Sixto/TFG_Sixto
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TFG_Sixto/TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex

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% PLANTILLA PARA UN TRABAJO DE FIN DE GRADO
% EN EL GRADO DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
%
% Mario Pérez Riera
% Área de Análisis Matemático, Universidad de Zaragoza
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% Última modificación: 1 de agosto de 2021
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% Escrito para pdfLaTeX
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% Paquetes y fuentes
%---------------------------------------------------------------------------
\usepackage{geometry} % define las dimensiones de la página
\geometry{
a4paper, % Tamaño del papel
centering, % Zona útil centrada
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% includefoot, % Incluir el pie en el área del texto
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\usepackage[T1]{fontenc} % gestión de fuentes con acentos
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% Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas:
\usepackage{amssymb} % para cargar las fuentes de la A.M.S.
\usepackage{amsmath} % para usar letras griegas en negrita
\usepackage{amsthm} % mejora los entornos tipo-teorema y proof
\usepackage{mathptmx} % fuente Times
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% Bibliografía.
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\usepackage{tikz} % para los dibujos
\usetikzlibrary{babel} % para evitar conflictos entre TikZ y babel
%\usepackage{longtable} % permite saltos de páginas en tablas largas
%------ Enlaces en el pdf
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urlcolor=black]{hyperref}
%------ Cabeceras y pies de página
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%-- Cabecera par y cabecera impar
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{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage}
%-- Pie de página par y pie de página impar
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%-- Cabecera par y cabecera impar
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%-- Pie de página par y pie de página impar
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%------ \S 4.3, p. 93, de The LaTeX Companion 1a ed. (Figura 4.2) (Juan Luis)
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\theoremstyle{plain} % Entornos tipo teorema
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\newtheorem{proposicion}[teorema]{Proposición}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema} % La misma numeración que 'teorema'
\newtheorem{definicion}[teorema]{Definición}
\theoremstyle{definition} % Entornos tipo definición
\newtheorem*{defin}{Definición} % El asterisco hace que no se numere
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% Conjuntos
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% Vectores
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% Cosas propias
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\begin{document}
\frontmatter % Parte primera del texto
\pagestyle{primeraparte} % Estilo de cabeceras para la parte primera del texto
%\pagenumbering{roman} % Incluido en \frontmatter
%--- PORTADA DEL TFG
\begin{titlepage}
\begin{center}
\null
\vfill
\Huge{\bfseries Una plantilla en {\LaTeX}}\\%
\Huge{\bfseries para el trabajo de fin de grado}
\vfill
\noindent
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{ciencias.png}\\%
\includegraphics[width=100mm]{logoUZ.png}
\end{figure}
\vfill
\Huge{\bfseries Sixto José Martínez Gan}\\%
\Huge{Trabajo de fin de grado de Matemáticas}\\%
\Huge{Universidad de Zaragoza}\\%
\vfill
\huge{Junio de 2025}
\end{center}
\end{titlepage}
%--- FIN DE LA PORTADA
\clearemptydoublepage
%\setcounter{page}{7} % Por si queremos imponer un número de página
%--- RESUMEN
\chapter{Resumen}
%--- FIN DEL RESUMEN
\clearemptydoublepage
\tableofcontents
\clearemptydoublepage
%-------------
\mainmatter % Parte principal del texto
\pagestyle{miestilo} % Estilo de cabeceras para la parte principal del texto
%--- CAPÍTULO 1 DEL TFG
\chapter{Introducción}
% Contar todo lo que sabemos hacer.
Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables, por ejemplo \nolbreaks{$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + xz$}, y estamos trabajando intensivamente con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones como
\begin{equation*}
y^2\diffp{f}{x} + xy\diffp{f}{y} - x^3\diffp{f}{z}, \quad \diffp{f}{x} - \diffp{f}{z}, \quad \text{o} \quad \left(x^2 - y^2\right)\diffp{f}{x} + \left( xy - yz \right)\diffp{f}{y}.
\end{equation*}
Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor es un múltiplo escalar de la propia $f$. Por ejemplo,
\begin{equation*}
x\diffp{f}{x} + y\diffp{f}{y} + z\diffp{f}{z} = x \cdot \left( 2x + z \right) + y \cdot 2y + z \cdot x = 2x^2 + 2y^2 + 2xz = 2f.
\end{equation*}
\todo{¿Cómo de larga debería ser esta introducción? ¿Tiene que <<desvelar>> ya los funcionamientos o solo plantear los problemas que queremos resolver?}¿Cuáles son estas? ¿Qué estructura siguen? ¿Y cómo podemos calcularlas?
\chapter{Módulos}
\section{Conceptos básicos}
Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
\begin{itemize}
\item $(M, +)$ es un grupo abeliano y
\item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned}
&\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\
&a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\
&\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
&1 \cdot m = m
\end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$
\end{itemize}
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
$\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}.
A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
\end{ejemplo}
\todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?}
De aquí en adelante, para todos los resultados, daremos por sentado que $A$ sea un anillo y $M$ un \modulo{A}.
\begin{definicion}
Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \submodulo{A} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores,
\begin{equation*}
\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}},
\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
\end{ejemplo}
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
\begin{equation*}
N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
\end{equation*}
En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$.
\end{definicion}
\begin{definicion} \label{Definición Divisibilidad Módulos}
Sean $m$ y $l$ dos elementos de un \modulo{A} $M$. Diremos que $m$ divide a $l$ si existe $a \in A$ de forma que $am = l$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
\end{definicion}
\section{Homomorfismos}
\begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un homomorfismo de \modulo{A}s si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
\begin{itemize}
\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
\end{itemize}
para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s.
\end{ejemplo}
\begin{lema}
Sean dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ e $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
\end{lema}
Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
\begin{align*}
\partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
p &\mapsto \diffp{p}{x_i}.
\end{align*}
Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto donde residen todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
\begin{equation*}
\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
\end{equation*}
Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
\begin{equation} \label{Definicion Modulo Derivaciones de f}
\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\Kx}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
\end{equation}
Puede verse que si identificamos $\partial_i$ con \vectorbasecanonica{i}, tenemos que \derivaciones{\Kx} es isomorfo a $\Kx^n$ y, por esta misma razón, \derivaciones{f} puede verse como un \submodulo{\Kx} de $\Kx^n$.
\begin{definicion}
Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$.
