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efe538013c
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| 8e3a2327f0 |
Binary file not shown.
@ -51,8 +51,8 @@
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% Bibliografía.
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\newif\ifbibtex
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\bibtextrue
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\else
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\usepackage[backend=biber]{biblatex}
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@ -203,6 +203,20 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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\newcommand{\dertheta}[2]{\ensuremath{\theta_{#1, #2}}}
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\newcommand{\Groebner}{Gr\"obner}
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\makeatletter
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\long\def\@makecaption#1#2{
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\vskip\abovecaptionskip
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\sbox\@tempboxa{#1. #2}
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\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
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#1. #2\par
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\hb@xt@\hsize{\hfil\box\@tempboxa\hfil}
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\fi
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\vskip\belowcaptionskip}
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\makeatother
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\begin{document}
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\frontmatter % Parte primera del texto
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@ -248,12 +262,17 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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%--- RESUMEN
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\chapter{Resumen}
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\section*{Español}
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En este trabajo estudiaremos varios aspectos del módulo de derivaciones polinómicas de un polinomio. Comenzamos dando las pinceladas básicas de la teoría de módulos para comprender con qué tipo de objeto estamos trabajando. A continuación, exploramos algunas de las dificultades que presenta este tipo de objeto con respecto a otros similares como son el espacio vectorial, en particular la determinación de la pertenencia a este y la existencia de una base. Solucionamos el primero de estos problemas introduciendo dos herramientas fundamentales de esta teoría: las bases de \Groebner{} y las sicigias. Por último, para solucionar el segundo problema, damos una detallada demostración del Criterio de Saito, un resultado que nos caracteriza para qué módulos existe una base.
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\selectlanguage{english}
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\chapter{Abstract}
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\section*{English}
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In this paper we are going to study several aspects of the module of polynomial derivations of a polynomial. We start by stating the basic features of module theory in order to understand which kind of object we are working with. Afterwards, we explore some of the difficulties this kind of object presents with respect to others similar to it such as the vector space, in particular the determination of whether an element belongs to it and the existence of a basis. We solve the first of those problems by introducing two fundamental tools in this theory: \Groebner{} bases and syzygies. Lastly, so as to solve the second problem, we give a detailed proof of Saito's Criterion, a result that characterizes which modules admit a basis.
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\selectlanguage{spanish}
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\clearemptydoublepage
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\tableofcontents
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@ -269,6 +288,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
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% Contar todo lo que sabemos hacer.
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\todo{Configuraciones de hiperplanos, justificar. Conjetura de Terao.}
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Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables \nolbreaks{$f \in \anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n} =: \Kx$}, y estamos trabajando con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones de la forma
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\begin{equation*}
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a_1 \diffp{}{x_1} + a_2\diffp{}{x_2} + \dots + a_n\diffp{}{x_n}\quad a_i \in \Kx \ \forall i.
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@ -511,7 +531,7 @@ p\rar[mapsto]&\displaystyle\diffp{p}{x_i}.
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\begin{definicion}
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Diremos que $M$ es un \modulo{A} \emph{reflexivo} si $\Psi$ es un isomorfismo.
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\end{definicion}
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\todo{Reflexivo implica libre de torsión}
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\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo}
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Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. El conjunto \dual{V} admite como base a la \emph{base dual} compuesta por los $v^*_{i}$ definidos como
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\begin{equation*}
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@ -664,7 +684,99 @@ La demostración de deja para más adelante ya que necesitamos introducir algún
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow F_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0,
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\end{equation*}
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encontramos en este resultado un criterio de libertad más práctico sobre todo a la hora de demostrar que un módulo no es libre: intentar calcular su resolución mínima y, si tiene, ver si es de la forma anterior. Sin embargo, explicar el cómputo de estas resoluciones mínimas, si bien está al alcance de la teoría presentada, aumentaría significativamente la longitud de este texto, por lo que nos limitamos a indicar hacia un texto que sí las trata, \cite{SINGULARLIBRO}, y a ilustrar su uso en la sección \ref{Apéndice a ordenador}.
