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TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

@@ -32,7 +32,7 @@
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 % Bibliografía.
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 \begin{document}
 
 \frontmatter                     % Parte primera del texto
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 %--- RESUMEN
 \chapter{Resumen}
-
-	En este trabajo respondemos a varias preguntas acerca del módulo de derivaciones polinómicas de un polinomio: qué clase de objeto es, para lo cual necesitaremos utilizar la teoría de módulos; cómo calcularlo, donde explicaremos herramientas como las bases de \Groebner{} y las sicigias; y por último, una demostración del Criterio de Saito, que nos permite saber si el dicho módulo de derivaciones admite una base o no.
-
-	In this paper we answer several questions about the module of polynomial derivations of a polynomial: which kind of object it is, where we will need to use module theory; how to compute it, with an explanation of tools like \Groebner{} bases and syzygies; and lastly, a proof of Saito's Criterion, which allows us to know whether the derivations module admits a basis or not.
-%--- FIN DEL RESUMEN
-
-\todo{Un poco más amplio y en dos secciones, una por idioma}
+	
+	\section*{Español}
+	En este trabajo estudiaremos varios aspectos del módulo de derivaciones polinómicas de un polinomio. Comenzamos dando las pinceladas básicas de la teoría de módulos para comprender con qué tipo de objeto estamos trabajando. A continuación, exploramos algunas de las dificultades que presenta este tipo de objeto con respecto a otros similares como son el espacio vectorial, en particular la determinación de la pertenencia a este y la existencia de una base. Solucionamos el primero de estos problemas introduciendo dos herramientas fundamentales de esta teoría: las bases de \Groebner{} y las sicigias. Por último, para solucionar el segundo problema, damos una detallada demostración del Criterio de Saito, un resultado que nos caracteriza para qué módulos existe una base.
+	
+	\section*{English}
+	In this paper we are going to study several aspects of the module of polynomial derivations of a polynomial. We start by stating the basic features of module theory in order to understand which kind of object we are working with. Afterwards, we explore some of the difficulties this kind of object presents with respect to others similar to it such as the vector space, in particular the determination of whether an element belongs to it and the existence of a basis. We solve the first of those problems by introducing two fundamental tools in this theory: \Groebner{} bases and syzygies. Lastly, so as to solve the second problem, we give a detailed proof of Saito's Criterion, a result that characterizes which modules admit a basis.
 
 \clearemptydoublepage
 
@@ -842,10 +829,7 @@ Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización co
 		\end{proof}
 
 Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
-\vspace{-1cm}
-
-\mbox{}
-		\begin{wrapfigure}[7]{r}{0.3\textwidth}
+		\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
 			%
 			\begin{equation*}
 				\begin{tikzcd}
@@ -855,9 +839,8 @@ Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
 				\end{tikzcd}
 			\end{equation*}
 \vspace{-1cm}
-			\caption{} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
+			\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
 		\end{wrapfigure}
-\FloatBarrier
 
 		\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
 %			Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
@@ -868,7 +851,7 @@ Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Dia
 				\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
 			\end{equation*}
 			o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
-			Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos permite identificar
+			Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
 			\begin{equation*}
 				\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}\quad
 M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere