7 +894,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación:
\begin{gather*}
\text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\text{$M$ módulo libre} \xLeftarrow[\text{Teorema de Quillen-Suslin}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\text{$M$ módulo libre} \xLeftarrow[\substack{\text{Teorema de Quillen-Suslin} \\ \text{\cite{ALGEBRA} }}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\end{gather*}
\todo[inline]{¿Lo de que reflexivo implica proyectivo es si es un módulo de con como mucho dos variables o que es de rango 2? ¿Y la referencia dónde está?}
Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$.

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bibliografia.bib
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@ -40,7 +40,7 @@
doi = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0},
series = {Graduate Texts in Mathematics}}
@Book{LIBROPROYECTIVOS,
shorthand = {Lectures},
shorthand = {LectMoRi},
author = {T. Y. Lam},
title = {Lectures on Modules and Rings},
edition = {1},
@ -83,3 +83,10 @@
urldate = {2025-05-28},
year = {2025}
}
@misc {DGPS,
shorthand = {Singular},
title = {{\sc Singular} {4-4-0} --- {A} computer algebra system for polynomial computations},
author = {Decker, Wolfram and Greuel, Gert-Martin and Pfister, Gerhard and Sch\"onemann, Hans},
year = {2024},
howpublished = {\url{http://www.singular.uni-kl.de}},
}