\end{definicion}
\begin{lema}
Sea $M$ un \modulo{A} noetheriano. Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
\end{lema}
\begin{proof}
[\textsc{Demostración}]
\end{proof}
\begin{lema}
Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
\end{lema}
\begin{proof}
[\textsc{Demostración}]
\end{proof}
\begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por
\begin{equation*}
\Hom{A}{M}{N} := \definicionconjunto{\phi : M \longrightarrow N}{\text{$\phi$ es un homomorfismo de \modulo{A}s}}.
\end{equation*}
\end{definicion}
\begin{definicion}
Se define el módulo dual \dual{M} como el conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ en $A$:
\begin{equation*}
\dual{M} := \Hom{A}{M}{A}.
\end{equation*}
\end{definicion}
\begin{definicion} \label{Definición Módulo Reflexivo}
Sea $\psi : M \rightarrow \dualdual{M}$ el homomorfismo de \modulo{A}s que envía un elemento $m$ de $M$ a la función $\psi\!\left( m \right): \dual{M} \rightarrow A$ que a cada $\phi \in \dual{M}$ le asigna el valor $\phi\!\left( m \right)$:
\begin{align*}
\psi : M &\longrightarrow \Hom{A}{\Hom{A}{M}{A}}{A} \\
m &\longmapsto \psi\!\left( m \right) : \Hom{A}{M}{A} \longrightarrow A \\
&\hspace{3.7cm} \phi \longmapsto \phi\!\left( m \right)
\end{align*}
Diremos que $M$ es un \modulo{A} reflexivo si $M$ es isomorfo a \dualdual{M} por medio de esta aplicación $\psi$.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
Veamos que todo espacio vectorial de dimensión finita es reflexivo. Sea $V$ un \nolbreaks{$K$-espacio vectorial} de dimensión $n$ y con base $\conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n}$. Podemos ver a $V$ como un \modulo{K} y, entonces, \Hom{K}{V}{K} son simplemente las aplicaciones lineales de $V$ en $K$. Cada elemento $\phi$ de \Hom{K}{V}{K} puede representarse como la multiplicación por una matriz, puesto que
\begin{equation*}
\phi\!\left( v \right) = \productoescalar{\vectorhorizontalcuatro{\phi\!\left( v_1 \right)}{\phi\!\left( v_2 \right)}{\hdots}{\phi\!\left( v_n \right)}}{v};
\end{equation*}
y viceversa, es decir, para cualquier vector $w$ de $V$, $v \mapsto \productoescalar{w}{v}$ es un elemento de \Hom{K}{V}{K}. Esta biyección es un isomorfismo de \modulo{K}s, por lo que tenemos que $V$ es isomorfo a \dual{V} y, por consiguiente, a \dualdual{V} también. Con esto hemos demostrado que \dualdual{V} es un \espaciovectorial{K} de la misma dimensión de $V$, pero para verificar que este sea reflexivo debemos cerciorarnos de que la aplicación $\psi$ sea un isomorfismo. Para ello, basta darse cuenta que el kernel de esta es necesariamente el vector nulo, que se corresponde con evaluar todas las aplicaciones de \dual{V} en el $\mathbf{0}$, y por lo tanto $\psi$ es inyectiva; como $V$ y \dualdual{V} son de la misma dimensión, concluimos que $\psi$ es un isomorfismo.
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}
\todo[inline]{Poner ejemplo de un módulo no reflexivo.}
\end{ejemplo}
Una discusión más profunda acerca de los módulos reflexivos y sus propiedades puede encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
\begin{definicion}
Diremos que una expresión del siguiente estilo:
\begin{equation*}
\dots \xrightarrow{\phi_k} M_k \xrightarrow{\phi_{k+1}} M_{k+1} \xrightarrow{\phi_{k+2}} M_{k+2} \xrightarrow{\phi_{k+3}} \dots
\end{equation*}
es una sucesión exacta si se cumple que $\imagen \phi_i = \ker \phi_{i+1}$ para todo $i$.
Para indicar que una aplicación $\phi : M \rightarrow N$ es inyectiva, escribiremos $0 \rightarrow M \xrightarrow{\phi} N$; y para indicar que es sobreyectiva, $M \xrightarrow{\phi} N \rightarrow 0$.
\end{definicion}
Con las secuencias exactas, podemos resumir nuestro problema en una sola expresión. Recordemos que estamos estudiando el \modulo{\Kx} \derivaciones{f}, que es un \submodulo{\Kx} de \derivaciones{\Kx}. Por otro lado, cada derivación $\delta$, cuando se aplica a $f$ nos da lugar a un elemento en el \submodulo{\Kx} $J := \engendrado{\partial_1 f, \dots, \partial_n f}$. Finalmente, a nosotros los elementos que nos interesan son aquellos que sean múltiplos de $f$, es decir, que pertenezcan al \submodulo{\Kx} \engendrado{f}; para poder identificarlo, haremos el cociente de $J$ por \engendrado{f} para que así todas las expresiones de $J$ que sean múltiplos de $f$ vayan al cero. Todo esto lo podemos expresar como sigue:
\begin{equation} \label{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones}
0 \rightarrow \derivaciones{f} \xrightarrow{\iota} \derivaciones{\Kx} \xrightarrow{\kappa} \Kx^n \xrightarrow{\Phi} J \xrightarrow{\pi} \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \rightarrow 0.
\end{equation}
La función $\iota$ es una inclusión, la función $\kappa$ es el homomorfismo que envía $\partial_i$ a \vectorbasecanonica{i}, $\Phi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica.
\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos.
Uno de los principales problemas que tienen los módulos en general es que describirlos es más complicado que en el caso de los espacios vectoriales. Con los espacios vectoriales, sabemos que siempre existe una base y que, dándola, describimos por completo este espacio. En el caso de los módulos, sin embargo, dar una base en el sentido de base de espacio vectorial no siempre es posible. Esto se materializa en el problema de ser capaz de determinar si un elemento en particular se encuentra dentro del módulo.
Veamos cómo se afronta este problema a distintos niveles.
\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable}
Supongamos que tenemos \anillodepolinomios{\reales}{x} ---solo una variable--- como módulo de sí mismo, $f := x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6$ y $g := x^{3} - 9x^{2} + 26x - 24$ dos elementos de este y queremos determinar si el polinomio $p = 3x^7 + 4x^5 - 3x^2 + x + 1$ pertenece al submódulo ---o en este caso, ideal--- $\engendrado{f, g}$. Como \anillodepolinomios{\reales}{x} es un dominio euclídeo, es dominio de ideales principales y, por lo tanto,
\begin{equation*}
\engendrado{f, g} = \engendrado{\gcd \left(f, g\right)} = \engendrado{x^2 - 5x + 6}.
