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TeX
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TeX
%&pdflatex
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%!TEX TS-program = pdflatex
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%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
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% PLANTILLA PARA UN TRABAJO DE FIN DE GRADO
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% EN EL GRADO DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
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%
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% Mario Pérez Riera
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% Área de Análisis Matemático, Universidad de Zaragoza
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% Última modificación: 1 de agosto de 2021
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% Escrito para pdfLaTeX
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%
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\documentclass[11pt]{book}
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% Paquetes y fuentes
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%---------------------------------------------------------------------------
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\usepackage{geometry} % define las dimensiones de la página
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\geometry{
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a4paper, % Tamaño del papel
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centering, % Zona útil centrada
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margin = 25mm, % Márgenes en blanco: 25mm
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% includehead, % Incluir la cabecera en el área del texto
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% includefoot, % Incluir el pie en el área del texto
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}
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\usepackage[utf8]{inputenc} % para usar el teclado normalmente
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\usepackage[spanish]{babel} % selecciona idioma
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\usepackage[T1]{fontenc} % gestión de fuentes con acentos
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\usepackage{graphicx}
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\graphicspath{{C:/Users/usuario/Dropbox/Carrera_5/Asignaturas/TFG/Imagenes_y_Figuras/Identidad_Corporativa_Universidad_de_Zaragoza}}
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% Si alguno de estos paquetes no los vas a usar, mejor los quitas:
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\usepackage{amssymb} % para cargar las fuentes de la A.M.S.
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\usepackage{amsmath} % para usar letras griegas en negrita
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\usepackage{amsthm} % mejora los entornos tipo-teorema y proof
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\usepackage{mathptmx} % fuente Times
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\usepackage{diffcoeff}
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\usepackage{nolbreaks}
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\usepackage{nicefrac}
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%\usepackage{lmodern} % fuente Times
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\usepackage{tikz} % para los dibujos
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\usetikzlibrary{babel} % para evitar conflictos entre TikZ y babel
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%\usepackage{longtable} % permite saltos de páginas en tablas largas
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%------ Enlaces en el pdf
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\usepackage{url}
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\usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black,
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urlcolor=black]{hyperref}
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%------ Cabeceras y pies de página
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\usepackage{titleps}
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\newpagestyle{miestilo}{
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%-- Cabecera par y cabecera impar
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\sethead[\thepage][][\textsl{\chaptername\ \thechapter. \chaptertitle}]
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{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage}
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%-- Pie de página par y pie de página impar
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%\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][]
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%{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{}
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}
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\newpagestyle{primeraparte}{
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%-- Cabecera par y cabecera impar
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\sethead[\thepage][][\textsl{\chaptertitle}]
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{\textsl{Una plantilla para el TFG \ - \ Mario Pérez Riera}}{}{\thepage}
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%-- Pie de página par y pie de página impar
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%\setfoot[][\textsl{\thesection. \sectiontitle}][]
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%{}{\textsl{\thesection. \sectiontitle}}{}
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}
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%------ \S 4.3, p. 93, de The LaTeX Companion 1a ed. (Figura 4.2) (Juan Luis)
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\newcommand{\clearemptydoublepage}{\newpage{\pagestyle{empty}\cleardoublepage}}
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\newcommand{\sectionmarkwithoutsections}[1]{\markright{#1}}
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\makeindex
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\theoremstyle{plain} % Entornos tipo teorema
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\newtheorem{teorema}{Teorema}[chapter]
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\newtheorem{proposicion}[teorema]{Proposición}
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\newtheorem{lema}[teorema]{Lema} % La misma numeración que 'teorema'
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\newtheorem{definicion}[teorema]{Definición}
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\theoremstyle{definition} % Entornos tipo definición
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\newtheorem*{defin}{Definición} % El asterisco hace que no se numere
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%\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo}
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\newtheorem{ejemplo}[teorema]{Ejemplo}
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% Conjuntos
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\usepackage[pizarra, barra]{conjuntos_TFG}
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% Vectores
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\usepackage[negrita, parentesis, vertical]{vectores_TFG}
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% Cosas propias
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\newcommand{\modulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-módulo}}
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\newcommand{\submodulo}[1]{\nolbreaks{\ensuremath{#1}-submódulo}}