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encontramos en este resultado un criterio de libertad más práctico sobre todo a la hora de demostrar que un módulo no es libre: intentar calcular su resolución mínima y, si tiene, ver si es de la forma anterior. Sin embargo, explicar el cómputo de estas resoluciones mínimas, si bien está al alcance de la teoría presentada, aumentaría significativamente la longitud de este texto, por lo que nos limitamos a indicar hacia un texto que sí las trata, \cite{SINGULARLIBRO}, y a ilustrar su uso en la sección \ref{Apéndice a ordenador}. \todo{Di que en general es difícil encontrar una resolución mínima.}
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\section{Rango de un módulo}
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En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un dominio de integridad sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado, es decir, si $s,s'\in S$, entonces $ss'\in S$ (supondremos además que $0\notin S$). Consideremos la relación de equivalencia
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$\sim$ sobre $A\times S$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$\footnote{La definición de localización es, en realidad, más general: \begin{equation*}
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\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff \exists\sigma \in S \ \text{tal que} \ \sigma\left( ms' - m's \right) = 0.
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\end{equation*} Pero en para nosotros, como asumimos que no hay divisores del $0$, nuestra definición es suficiente.}. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
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\begin{equation*}
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S^{-1}A := \cociente{A\times S}{\sim}
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\end{equation*}
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junto con las operaciones
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\begin{equation*}
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\frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta}
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\end{equation*}
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es la \emph{localización} de $A$ respecto de $S$. Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ se trata de un cuerpo $\cuerpofracciones{A}$ llamado \emph{cuerpo de fracciones de $A$}. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
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\end{definicion}
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El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
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% \begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
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% Llamaremos \emph{extensión de escalares} del \modulo{A} $M$ al \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} $M_Q$.
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% \end{definicion}
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\begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
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Sea $S$ un subconjunto de $A$ multiplicativamente cerrado. Definimos la \emph{localización de $M$ con respecto a $S$} como el \modulo{S^{-1}A}
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\begin{equation*}
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S^{-1}M := \definicionconjunto{\frac{m}{s}}{m \in M, s \in S},
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\end{equation*}
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donde $\frac{m}{s}$ denota la clase de equivalencia de $\left( m, s \right) \in M \times S$ con respecto a la relación de equivalencia
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\begin{equation*}
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\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff ms' = m's.
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\end{equation*}
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Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización como $M_Q$ y la llamaremos $Q(A)$-\emph{extensión de escalares} de~$M$.
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\end{definicion}
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\begin{lema} \label{Lema Extensión es Inyección}
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La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M_Q$ dada por $m \mapsto \frac{m}{1}$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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Para la primera afirmación, vemos que $M_Q$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
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Para la segunda, véase que
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\begin{align*}
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\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
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&\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
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&\iff am \neq 0 \\
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&\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.\qedhere
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\end{align*}
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% Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M_Q$ puede escribirse como $ \frac{m}{q}$ para algún $m\in M$ y algún $q\in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Consideremos el homomorfismo de $M_Q$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
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%
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% \todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
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%
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\end{proof}
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Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
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\mbox{}\vspace{-1.5cm}
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\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
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M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
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0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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\vspace{-1cm}
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\caption{} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
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\end{wrapfigure}
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\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
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% Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
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Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
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Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
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\begin{equation*}
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\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
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\end{equation*}
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o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
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Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
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\begin{equation*}
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\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}},\quad
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M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
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\end{equation*}
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%
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% \todo{Esto terminarlo.}
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\end{proof}
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\begin{definicion}
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Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M_Q$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.\todo{El rango de un ideal no nulo es $1$ aunque necesite más de un generador.}
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\end{definicion}
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\section{Producto Exterior}
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De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para comprenderlo, necesitaremos entender primero el producto tensorial
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cuyo objetivo es \emph{entender} las aplicaciones bilineales de la Definición~\ref{Definicion_bilineal} como aplicaciones lineales.
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@ -778,94 +890,9 @@ Ahora sí, tenemos la siguiente propiedad universal que buscábamos al principio
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\end{equation}
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\end{proof}
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\section{El rango}\todo{Parte de esta sección irá antes}
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En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un dominio de integridad sea $S\subset A$ un subconjunto multiplicativamente cerrado, es decir, si $s,s'\in S$, entonces $ss'\in S$ (supondremos además que $0\notin S$). Consideremos la relación de equivalencia
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$\sim$ sobre $A\times S$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$\footnote{La definición de localización es, en realidad, más general: \begin{equation*}
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\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff \exists\sigma \in S \ \text{tal que} \ \sigma\left( ms' - m's \right) = 0.