\end{equation*}
Ahora responder la pregunta es mucho más sencillo, ya que $p \in \engendrado{f, g}$ si y solo si $p$ es un múltiplo de $x^2 -5x + 6$. Y eso podemos saberlo utilizando el algoritmo de la división para polinomios:
\begin{equation*}
p = \underset{\text{cociente}}{\underbrace{\left( 3x^5 + 15x^4 + 61x^3 + 215x^2 + 709x + 2252 \right)}} \left( x^2 - 5x + 6 \right) + \underset{\text{resto}}{\underbrace{7007x - 13511}}.
\end{equation*}
El resto es distinto de $0$, por lo que $p$ no pertenece a \engendrado{f, g}.
\end{ejemplo}
Este ejemplo nos señala el camino para investigar la pertenencia a un módulo: primero, debemos encontrar una representación de los generadores para los que un <<algoritmo de la división>> tenga sentido; después, realizamos esta división que debe estar definida de forma que si el <<resto>> es distinto de cero, sepamos que el elemento no pertenece, y si es cero, entonces sí.
Visto así, el ejemplo \eqref{Ejemplo Pertenencia Ideal Una Variable} supone una situación idílica: por ser un dominio de ideales principales, sabemos que vamos a poder representar al conjunto generador con un solo elemento, para el cual tenemos el algoritmo de la división usual definido. Además, sabemos que el resto de este algoritmo de la división arroja la conclusión que buscamos.
El problema aparece cuando empezamos a investigar conjuntos más complicados.
Consideremos ahora el anillo de polinomios $\anillodepolinomios{\reales}{x, y, z}$, un elemento $f: = 4x^2y+ 12xy^2 + \frac{5}{2}xz^3 + x^2yz$ y el ideal $I := \engendrado{f}$. Aquí, no hay problema en conseguir un sistema de generadores que nos permita <<dividir>> puesto que solo hay un elemento. Sin embargo, a la hora de intentar dividir, nos encontramos dudando sobre cómo hacerlo. Tal y como está escrito, podríamos inclinarnos por tomar como el término principal a $4x^2y$ e intentar dividir como lo hacemos en \anillodepolinomios{\reales}{x}, pero hay términos que tienen mayor grado, así que puede que esta forma no nos termine llevando a un resto como buscamos. Pero si decidimos poner a un término de grado máximo, al principio, ¿cuál de los dos deberíamos elegir, $xz^3$ o $x^2yz$? ¿son los dos válidos y nos llevarán al mismo resultado? En resumen, ¿cómo debemos tomar el valor que tenemos que tomar como <<líder>> para dirigir la división?
En el mismo anillo que el ejemplo anterior, consideremos el ideal $I := \engendrado{x + y, xyz, x^2 + y^2 + z^2}$. Con este ideal la situación es todavía peor que con el anterior. ¿Nos sirven estos generadores? ¿Y cómo hacemos para dividir con ellos?
Vemos por lo tanto que en el momento en el que introducimos más variables, perdemos la capacidad de resolver el problema de una forma razonable. Para poder solucionar este problema, deberemos generalizar el algoritmo de la división siguiendo las claves del ejercicio \eqref{Ejemplo Pertenencia Ideal Dos Variables} para que este pueda aplicarse a estos nuevos objetos y, asimismo, deberemos trabajar en una representación del ideal que también nos permita que esto funcione como es debido, para evitar las ambigüedades vistas en este mismo ejercicio.
\section{Graduación de Módulos}
Pensemos con detalle en el algoritmo de la división en un anillo de polinomios familiar como es \anillodepolinomios{\reales}{x}. Al dividir $p = x^3 + 2x^2 - x + 1$ entre $q = x^2 - 1$, buscamos anular el término de mayor grado de $p$ ---$x^3$--- haciendo al mayor término de $q$ ---$x^2$--- alcanzar a este. Es decir, lo que hacemos puede expresarse como
\begin{align*}
x^3 + 2x^2 - x + 1 &= 0q + x^3 + 2x^2 - x + 1 \\
x^3 + 2x^2 - x + 1 &= xq +
\end{align*} \todo[inline]{Completar.}
Como puede apreciarse, el funcionamiento de este algoritmo depende muy fuertemente de la noción de grado de un polinomio. Sin embargo, en el caso de módulos el grado no siempre está claro. Por lo tanto, introducimos el concepto de que un anillo o un módulo esté <<graduado>>.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo. Se dice que es un anillo graduado si existe una descomposición $\bigoplus_{g=0}^{\infty} A_g$ donde $A_g$ es un grupo abeliano para todo $g$ y se cumple que $A_g A_h \subseteq A_{g+h}$ para todo $g$ y $h$.
Sea ahora $M$ un \modulo{A}. Se dice que es un \modulo{A} graduado si existe una descomposición $\bigoplus_{g\in \enteros} M_g$ donde $M_g$ es un grupo abeliano para todo $g$ y se cumple que $A_{h} M_{g} \subseteq M_{g+h}$.
Los elementos de $A_g$ y de $M_g$ se denominan homogeneos de grado $g$.
\end{definicion}
El problema de estos grados es que no nos permiten ordenar los distintos monomios que nos aparecen de forma unívoca. Por ejemplo, en $xyz + x^2y + xy^2$ los tres monomios que aparecen son distintos el uno del otro aunque son del mismo grado. Para solucionar esto, debemos introducir el concepto de orden monomial.
\section{Órdenes monomiales}
El concepto de orden monomial nos permite construir un orden total sobre los monomios de \Kx. Para poder definirlo bien, debemos identificar un monomio en $n$ variables con un vector en $\naturales^n$ que represente sus exponentes, es decir,
\begin{equation*}
x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots x_n^{\alpha_n} \longleftrightarrow \left( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \right).