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\DeclareMathOperator{\imagen}{im}
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\usepackage[loadshadowlibrary, shadow, textwidth=20mm, textsize=tiny]{todonotes}
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\newcommand{\engendrado}[1]{\ensuremath{\left\langle #1 \right\rangle}}
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\newcommand{\anillodepolinomios}[2]{\ensuremath{#1\!\left[#2\right]}}
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\newcommand{\LT}[1]{\ensuremath{\text{LT}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\LM}[1]{\ensuremath{\text{LM}\left(#1\right)}}
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\newcommand{\syz}[1]{\ensuremath{\text{syz}\left(#1\right)}}
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\DeclareMathOperator{\grado}{grado}
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\newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}}
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\begin{document}
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\frontmatter % Parte primera del texto
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\pagestyle{primeraparte} % Estilo de cabeceras para la parte primera del texto
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%\pagenumbering{roman} % Incluido en \frontmatter
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%--- PORTADA DEL TFG
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\begin{titlepage}
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\begin{center}
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\null
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\vfill
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\Huge{\bfseries Una plantilla en {\LaTeX}}\\%
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\Huge{\bfseries para el trabajo de fin de grado}
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\vfill
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\noindent
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\includegraphics[width=100mm]{ciencias.png}\\%
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\includegraphics[width=100mm]{logoUZ.png}
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\end{figure}
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\vfill
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|
\Huge{\bfseries Sixto José Martínez Gan}\\%
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\Huge{Trabajo de fin de grado de Matemáticas}\\%
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\Huge{Universidad de Zaragoza}\\%
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\vfill
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\huge{Junio de 2025}
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\end{center}
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\end{titlepage}
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%--- FIN DE LA PORTADA
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\clearemptydoublepage
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%\setcounter{page}{7} % Por si queremos imponer un número de página
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%--- RESUMEN
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\chapter{Resumen}
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%--- FIN DEL RESUMEN
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\clearemptydoublepage
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\tableofcontents
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\clearemptydoublepage
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%-------------
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\mainmatter % Parte principal del texto
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\pagestyle{miestilo} % Estilo de cabeceras para la parte principal del texto
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%--- CAPÍTULO 1 DEL TFG
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\chapter{Introducción}
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Supongamos que tenemos un polinomio en varias variables, por ejemplo \nolbreaks{$f(x, y, z) := x^2 + y^2 + xz$}, y estamos trabajando intensivamente con combinaciones lineales polinómicas de sus derivadas parciales de primer orden, es decir, expresiones como
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\begin{equation*}
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y^2\diffp{f}{x} + xy\diffp{f}{y} - x^3\diffp{f}{z}, \quad \diffp{f}{x} - \diffp{f}{z}, \quad \text{o} \quad \left(x^2 - y^2\right)\diffp{f}{x} + \left( xy - yz \right)\diffp{f}{y}.
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\end{equation*}
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Entre las muchas preguntas que podemos hacernos se encuentra saber cuáles son aquellas cuyo valor es un múltiplo escalar de la propia $f$. Por ejemplo,
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\begin{equation*}
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x\diffp{f}{x} + y\diffp{f}{y} + z\diffp{f}{z} = x \cdot \left( 2x + z \right) + y \cdot 2y + z \cdot x = 2x^2 + 2y^2 + 2xz = 2f.
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\end{equation*}
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\todo{¿Cómo de larga debería ser esta introducción? ¿Tiene que <<desvelar>> ya los funcionamientos o solo plantear los problemas que queremos resolver?}¿Cuáles son estas? ¿Qué estructura siguen? ¿Y cómo podemos calcularlas?
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\chapter{Módulos}
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\todo[inline]{¿Hace falta introducir las definiciones de anillo y espacio vectorial o se dan por hechas?}
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Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
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\begin{itemize}
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\item $(M, +)$ es un grupo abeliano y
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\item se cumple que $\left\lbrace \begin{aligned}
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&\left( a + b \right) \cdot m = a\cdot m + b \cdot m, \\
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&a \cdot \left( m+n \right) = a\cdot m + a\cdot n, \\
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&\left( ab \right) \cdot m = a\cdot \left( b\cdot m \right) \;\; \text{y} \\
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|
&1 \cdot m = m
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\end{aligned} \right. \quad \text{para todo $a$ y $b$ en $A$ y $m$ y $n$ en $M$.}$
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\end{itemize}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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$\enteros^n$ es un \modulo{\enteros} con las operaciones naturales. En general, dado cualquier anillo $A$, $A^n$ es también un \modulo{A} con las operaciones componente a componente. Trivialmente, el propio $A$ es un \modulo{A}.
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La definición de espacio vectorial es más restrictiva que la de módulo, por lo que todo \nolbreaks{$C$-espacio vectorial} donde $C$ es un cuerpo es también un \modulo{C}. Por ejemplo, $\reales^n$ es un \modulo{\reales}.
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A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
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\end{ejemplo}
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\todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Un subconjunto no vacío $N \subseteq M$ se dice que es un \submodulo{A} de $M$ si es un \modulo{A} con las operaciones de $M$ restringidas.
