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Reescritura del ejemplo del algoritmo de la división simple.

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Sixto 2025-06-08 18:08:58 +02:00
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@ -588,7 +588,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{equation*}
Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.
\end{ejemplo}
Para poder generalizar este concepto a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
Para poder generalizar estos órdenes a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
2xy + y^2 \\ x^3 \\ y
\end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos + y\etres$.
\begin{definicion}
@ -616,7 +616,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
Esta generalización que hemos hecho no está limitada a \mayorquelex, también se podría realizar con otros órdenes como \mayorquedeglex. Incluso se podrían permutar las posiciones para obtener todavía más órdenes.
\end{ejemplo}
Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la respuesta de las preguntas con las que abríamos el capítulo.
Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la generalización del algoritmo de la división formalizando esa noción de <<término líder>> que mencionábamos.
\begin{definicion}
Sea $p := c_1x^\mathbf{s_1}\vectorbasecanonica{i_1} + c_2x^\mathbf{s_2}\vectorbasecanonica{i_2} + \dots + c_mx^\mathbf{s_m}\vectorbasecanonica{i_m}$ un polinomio de $\Kx^r$ y $>$ un orden monomial de módulos. Sea $k \in \left\lbrace 1, \dots, m \right\rbrace$ de forma que $x^\mathbf{s_k}$ sea el máximo del conjunto de monomios de $p$ según el orden $>$, entonces
\begin{itemize}
@ -626,7 +626,9 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{itemize}
\end{definicion}
Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Lo primero es entender cuándo pueden dividirse dos monomios de $\Kx^r$. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$. Ahora sí, podemos dar un algoritmo de la división en $\Kx^r$. Este consiste en imitar el algoritmo usual para dividir un polinomio por otro en una variable; pero en este caso, en vez de guiarnos por el grado para construir el cociente, utilizamos los términos líderes.
Necesitamos también concretar la noción de divisibilidad para poder integrar las distintas componentes que puedan tener los elementos dentro de la división. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$.
Con todo esto, ya podemos definir un algoritmo de la división de un elemento por otro en $\Kx^r$. En esencia, imitaremos al algoritmo tradicional solo que, en este caso, nos guiaremos por los monomios líderes y no por el grado.
\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Simple}
Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este.
\begin{algorithmic}[1]
@ -661,17 +663,19 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\end{block}
\end{blockarray}
\end{center}
La primera iteración ejecuta el bucle interno dos veces dejando $D = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$; después, se encuentra con el término líder $2x^2y\edos$, que no es divisible por $\LT{g} = x^2\euno$, así que lo elimina del dividendo, que pasa a ser $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$ y lo añade al resto, que pasa a ser $r = 2x^2y\edos$. En la segunda iteración el término líder sigue sin ser divisible por \LT{g}; así que lo eliminamos del dividendo y lo añadimos al resto. En la tercera iteración, $\LT{D} = x^2\euno$ sí es divisible por \LT{g}, por lo que procedemos como en la primera iteración primero reduciendo y después pasando el término líder que queda al resto. En la última iteración, volvemos a retirar el término líder y ya nos encontramos en la situación de salida del algoritmo.
El resultado puede leerse como
\begin{description}
\item[1\textsuperscript{a} iteración:] reducimos $D$ dos veces, lo cual se corresponde con dos ejecuciones del bucle interno o las dos primeras restas que aparecen arriba. Después, eliminamos el término líder de $D$, $2x^2y\edos$, ya que no es divisible por $\LM{x^2\euno + 2y\etres} = x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos$.
\item[2\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-6x^2y\etres$, sigue sin ser divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos este de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = x^2\euno - 4xy\etres$, $c = 3x^2 + 2x$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres$.
\item[3\textsuperscript{a} iteración:] reducimos una vez. Después, eliminamos el término líder de $D$, $-4xy\etres$, ya que no es divisible por $x^2\euno$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = -2y\etres$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres$.
\item[4\textsuperscript{a} iteración:] el término líder de $D$, $-2y\etres$, el último que queda, no es divisible por $x^2\euno$, por lo que no reducimos. Después, eliminamos el término líder de $D$ y se lo añadimos a $r$. Esto deja $D = 0$, $c = 3x^2 + 2x + 1$ y $r = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres -4xy\etres - 2y\etres$. Al ser ya $D = 0$, el algoritmo para.
\end{description}
Queda por lo tanto
\begin{equation*}
f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g + \underbrace{2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres}
f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g + \underbrace{2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres}_{\text{resto $r$}}
\end{equation*}
donde ninguno de los términos en la llave es divisible por \LT{g}.
donde ninguno de los términos en $r$ es divisible por \LT{g}.
\end{ejemplo}
Cuando obtenemos el resto de $f$ dividido por $g$ lo que esencialmente buscamos es un representante $r$ <<canónico>> de la clase de equivalencia de $f$ en \cociente{\Kx^r}{\engendrado{g}}. En este caso, entendemos canónico como que no tenga ningún término divisible por $\LT{g}$, es decir, que sea <<irreducible>>. Entendida así, la noción de <<dividir>> puede extenderse a submódulos de $\Kx^r$ en general. Es decir, dado cualquier \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$, podemos <<dividir>> $f$ por $N$ encontrando el representante <<canónico>> de la clase de $f$ en \cociente{\Kx^r}{N}. En este caso, nuestra idea de canónico será que no haya ningún elemento $g$ en $N$ de forma que $\LT{g}$ sea uno de los términos de este representante. Para formalizar esta idea de división más general, necesitamos de algunos resultados previos.
\begin{definicion}
Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los monomios líderes de $G$ lo denotaremos por
\begin{equation*}