\end{equation*}
Tomando $\mathbf{\alpha} \in \naturales^n$, notaremos $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$ como $x^\mathbf{\alpha}$. Así pues, podemos tratar
\begin{definicion}
Un orden monomial $>$ es un orden total sobre los monomios en $n$ variables que respeta la multiplicación, es decir, que satisface
\begin{equation*}
x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}
\end{equation*}
para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^{n}$.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}[Orden lexicográfico]
Una posibilidad de ordenar los monomios es como si estos fueran palabras en el diccionario. Por ejemplo, podemos ver $x^3y^2z^4$ como $xxxyyzzzz$ y en $x^2y^4z^4$ como $xxyyyyzzzz$. Así, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$. De manera más formal,
$x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$ si la primera componente no nula por la izquierda de $\alpha - \beta$ es positiva. Con los valores de antes, $x^3y^2z^4 > x^2y^4z^4$ ya que la primera componente de $\left( 3, 2, 4 \right) - \left( 2, 4, 4 \right) = \left( 1, -2, 0 \right)$ es positiva.
Es fácil ver que este orden es, en efecto, un orden monomial ya que si $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta}$, tendremos que la primera componente de $\mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ será positiva, y lo mismo ocurrirá con la de $\mathbf{\alpha} + \mathbf{\gamma} - \left( \mathbf{\beta} + \mathbf{\gamma} \right) = \mathbf{\alpha} - \mathbf{\beta}$ por lo que $x^{\mathbf{\gamma}} x^\mathbf{\alpha} > x^{\mathbf{\gamma}}x^\mathbf{\beta}$.
Para referirnos a este orden en concreto utilizaremos \mayorquelex.
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}[Orden graduado-lexicográfico]
En ocasiones no nos interesará ordenar los monomios con el orden lexicográfico puesto que no tiene en cuenta el grado: $x^2 > xy^{129}z^{34}$. Por lo tanto, podemos definir un orden que tenga en cuenta el grado; en particular, que primero ordene por el grado y, en caso de empate, utilice el orden lexicográfico:
\begin{equation*}
x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \Longleftrightarrow \begin{cases}
\grado{x^\mathbf{\alpha}} > \grado{x^\mathbf{\beta}} \quad \text{o} \\ \grado{x^\mathbf{\alpha}} = \grado{x^\mathbf{\beta}} \; \text{y} \; x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
\end{cases}
\end{equation*}
Este orden monomial es el \nolbreaks{graduado-lexicográfico} y se denota por \mayorquedeglex.
\end{ejemplo}
Para poder generalizar este concepto a un módulo como $\Kx^r$ primero tenemos que aclarar qué es un monomio en este anillo. La elección es bastante natural cuando consideramos que un elemento de, por ejemplo, $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ como puede ser $\begin{psmallmatrix}
2xy + y^2 \\ x^3 \\ y
\end{psmallmatrix}$ puede escribirse como $2xy\euno + y^2\euno + x^3\edos + y\etres$. Así que a las expresiones de la forma $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ con $i \in \left\lbrace 1, \dots, n \right\rbrace$ las llamaremos monomios de \Kx.
\begin{definicion}
Sea $>$ un orden monomial en \Kx. Un orden monomial de módulos $>_\text{mód}$ es un orden total sobre los monomios de $\Kx^r$ que es compatible con la estructura de \modulo{\Kx} de $\Kx^r$ y con el orden $>$, es decir, que satisface
\begin{itemize}
\item $x^{\mathbf{\alpha}}\vectorbasecanonica{i} >_\text{mód} x^{\mathbf{\beta}}\vectorbasecanonica{j} \implies x^{\mathbf{\alpha}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{i} >_\text{mód} x^{\mathbf{\beta}}x^\mathbf{\gamma}\vectorbasecanonica{j}\quad$ y
\item $x^\mathbf{\alpha} > x^\mathbf{\beta} \implies x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} > x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$
\end{itemize}
para todo $\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}$ y $\mathbf{\gamma}$ en $\naturales^n$ e $i$ y $j$ en $\left\lbrace 1, \dots, r \right\rbrace$.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
La extensión natural del orden monomial \mayorquelex{} a los monomios de $\Kx^n$ es ordenar primero en función de la posición, haciendo que las primeras posiciones vayan antes que las últimas ---por ejemplo $\vectorbasecanonica{2} > \vectorbasecanonica{3}$---, y si hubiese un empate, entonces se utilizase el orden \mayorquelex. Así definimos el siguiente orden monomial de módulos:
\begin{equation} \label{Definicion Orden Lexicográfico Módulos}
x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i} > x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j} \Longleftrightarrow \begin{cases}
i < j \quad \text{o} \\
i = j \ \text{y} \ x^\mathbf{\alpha} \mayorquelex x^\mathbf{\beta}.
\end{cases}
\end{equation}
Sin embargo, podríamos haber tomado la decisión de que primero se comparasen $x^\mathbf{\alpha}$ y $x^\mathbf{\beta}$ y, en caso de empate, se hubiesen mirado las posiciones. Ambas posibilidades dan lugar a órdenes monomiales de módulos distintos: %Poner otra ecuación de definición con el otro orden.
Vemos pues que es necesario aclarar si la posición de los monomios debe ser evaluada antes o después, así que denotamos a estos órdenes como \mayorquemodular{POS}{LEX} para el correspondiente a la definición \eqref{Definicion Orden Lexicográfico Módulos} y \mayorquemodular{LEX}{POS} para aquel que primero compara según el orden lexicográfico y después según la posición.
Por ver un caso concreto, $xy\edos \mayorquelexpos y^3\euno$ pero $y^3\euno \mayorqueposlex xy\edos$.
Esta generalización que hemos hecho no está limitada a \mayorquelex, también se podría realizar con otros órdenes como \mayorquedeglex. Incluso se podrían permutar las posiciones para obtener todavía más órdenes.
\end{ejemplo}
Con el concepto de orden monomial de módulos damos el primer paso en dirección a la respuesta de las preguntas con las que abríamos el capítulo. Ahora, podemos dar algunas respuestas a las preguntas que nos aparecían en los ejemplos \eqref{Ejemplo Ideal Principal Tres Variables} y \eqref{Ejemplo Ideal Tres Variables Varios Generadores}.
\begin{definicion}
Sea $p := c_1x^\mathbf{s_1}\vectorbasecanonica{i_1} + c_2x^\mathbf{s_2}\vectorbasecanonica{i_2} + \dots + c_mx^\mathbf{s_m}\vectorbasecanonica{i_m}$ un polinomio de $\Kx^r$ y $>$ un orden monomial de módulos. Sea $k \in \left\lbrace 1, \dots, m \right\rbrace$ de forma que $x^\mathbf{s_k}$ sea el máximo del conjunto de monomios de $p$ según el orden $>$, entonces
\begin{itemize}
\item el monomio líder de $p$ se denomina $\LM{p}:= x^\mathbf{s_k}\vectorbasecanonica{i_k}$;
\item el coeficiente líder de $p$ es el coeficiente que acompaña al monomio líder en $p$ y se define como $\LC{p} := c_k$;
\item el término líder de $p$ es $\LT{p} := \LC{p}\LM{p}$.
