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Ejemplo de libre de torsión no libre.

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Sixto 2025-06-11 15:18:41 +02:00
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@ -394,7 +394,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\begin{equation*} \begin{equation*}
\mathrm{Tors}\!\left( M \right) := \definicionconjunto{m \in M}{\text{existe un $a \neq 0$ tal que $am = 0$}} \mathrm{Tors}\!\left( M \right) := \definicionconjunto{m \in M}{\text{existe un $a \neq 0$ tal que $am = 0$}}
\end{equation*} \end{equation*}
Diremos que $M$ es \emph{libre de torsión} si $\mathrm{Tors}\!\left( M \right) = 0$.\todo{Un comentario sobre que todo espacio vectorial es libre, que en módulos libre implica libre de torsión y que la recíproca no es cierta.} Diremos que $M$ es \emph{libre de torsión} si $\mathrm{Tors}\!\left( M \right) = 0$.
\end{definicion} \end{definicion}
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo}
Pensemos en \enteros{} y en \enterosmodulo{p} donde $p \in \naturales$ como en \modulo{\enteros}. El módulo \enteros{} admite a $1$ como base ya que todo entero $z$ tiene una única representación como $z\cdot 1$. Ahora bien, supongamos que \enterosmodulo{p} tiene una base \conjunto{z_1, z_2, \dots, z_k}. Para cualquier $z \in \enterosmodulo{p}$ existirán $a_1, a_2, \dots, a_n$ de forma que $z = \sum_{i = 1}^{k}a_iz_i$. Ahora bien, démonos cuenta de que \enterosmodulo{p} no es un \modulo{\enteros} libre de torsión ya que para todo $z$, $pz = \sum_{i = 1}^{k}pa_iz_i = 0$; esto nos permite escribir Pensemos en \enteros{} y en \enterosmodulo{p} donde $p \in \naturales$ como en \modulo{\enteros}. El módulo \enteros{} admite a $1$ como base ya que todo entero $z$ tiene una única representación como $z\cdot 1$. Ahora bien, supongamos que \enterosmodulo{p} tiene una base \conjunto{z_1, z_2, \dots, z_k}. Para cualquier $z \in \enterosmodulo{p}$ existirán $a_1, a_2, \dots, a_n$ de forma que $z = \sum_{i = 1}^{k}a_iz_i$. Ahora bien, démonos cuenta de que \enterosmodulo{p} no es un \modulo{\enteros} libre de torsión ya que para todo $z$, $pz = \sum_{i = 1}^{k}pa_iz_i = 0$; esto nos permite escribir
@ -403,6 +403,8 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{equation*} \end{equation*}
Por lo tanto, la representación de $z$ no es única en términos de la base y, por ende, \enterosmodulo{p} no es libre. Por lo tanto, la representación de $z$ no es única en términos de la base y, por ende, \enterosmodulo{p} no es libre.
\end{ejemplo} \end{ejemplo}
De hecho, todo módulo libre es libre de torsión, aunque el converso no tiene por qué ser cierto. Un caso donde este converso es falso es el \nolbreaks{Ejemplo \ref{Ejemplo de No Tener Base}}.
Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos. Por último, damos las dos nociones más básicas relacionadas con la divisibilidad en los módulos.
\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos} \begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$. Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ \emph{divide a} $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
@ -1240,7 +1242,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así. En el capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales: así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo} \begin{ejemplo} \label{Ejemplo de No Tener Base}
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}} \engendrado{x, y}. Por ser noetheriano, sabemos que, de existir alguna base para \engendrado{x, y}, esta debe de ser finita. Supongamos que existe y es $\conjunto{a_1, a_2, \dots, a_k}$. Entonces, existirán unos únicos $p_1, p_2, \dots, p_k$ y $q_1, q_2, \dots, q_k$ en \anillodepolinomios{K}{x, y} de forma que
\begin{equation*} \begin{equation*}
p_1a_1 + p_2a_2 + \dots + p_ka_k = x \quad \text{y} \quad q_1a_1 + q_2a_2 + \dots + q_ka_k = y. p_1a_1 + p_2a_2 + \dots + p_ka_k = x \quad \text{y} \quad q_1a_1 + q_2a_2 + \dots + q_ka_k = y.