Reescritura del ejemplo del algoritmo de la división simple.

TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -588,7 +588,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			\end{equation*}
 			Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.  
 		\end{ejemplo}
-		Para poder generalizar este concepto a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
+		Para poder generalizar estos órdenes a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
 			2xy + y^2 \\ x^3 \\ y
 		\end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos + y\etres$.
 		\begin{definicion}
@@ -616,7 +616,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
 			Esta generalización que hemos hecho no está limitada a \mayorquelex, también se podría realizar con otros órdenes como \mayorquedeglex. Incluso se podrían permutar las posiciones para obtener todavía más órdenes.
  		\end{ejemplo}
  		
- 		Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la respuesta de las preguntas con las que abríamos el capítulo.
+ 		Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la generalización del algoritmo de la división formalizando esa noción de <<término líder>> que mencionábamos.
  		\begin{definicion}
  			Sea $p := c_1x^\mathbf{s_1}\vectorbasecanonica{i_1} + c_2x^\mathbf{s_2}\vectorbasecanonica{i_2} + \dots + c_mx^\mathbf{s_m}\vectorbasecanonica{i_m}$ un polinomio de $\Kx^r$ y $>$ un orden monomial de módulos. Sea $k \in \left\lbrace 1, \dots, m \right\rbrace$ de forma que $x^\mathbf{s_k}$ sea el máximo del conjunto de monomios de $p$ según el orden $>$, entonces
  			\begin{itemize}
@@ -626,7 +626,9 @@ urlcolor=black]{hyperref}
  			\end{itemize}
  		\end{definicion}
  		
- 		Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Lo primero es entender cuándo pueden dividirse dos monomios de $\Kx^r$. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$. Ahora sí, podemos dar un algoritmo de la división en $\Kx^r$. Este consiste en imitar el algoritmo usual para dividir un polinomio por otro en una variable; pero en este caso, en vez de guiarnos por el grado para construir el cociente, utilizamos los términos líderes. 
+ 		Necesitamos también concretar la noción de divisibilidad para poder integrar las distintas componentes que puedan tener los elementos dentro de la división. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$.
+ 		
+ 		Con todo esto, ya podemos definir un algoritmo de la división de un elemento por otro en $\Kx^r$. En esencia, imitaremos al algoritmo tradicional solo que, en este caso, nos guiaremos por los monomios líderes y no por el grado. 
  		\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Simple}
  			Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este. 
  			\begin{algorithmic}[1]
@@ -661,17 +663,19 @@ urlcolor=black]{hyperref}
  					\end{block}
  				\end{blockarray}
  			\end{center}
- 			
+ 			\begin{description}
- 			La primera iteración ejecuta el bucle interno dos veces dejando $D = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$; después, se encuentra con el término líder $2x^2y\edos$, que no es divisible por $\LT{g} = x^2\euno$, así que lo elimina del dividendo, que pasa a ser $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$ y lo añade al resto, que pasa a ser $r = 2x^2y\edos$. En la segunda iteración el término líder sigue sin ser divisible por \LT{g}; así que lo eliminamos del dividendo y lo añadimos al resto. En la tercera iteración, $\LT{D} = x^2\euno$ sí es divisible por \LT{g}, por lo que procedemos como en la primera iteración primero reduciendo y después pasando el término líder que queda al resto. En la última iteración, volvemos a retirar el término líder y ya nos encontramos en la situación de salida del algoritmo.
+ 				\item[1\textsuperscript{a} iteración:] reducimos $D$ dos veces, lo cual se corresponde con dos ejecuciones del bucle interno o las dos primeras restas que aparecen arriba. Después, eliminamos el término líder de $D$, $2x^2y\edos$, ya que no es divisible por $\LM{x^2\euno + 2y\etres} = x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos$.
- 			
+ 				\item[2\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-6x^2y\etres$, sigue sin ser divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos este de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres$.
- 			El resultado puede leerse como
+ 				\item[3\textsuperscript{a} iteración:] reducimos una vez. Después, eliminamos el término líder de $D$, $-4xy\etres$, ya que no es divisible por $x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = -2y\etres$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres$.
+ 				\item[4\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-2y\etres$, el último que queda, no es divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos el término líder de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = 0$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres - 2y\etres$. Al ser ya $D = 0$, el algoritmo para.
+ 			\end{description}
+ 			Queda por lo tanto
  			\begin{equation*}
- 				f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g +  \underbrace{2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres}
+ 				f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g +  \underbrace{2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres}_{\text{resto $r$}}
  			\end{equation*}
- 			donde ninguno de los términos en la llave es divisible por \LT{g}.
+ 			donde ninguno de los términos en $r$ es divisible por \LT{g}.
  		\end{ejemplo}
  		
- 		Cuando obtenemos el resto de $f$ dividido por $g$ lo que esencialmente buscamos es un representante $r$ <<canónico>> de la clase de equivalencia de $f$ en \cociente{\Kx^r}{\engendrado{g}}. En este caso, entendemos canónico como que no tenga ningún término divisible por $\LT{g}$, es decir, que sea <<irreducible>>. Entendida así, la noción de <<dividir>> puede extenderse a submódulos de $\Kx^r$ en general. Es decir, dado cualquier \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$, podemos <<dividir>> $f$ por $N$ encontrando el representante <<canónico>> de la clase de $f$ en \cociente{\Kx^r}{N}. En este caso, nuestra idea de canónico será que no haya ningún elemento $g$ en $N$ de forma que $\LT{g}$ sea uno de los términos de este representante. Para formalizar esta idea de división más general, necesitamos de algunos resultados previos.
  		\begin{definicion}
  			Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los monomios líderes de $G$ lo denotaremos por
  			\begin{equation*}