\end{itemize}
\end{definicion}
Con este aparataje ya tenemos una noción de cuáles son los términos <<importantes>> dentro de un polinomio, lo cual nos hace empezar a vislumbrar cómo dividir uno por otro. Lo primero es entender cuándo pueden dividirse dos monomios de $\Kx^r$. Según la definición \ref{Definición Divisibilidad Módulos}, para $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ dos monomios de \Kx{} tenemos que $x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ divide a $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{j}$ si $i = j$ y $x^\mathbf{\alpha} \vert x^\mathbf{\beta}$. Ahora sí, podemos dar un algoritmo de la división en $\Kx^r$. Este consiste en imitar el algoritmo usual para dividir un polinomio por otro en una variable; pero en este caso, en vez de guiarnos por el grado para encontrar los términos <<principales>> del cociente y el dividendo, utilizamos el término líder.
\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Simple}
Supongamos que tenemos dos polinomios $f$ y $g$ en $\Kx^n$ junto con un orden monomial sobre este. Para dividir $f$ entre $g$ aplicaremos un algoritmo que consiste en replicar el algoritmo que ya conocemos para los polinomios en una variable. Sin embargo, ahora los términos que guían los coeficientes que vamos poniendo son $\LT{f}$ y $\LT{g}$:
\begin{algorithmic}[1]
\State Definimos $D \gets f$, $d \gets g$, $c \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente.
\Repeat
\While{$\LM{d} \vert \LM{D}$}
\State Sea $m \in \Kx$ de forma que $\LM{D} = m\LM{d}$.
\State $D \gets D - m d$, $c \gets c + m$
\EndWhile
\State $D \gets D - \LM{D}$, $r \gets r + \LM{D}$
\Until{$D = 0$}
\end{algorithmic}
Al finalizar este algoritmo, tendremos que $f = c g + r$ donde ninguno de los términos de $r$ es divisible por \LM{g}.
\end{definicion}
La única novedad de este algoritmo con respecto al que ya conocemos de polinomios en una sola variable es la instrucción de la línea 6. En ella, le sustraemos a $D$ su término líder y repetimos todo el proceso otra vez con el resto de términos de $D$. Esto lo hacemos para reducir todo lo posible el resto, garantizando que ninguno de sus términos sea divisible por \LM{g}. De no hacer esto, solo podríamos garantizar que, al final de la ejecución, $\LT{D}$ no es divisible por $\LT{g}$.
\begin{ejemplo}
Sean $f := 3x^4\euno + 2x^3\euno + 2x^2y\edos + x^2\euno$ y $g := x^2\euno + 2y\etres$ dos elementos de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^3$ con el orden monomial \mayorquedeglexpos. Aunque hayamos expresado en la definición todo de una forma muy <<programable>>, en esencia, lo que hacemos es bastante similar a una división usual:
\begin{center}
\begin{blockarray}{rrrrrrrcl}
\begin{block}{rrrrrrrc|l}
$3x^4\euno$ & +$2x^3\euno$ & +$2x^2y\edos$ & & +$x^2\euno$ & & & & \cocientecaja{x^2\euno + 2y\etres} \\
$-(3x^4\euno$ & & & $+6x^2y\etres)$ & & & & & $3x^2 + 2x + 1$ \\
\end{block}
\begin{block}{rrrrrrrcl}
\cmidrule{1-5}
& +$2x^3\euno$ & +$2x^2y\edos$ & $-6x^2y\etres\phantom{)}$ & +$x^2\euno$ & & & & \\
& $-(2x^3\euno$ & & & & $+4xy\etres)$ & & & \\ \cmidrule{2-6}
& \tiny 1\textsuperscript{a} iteración: & \sout{$2x^2y\edos$} & \sout{$-6x^2y\etres\phantom{)}$} & +$x^2\euno$ & $-4xy\etres\phantom{)}$ & & & \\
& & \tiny $\uparrow$ 1\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 2\textsuperscript{a} iteración & $-(x^2\euno$ & & $+2y\etres)$ & & \\ \cmidrule{5-7}
& & & & \tiny 3\textsuperscript{a} iteración: & \sout{$-4xy\etres\phantom{)}$} & \sout{$-2y\etres$} & & \\
& & & & & \tiny $\uparrow$ 3\textsuperscript{a} iteración & \tiny $\uparrow$ 4\textsuperscript{a} iteración & & \\
\end{block}
\end{blockarray}
\end{center}
La primera iteración ejecuta el bucle interno dos veces dejando $D = 2x^2y\edos - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$; después, se encuentra con el término líder $2x^2y\edos$, que no es divisible por $\LT{g} = x^2\euno$, así que lo elimina del dividendo, que pasa a ser $D = - 6x^2y\etres + x^2\euno - 4xy\etres$ y lo añade al resto, que pasa a ser $r = 2x^2y\edos$. En la segunda iteración el término líder sigue sin ser divisible por \LT{g}; así que lo eliminamos del dividendo y lo añadimos al resto. En la tercera iteración, $\LT{D} = x^2\euno$ sí es divisible por \LT{g}, por lo que procedemos como en la primera iteración primero reduciendo y después pasando el término líder que queda al resto. En la última iteración, volvemos a retirar el término líder y ya nos encontramos en la situación de salida del algoritmo.
El resultado puede leerse como
\begin{equation*}
f = \left( 3x^2 + 2x + 1 \right)g + \underbrace{2x^2y\edos - 6x^2y\etres - 4xy\etres - 2y\etres}
\end{equation*}
donde ninguno de los términos en la llave es divisible por \LT{g}.