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\end{equation*} Pero en para nosotros, como asumimos que no hay divisores del $0$, nuestra definición es suficiente.}. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
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\begin{equation*}
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S^{-1}A := \cociente{A\times S}{\sim}
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\end{equation*}
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junto con las operaciones
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\begin{equation*}
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\frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta}
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\end{equation*}
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es la \emph{localización} de $A$ respecto de $S$. Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ se trata de un cuerpo $\cuerpofracciones{A}$ llamado \emph{cuerpo de fracciones de $A$}. El homomorfismo natural $A \hookrightarrow \cuerpofracciones{A}$ es inyectivo.
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\end{definicion}
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El cuerpo de fracciones de un anillo nos permite llevar un \modulo{A} a un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}.
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% \begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
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% Llamaremos \emph{extensión de escalares} del \modulo{A} $M$ al \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} $M_Q$.
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% \end{definicion}
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\begin{definicion}\label{Definición Extensión de Escalares}
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Sea $S$ un subconjunto de $A$ multiplicativamente cerrado. Definimos la \emph{localización de $M$ con respecto a $S$} como el \modulo{A}
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\begin{equation*}
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S^{-1}M := \definicionconjunto{\frac{m}{s}}{m \in M, s \in S},
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\end{equation*}
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donde $\frac{m}{s}$ denota la clase de equivalencia de $\left( m, s \right) \in M \times S$ con respecto a la relación de equivalencia
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\begin{equation*}
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\left( m, s \right) \sim \left( m', s' \right) \iff ms' = m's.
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\end{equation*}
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Si $S=A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$, denotaremos la localización como $M_Q$ y la llamaremos $Q(A)$-\emph{extensión de escalares} de~$M$.
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\end{definicion}
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\begin{lema} \label{Lema Extensión es Inyección}
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La extensión de escalares de un \modulo{A} $M$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}}. Además, la aplicación $\varphi: M \rightarrow M_Q$ dada por $m \mapsto \frac{m}{1}$ es inyectiva si y solo si $M$ es libre de torsión.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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Para la primera afirmación, vemos que $M_Q$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} y, como \cuerpofracciones{A} es un cuerpo, tenemos un espacio vectorial.
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Para la segunda, véase que
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\begin{align*}
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\ker\varphi = 0 &\iff \frac{m}{1} \neq 0 \quad\forall m \in M \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
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&\iff \frac{am}{a} \neq 0 \quad \forall a \in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \\
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&\iff am \neq 0 \\
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&\iff \mathrm{Tors}\!\left( M \right) = \left\lbrace 0 \right\rbrace.\qedhere
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\end{align*}
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% Vemos también gracias a esto que todo elemento de $M_Q$ puede escribirse como $ \frac{m}{q}$ para algún $m\in M$ y algún $q\in A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Consideremos el homomorfismo de $M_Q$ en $\left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dado por $\mu \otimes \frac{1}{q} \mapsto \frac{\mu}{q}$. Vemos por ella que $\frac{\mu}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$; es decir, que $\mu \otimes \frac{1}{q} = 0$ si y solo si $\mu = 0$. Esto demuestra que la última implicación de la cadena anterior funciona también en el sentido contrario, completando la demostración.
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%
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% \todo{La otra implicación. Creo que quedará más corto definiendo la extensión de escalares como fracciones}
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%
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\end{proof}
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Recordemos que ya en el Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos.
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Esto nos va a permitir completar la demostración de un resultado anterior.
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\begin{wrapfigure}[8]{r}{0.3\textwidth}
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\begin{equation*}
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\begin{tikzcd}
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M_\mathrm{Q} \times \left( \dual{M} \right)_\mathrm{Q} \arrow[r, "\Phi^{M_\mathrm{Q}}"] & \cuerpofracciones{\Kx} & \\
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M \hspace{0.05cm}\times \hspace{0.4cm}\dual{M} \arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] \arrow[r, "\Phi^{M}"] & \Kx \arrow[u] & \\
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0 \hspace{17pt} \phantom{. \times } 0\arrow[u, shift left=6mm] \arrow[u, shift right=6mm] & 0 \arrow[u] &
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\end{tikzcd}
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\end{equation*}
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\vspace{-1cm}
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\caption{Diagrama de aplicaciones duales.} \label{Diagrama Dual Reflexivo}
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\end{wrapfigure}
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\begin{proof}[Demostración del Lema~\ref{Lema_Reflexivo_dual}]
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% Para cualquier \modulo{A} $B$, denotaremos $B_\mathrm{Q} := B \otimes \cuerpofracciones{A}$ (véase la Definición~\ref{Definición Extensión de Escalares}).