\end{ejemplo}
Cuando obtenemos el resto de $f$ dividido por $g$ lo que esencialmente buscamos es un representante $r$ <<canónico>> de la clase de equivalencia de $f$ en \cociente{\Kx^r}{\engendrado{g}}. En este caso, entendemos canónico como que no tenga ningún término divisible por $\LT{g}$, es decir, que sea <<irreducible>>. Entendida así, la noción de <<dividir>> puede extenderse a submódulos de $\Kx^r$ en general. Es decir, dado cualquier \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$, podemos <<dividir>> $f$ por $N$ encontrando el representante <<canónico>> de la clase de $f$ en \cociente{\Kx^r}{N}. En este caso, nuestra idea de canónico será que no haya ningún elemento $g$ en $N$ de forma que $\LT{g}$ sea uno de los términos de este representante. Para formalizar esta idea de división más general, necesitamos de algunos resultados previos.
\begin{definicion}
Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$. El \submodulo{\Kx} de los monomios líderes de $G$ lo denotaremos por
\begin{equation*}
\LM{N} := \engendrado{\LM{g} \vert g \in N}.
\end{equation*}
\end{definicion}
\begin{teorema}[de la base de Hilbert]
Sea $A$ un anillo noetheriano. Entonces el anillo de polinomios \anillodepolinomios{A}{x_1, \dots, x_n} es también noetheriano.
\end{teorema}
\begin{proposicion} \label{Proposición Kx^r noetheriano}%Proposición 2.1.29 de Singular.
Sea $A$ un anillo noetheriano y $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Entonces, $M$ es un \modulo{A} noetheriano.
\end{proposicion}
Como $K$ es un cuerpo, todos sus ideales son principales, así que es noetheriano. Por el teorema de la base de Hilbert, \Kx{} es noetheriano también. Y por último, por la proposición \ref{Proposición Kx^r noetheriano}, $\Kx^r$ es igualmente noetheriano. Esto es de gran importancia, ya que nos asegura que es suficiente con tener un algoritmo de la división para $N$ finitamente generado.
\begin{definicion} \label{Algoritmo de la División Compuesta}
Sean $f$ un elemento y $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$. Definimos el algoritmo de la división de $f$ entre $N$ como sigue:
\begin{algorithmic}[1]
\State Definimos $D \gets f$, $d_i \gets g_i$, $c_i \gets 0$ y $r \gets 0$ como las variables que representan el dividendo, los divisores, los cocientes y el resto, respectivamente.
\Repeat
\While{haya algún $i$ de forma que $\LM{d_i} \vert \LM{D}$}
\State Sea $i$ de forma que $\LM{d_i} \vert \LM{D}$.
\State Sea $m \in \Kx$ de forma que $\LM{D} = m\LM{d_i}$.
\State $D \gets D - m d_i$, $c_i \gets c_i + m$
\EndWhile
\State $D \gets D - \LM{D}$, $r \gets r + \LM{D}$
\Until{$D = 0$}
\end{algorithmic}
\end{definicion}
En este caso, procedemos como en el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Simple} pero, en vez de intentar reducir en cada paso por un solo divisor, buscamos si alguno de todos ellos nos sirve para anular \LM{D} y, en caso de que sí, lo utilizamos para reducir. Nótese que puede haber varios, en cuyo caso, puede elegirse el que se prefiera.
Pudiera parecer que ya hemos solucionado el problema que planteábamos al principio del capítulo puesto que ya tenemos un algoritmo de la división y además sabemos que todos los submódulos de $\Kx^n$ son finitamente generados. Sin embargo, todavía podemos encontrarnos con casos como el siguiente:
\begin{ejemplo} \label{Ejemplo Fallo División}
Supongamos que $N := \engendrado{x\euno + y\edos, y\euno + x\edos}$ es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x,y}} de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y queremos saber si $f := x^2\edos - y^2\edos$ pertenece a $N$. Al aplicar el algoritmo de la división siguiendo el orden \mayorqueposlex{} de \ref{Algoritmo de la División Compuesta} nos encontramos que ninguno de los dos generadores de $N$ puede reducir a $f$, por lo tanto el resto es el propio $f$. Como el resto es distinto de $0$, estaríamos tentados a decir que $f$ no pertenece a $N$, pero démonos cuenta de que $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$ y, por ende, sí que pertenece.
\end{ejemplo}
¿Qué es lo que ocurre aquí? Si nos fijamos, en la operación $f = -y\left( x\euno + y\edos \right) + x\left( y\euno + x\edos \right)$, los términos líderes de sendos generadores ---$x\euno$ e $y\euno$--- se anulan, por lo que el término líder de esta combinación es menor que los términos líderes de los generadores. En general, esto lo que nos muestra es que $\LM{N}$ no tiene que ser igual a $\engendrado{\LM{x\euno + y\edos}, \LM{y\euno + x\edos}}$. Esto supone un duro golpe para nuestros algoritmos de la división, ya que cuando para un \submodulo{\Kx} $N = \engendrado{g_1, \dots, g_k}$ tengamos que $\LM{N} \neq \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}$, aunque el resto sea distinto de $0$, no podremos garantizar que el elemento esté fuera de $N$. Por supuesto, si el resto es $0$ sí que podemos garantizar que sí está.
Para solucionar este problema, necesitamos encontrar una representación de los submódulos algo mejor. Esta mejor representación se conoce como base de Gröbner.
\section{Bases de Gröbner}
Para conseguir esta mejor representación, simplemente exigimos la condición que discutíamos en la sección anterior.
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ con un orden monomial de módulos $>$ y $G$ un subconjunto de $N$. Este subconjunto $G$ es una base de Gröbner de $N$ si $N = \engendrado{G}$ y $\engendrado{\LM{G}} = \LM{\engendrado{G}}$.
\end{definicion}
Para verificar si esta clase de conjuntos generadores soluciona de una vez por todas estos problemas, necesitamos unos resultados intermedios.
\begin{lema}[de Dickson]
Sea \nolbreaks{$N \subseteq \naturales^n$} e $I := \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \ \vert \ \mathbf{\alpha} \in N}$ un ideal monomial. Entonces existen $\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2, \dots, \mathbf{\alpha}_k$ en $N$ de forma que \nolbreaks{$I = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}}$}.
\end{lema}
Aunque el lema de Dickson habla de ideales monomiales dentro del anillo de polinomios \Kx, extenderlo a submódulos es inmediato. Si pensamos en un \submodulo{\Kx} $N$ de $\Kx^r$ generado por monomios, es decir $N := \engendrado{x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i_\mathbf{\alpha}} \vert \mathbf{\alpha} \in J}$ donde $J \subset \naturales^n$, podemos expresarlo como
\begin{align*}
N &= \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = 1}\euno + \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = 2}\edos + \dots + \engendrado{x^\mathbf{\alpha} \vert \mathbf{\alpha} \in J \ \text{e} \ i_\mathbf{\alpha} = r}\vectorbasecanonica{r}; \\
\intertext{por el lema anterior, cada uno de estos <<coeficientes>> que acompañan a los vectores \vectorbasecanonica{i} es un ideal monomial finitamente generado;}
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}}\euno + \engendrado{x^{\mathbf{\beta}_1}, x^{\mathbf{\beta}_2}, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}}\edos + \dots + \engendrado{x^{\mathbf{\gamma}_1}, x^{\mathbf{\gamma}_2}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}}\vectorbasecanonica{r} \\
&= \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\euno, x^{\mathbf{\alpha}_2}\euno, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_{k_1}}\euno, x^{\mathbf{\beta}_1}\edos, x^{\mathbf{\beta}_2}\edos, \dots, x^{\mathbf{\beta}_{k_2}}\edos, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_1}\vectorbasecanonica{r}, x^{\mathbf{\gamma}_2}\vectorbasecanonica{r}, \dots, x^{\mathbf{\gamma}_{k_r}}\vectorbasecanonica{r}}.
\end{align*}
Este resultado nos permite ver una condición más fuerte sobre los \submodulo{\Kx}s monomiales de $\Kx^r$: no solo son finitamente generados, como ya sabíamos gracias a la proposición \ref{Proposición Kx^r noetheriano}; sino que además admiten conjuntos generadores finitos formados por monomios.
\begin{lema}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$ de forma que $N = \engendrado{x^{\mathbf{\alpha}_1}\vectorbasecanonica{i_1}, x^{\mathbf{\alpha}_2}\vectorbasecanonica{i_2}, \dots, x^{\mathbf{\alpha}_k}\vectorbasecanonica{i_k}}$. Un monomio $x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$ pertenece a $N$ si y solo si es un múltiplo de alguno de los monomios generadores. En otras palabras, existe $j \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ de forma que $x^{\mathbf{\alpha}_j}\vectorbasecanonica{i_j} \vert x^\mathbf{\beta}\vectorbasecanonica{i}$.
\end{lema}
Este pequeño resultado nos da una forma bastante rápida de determinar si un monomio pertenece o no a un \submodulo{\Kx} monomial de $\Kx^r$. Démonos cuenta de que esto es justo lo que hacemos cuando intentamos reducir el término líder de $f$ en el algoritmo de la división de \ref{Algoritmo de la División Compuesta}. Con todo esto, ya damos la respuesta final a la pregunta que abre el capítulo.
\begin{teorema}
Sea $N$ un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$ y sea $G = \left\lbrace g_1, g_2, \dots, g_k \right\rbrace$ una base de Gröbner de $N$. Un elemento $f$ de $\Kx^r$ pertenece a $N$ si y solo si el resto de $f$ dividido por $G$ según el algoritmo \ref{Algoritmo de la División Compuesta} es $0$.
\end{teorema}
\begin{proof}
Como ya mencionamos antes, si el resto es $0$ ya sabemos que $f \in N$. Asumamos ahora que el resto no es cero. Eso quiere decir que en alguna iteración nos hemos encontrado con que $\LM{D}$ no es divisible por ninguno de los $\LM{g_i}$. En todo momento, $D$ es de la forma $f - g$ donde $g$ es una combinación lineal de los elementos de $G$. Por lo tanto, si $\LM{D}$ no pertenece a \engendrado{\LM{g_1}, \dots, \LM{g_k}}, como $G$ es una base de Gröbner, tampoco pertenecerá a $\LM{N}$ y, por lo tanto, $f-g \notin N$ lo cual, como $g$ sí que pertenece a $N$, es equivalente a decir que $f \notin N$.
\end{proof}
Con todo esto, ya tenemos una solución al problema de la pertenencia de un elemento a un submódulo: obtener la base de Gröbner del submódulo y dividir por ella para ver si el resto es nulo o no. Sin embargo, no tenemos garantías de que existan bases de Gröbner para todos los submódulos y, en caso de que sí las haya, tampoco sabemos cómo calcularlas.
Recordemos el problema que nos habíamos encontrado en \ref{Ejemplo Fallo División}. En este ejemplo, había monomios líderes ocultos en los términos de los generadores. Para desenmascararlos, lo que haremos será lo que vimos en ese ejemplo: anular los términos libres para forzar a que estos aparezcan. Para eso, dados $f = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{i}$ y $g = x^\mathbf{\alpha}\vectorbasecanonica{j}$ elementos de $\Kx^r$ y $a$ y $b$ elementos de \Kx{} de forma que $a\LM{f} = b\LM{g} = \mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right)$\footnote{Aquí podría haber un pequeño malentendido con la noción de mínimo común múltiplo: por ejemplo, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de $xy^2$ y $x^2y$ en \anillodepolinomios{\reales}{x, y}? Lo natural sería decir $x^2y^2$, que es nuestra convención, pero también sería válido decir $3x^2y^2$ ya que ambos tienen el mismo orden monomial. Ambos serían válidos, pero siempre nos referiremos a aquel que no está multiplicado por constante.}, definimos la siguiente expresión:
\begin{equation*}
\spoly{f}{g} = \begin{cases}
\frac{a}{\LC{f}}f - \frac{b}{\LC{g}}g \ \text{si $i = j$;} \\
0 \ \text{si $i \neq j$.}
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{ejemplo}
Sean $f = 3x^2y\euno + 2x\edos$ y $g = 13x\euno + y^5\edos$ elementos de $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ con el orden \mayorquelexpos. Como $\LM{f} = x^2y\euno$ y $\LM{g} = x\euno$ están en la misma componente ---\euno---, y $\mathrm{mcm}\left(\LM{f}, \LM{g}\right) = x^2y = \LM{f} = xy\LM{g}$, tenemos que
\begin{equation*}
\spoly{f}{g} = \frac{1}{3}\left( 3x^2y\euno + 2x\edos \right) + \frac{xy}{13} \left( 13x\euno + y^5\edos \right) = \frac{2}{3}x\edos + \frac{1}{13}xy^6\edos.
\end{equation*}
Nótese que esto desvela a $x\edos$ como un monomio líder en $\LM{\engendrado{f, g}}$.