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Consideremos el diagrama de homomorfismos de \modulo{\Kx}s de la Figura \ref{Diagrama Dual Reflexivo}. Las inyecciones que aquí mostramos son las naturales: en el caso de las de la izquierda, mandan los elementos $m$ bien de $M$ o \dual{M} a los correspondientes $\frac{m}{1}$; y en el de la derecha se manda $p$ a $\frac{p}{1}$. Estas son inyecciones por el Lema \ref{Lema Extensión es Inyección}.
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Podemos ver los conjuntos de la parte baja del diagrama como subconjuntos de los de arriba. Así, identificamos
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\begin{equation*}
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\dual{M}\equiv\definicionconjunto{h \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M},
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\end{equation*}
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o en otras palabras, como todos aquellos homomorfismos en el conjunto ampliado a las fracciones que <<restringidos>> a $M$ funcionan como un elemento de \dual{M}.
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Ahora recordemos por el Ejemplo~\ref{Ejemplo Espacio Vectorial es Reflexivo} que $M_\mathrm{Q}$ es reflexivo así que $\dualdual{M_Q} \simeq M_Q$. Esto nos identificar
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\begin{equation*}
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\dualdual{M}\equiv\definicionconjunto{m \in M_Q}{ \phi(m) \in A \ \forall \phi \in \dual{M}}\quad
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M^{***}\equiv\definicionconjunto{m \in \left( \dual{M} \right)_Q}{h\!\left( m \right) \in A \ \forall m \in M}.\qedhere
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\end{equation*}
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% \todo{Esto terminarlo.}
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\end{proof}
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\begin{definicion}
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Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene \emph{rango} $r$ si $M_Q$ es un \espaciovectorial{\cuerpofracciones{A}} de dimensión $r$.
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\end{definicion}
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Recordemos que ya en el Lema~\ref{Lema Rango Producto Exterior} había un resultado sobre el rango del producto exterior de los espacios vectoriales. Generalizamos esto a los módulos.\todo{Como hay que mover esta sección esto puede ir directamente a producto exterior}
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\begin{lema} \label{Lema Rango Producto Exterior Módulos}
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Sea $M$ un \modulo{A} de rango $n$ y $s \in \naturales$. Entonces, $\bigwedge^s M$ es un \modulo{A} de rango $\binom{n}{s}$.
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\end{lema}
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@ -1390,7 +1417,7 @@ a_1\euno + a_2\edos + \dots + a_k\vectorbasecanonica{k}\rar[mapsto]&a_1f_1 + a_2
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\end{equation*} Fijémonos ahora en la relación \ref{Relación Matricial Derivadas}. Recordando la regla de Cramer, sabemos que
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\begin{equation*}
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A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{uf}\mathrm{adj}\!\left( A \right) = \frac{1}{f}B
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\end{equation*} donde $\mathrm{adj}\!\left( A \right)$ es la matriz adjunta de $A$. $A^{-1}$ está en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \cuerpofracciones{\Kx} \right)$ pero los adjuntos de la matriz $A$ están en \Kx, por lo que podemos expresar $A^{-1}$ como vemos al final de la igualdad con $B \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$. Como
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\end{equation*} donde $\mathrm{adj}\!\left( A \right)$ es la matriz adjunta de $A$. La matriz $A^{-1}$ está en $\mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \cuerpofracciones{\Kx} \right)$ pero los adjuntos de la matriz $A$ están en \Kx, por lo que podemos expresar $A^{-1}$ como vemos al final de la igualdad con $B \in \mathrm{Mat}\!\left( n \times n, \Kx\right)$. Como
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\begin{equation*}
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\vectorhorizontalcuatro{\partial_1}{\partial_2}{\dots}{\partial_n} = \vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}A^{-1} = \frac{1}{f}\vectorhorizontalcuatro{\delta_1}{\delta_2}{\dots}{\delta_n}B,
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\end{equation*}
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