\end{ejemplo}
En esencia, lo que buscaremos hacer es evaluar las parejas de polinomios en el conjunto generador a través de esta expresión, si nos descubren un monomio líder nuevo, lo incorporamos a la base y, si no, seguimos.
\begin{definicion}
Sea $G := \left\lbrace g_1, \dots, g_k \right\rbrace$ y $N := \engendrado{G}$. El algoritmo que utilizaremos para obtener una base de Gröbner para $N$, llamado el Algoritmo de Buchberger, se define como sigue:
\begin{algorithmic}[1]
\State Definimos $d_i \gets g_i$ para $i \in \left\lbrace 1, \dots, k \right\rbrace$ y $t \gets k$.
\While{hayan $i$ y $j$ en $\left\lbrace 1, \dots, t \right\rbrace$ de forma que el resto de $\spoly{g_i}{g_i}$ entre $d_1, \dots, d_t$ no sea $0$}
\State Sean $i$ y $j$ una de esas posibles parejas.
\State Sea $r$ el resto de dividir \spoly{g_i}{g_j} entre $d_1, \dots, d_t$.
\State $d_{t+1} \gets r$
\State $t \gets t+1$
\EndWhile
\end{algorithmic}
Al final del algoritmo, $\left\lbrace d_1, \dots, d_t \right\rbrace$ es una base de Gröbner de $N$.
\end{definicion}
El funcionamiento de este algoritmo se sustenta en dos pilares. El primero es que, como cada vez que añadimos un nuevo elemento este es un resto, tenemos que los \submodulo{\Kx} \engendrado{\LM{d_1}, \dots, \LM{d_t}} forman una cadena ascendente la cual, por ser $\Kx^r$ noetheriano, debe finalizar en algún momento. Por esto mismo, el algoritmo termina. El segundo es el criterio que garantiza que nuestro conjunto generador sea una base de Gröbner.
\begin{teorema}[criterio de Buchberger]
Sea $G$ un subconjunto de $\Kx^r$ equipado con un orden monomial de módulos $>$. $G$ es una base de Gröbner de \engendrado{G} si y solo si para toda pareja de elementos $f$ y $g$ en $G$ se tiene que el resto de $\spoly{f}{g} = 0$ entre $G$ es $0$.
\end{teorema}
\begin{proof}
contenidos...
\end{proof}
\section{Sicigias}
En la sección anterior hemos solucionado el problema de pertenencia a un \submodulo{\Kx} de $\Kx^r$, pero necesitamos conocer los generadores de este submódulo. Por lo tanto, hasta el momento solo hemos resuelto la mitad del problema ya que para $\derivaciones{f}$ todavía no sabemos calcular todavía un conjunto de generadores. Para poder hacer esto, introducimos el concepto de sicigia, una noción que extiende el concepto de solución de un sistema lineal en el caso de un espacio vectorial.
\begin{definicion}
Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Una sicigia de los elementos $f_1, f_2, \dots, f_k$ es una \nolbreaks{$k$-tupla} $\left( g_1, g_2, \dots, g_k \right)$ de elementos de $A$ de forma que $f_1g_1 + f_2g_2 + \dots + f_kg_k = 0$.
\end{definicion}
Nótese que el conjunto de sicigias de $f_1, f_2, \dots, f_k$ forma un \submodulo{A} de $A^k$.
\begin{definicion}
Sean $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $f_1, f_2, \dots, f_k$ elementos de $M$. Denotaremos por $\syz{f_1, f_2, \dots, f_k}$ al \submodulo{A} de $A^k$ formado por todas las sicigias de $f_1, f_2, \dots, f_k$.
\end{definicion}
Véase que \derivaciones{f}, tal y como está definido en \eqref{Definicion Modulo Derivaciones de f} puede expresarse en términos de sicigias:
\begin{align*}
\derivaciones{f} &= \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_1\partial_1f + a_2\partial_2f + \dots + a_n\partial_nf = pf, p \in \Kx}; \\
\intertext{recordemos que podemos ver $\partial_i$ como \vectorbasecanonica{i} a través del isomorfismo $\kappa$ de \eqref{Secuencia Exacta Definición Módulo Derivaciones};}
&\simeq \definicionconjunto{\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) \in \Kx^n}{a_1\partial_1f + a_2\partial_2f + \dots + a_n\partial_nf - pf = 0, p \in \Kx} \\
&= \definicionconjunto{\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) \in \Kx^n}{\left( a_1, a_2, \dots, a_n, p \right) \in \syz{\partial_1f, \partial_2f, \dots, \partial_nf, f}, p \in \Kx}.
\end{align*}
Para poder calcular las sicigias necesitaremos dos resultados. El primero nos permite restringir una base de Gröbner a solamente unas coordenadas.
\begin{lema}
contenidos...
\end{lema}
Con este resultado, ya podemos calcular sicigias.
\begin{teorema}
contenidos...
\end{teorema}
\chapter{El Criterio de Saito}
En capítulo anterior concluíamos con un método para calcular \derivaciones{f} utilizando las sicigias, una herramienta que hemos derivado de las bases de Gröbner. Con estas, podemos obtener un conjunto generador de \derivaciones{f} e incluso una base de Gröbner de este mismo que nos permita determinar si una derivación está o no en el conjunto. Pero otra pregunta de gran importancia aparece cuando consideramos una gran diferencia entre módulos y espacios vectoriales. Así como para estos últimos siempre tenemos que los subespacios admiten una base, en el caso de los módulos no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo}
\todo[inline]{Ejemplo de submódulo de $\Kx^r$ que no admite base.}
\end{ejemplo}
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ es libre si admite una base.
\end{definicion}
El criterio de Saito nos da una forma bastante rápida de determinar si \derivaciones{f} es o no libre.
\begin{teorema}[Criterio de Saito]
Sea $f$ un polinomio de \Kx{} y $\delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n$ derivaciones de \derivaciones{f}. Entonces, \derivaciones{f} es libre si y solo si $\det\left( \delta_1, \delta_2, \dots, \delta_n \right) = uf$ donde $u$ es una unidad de $K$, es decir, un elemento de $K \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$.
\end{teorema}
En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en [\textsc{Referencia al artículo de Vallés}]. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración.
\section{Producto Exterior}
De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos
\cite{SINGULAR}
\todo[inline]{Demostrar que Der R es reflexivo. Propiedades de los modulos reflexivos (libre implica proyectivo implica reflexivo y los conversos condicionados), reflexivo implica libre de torsión, etc como esquema.}
\nocite{*}
\printbibliography
\end{document}
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