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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|
Si pensamos en \enteros{} como un \modulo{\enteros}, $2\enteros$ es un \submodulo{\enteros}. Esto debería recordarnos a los ideales de \enteros. De hecho, un ideal de un anillo $A$ es un \submodulo{A} del propio $A$.
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Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores,
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\begin{equation*}
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\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}},
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|
\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
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\end{ejemplo}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A} y $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
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\begin{equation*}
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N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
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\end{equation*}
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En el caso que exista algún $G = \conjunto{g_1, g_2, \dots, g_n}$ de forma que $N = \engendrado{G}$ diremos que $N$ está finitamente generado y lo escribiremos como $N = \engendrado{g_1, g_2, \dots, g_n}$.
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\end{definicion}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Una aplicación $\phi: M \longrightarrow N$ se dice que es un homomorfismo de \modulo{A}s si respeta las operaciones de módulo, es decir, si
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\begin{itemize}
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\item $\phi\!\left( m + m' \right) = \phi\!\left( m \right) + \phi\!\left( m' \right)$ y
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\item $\phi\!\left( am \right) = a\phi\!\left( m \right)$
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\end{itemize}
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para todo $m, m' \in M$ y $a \in A$. \todo[inline]{¿Se deberían introducir las nociones de isomorfismo, ser isomorfo, etc?}
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\end{definicion}
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\begin{ejemplo}
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La inclusión de $\enteros^n$ en $\racionales^n$ es un homomorfismo de \modulo{\enteros}s, sin embargo, no es un homomorfismo de \modulo{\racionales}s ya que $\enteros^n$ no es un \modulo{\racionales}.
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|
Por otro lado, la aplicación $\phi: \anillodepolinomios{\complejos}{x, y} \longrightarrow \complejos$ que envía a cada polinomio $p\!\left( x, y \right)$ a $p\!\left(0, 1\right)$ es un homomorfismo de \modulo{\complejos}s.
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\end{ejemplo}
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\begin{lema}
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Sea un anillo $A$, dos \modulo{A}s $M$ y $N$ y un homomorfismo $\phi$ de \modulo{A}s. $\ker \phi$ es un submódulo de $M$ e $\imagen \phi$ es un submódulo de $N$.
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\end{lema}
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\todo[inline]{¿Es apropiado incluir la demostración o es suficientemente obvio?}
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\begin{definicion}
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Sea $A$ un anillo, $M$ un \modulo{A}, $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $\sim$ la siguiente relación de equivalencia sobre $M$: $m \sim m' \Leftrightarrow m - m' \in N$. Definimos el cociente de un módulo por un submódulo como $\cociente{M}{N} := \cociente{M}{\sim}$. Los elementos de este cociente se denotarán por $m + N$.
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\end{definicion}
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Con estas definiciones, ya podemos empezar a expresar los objetos que nos encontrábamos al principio en un lenguaje más formal. Para abreviar la notación, escribiremos $\partial_i$ cuando nos refiramos a la aplicación
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\begin{align*}
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\partial_i : \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} &\rightarrow \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \\
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p(x, y) &\mapsto \diffp{p}{x_i}(x, y).
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|
\end{align*}
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\todo[inline]{¿Hasta qué punto interesa o deja de interesar poner los argumentos de los polinomios?}
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Con estas aplicaciones, pasamos a definir el módulo de derivaciones, el conjunto donde residen todas las posibles combinaciones lineales de derivadas parciales:
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\begin{equation*}
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\derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}} := \definicionconjunto{a_1\partial_1 + a_2\partial_2 + \dots + a_n\partial_n}{a_i \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}} \, \forall i}.
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\end{equation*}
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Es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}. Tomando $f \in \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}$, aquellas derivaciones ---elementos de \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}--- que cuando se aplican a $f$ devuelven un múltiplo escalar forman el submódulo de derivaciones tangentes a $f$:
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\begin{equation*}
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\derivaciones{f} := \definicionconjunto{\delta \in \derivaciones{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}}{\delta\!\left( f \right) \in \engendrado{f}}.
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\end{equation*}
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\begin{definicion}
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|
Sea $A$ un anillo. Diremos que $A$ es noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
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Diremos también que un \modulo{A} $M$ es noetheriano si todo submódulo $N \subseteq M$ está finitamente generado. Es decir, si existen $n_1, n_2, \dots, n_k$ en $N$ de forma que $N = \engendrado{n_1, n_2, \dots, n_k}_A$.
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|
\end{definicion}
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\begin{lema}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A} noetheriano.\todo[inline]{¿A partir de qué momento se pueden suprimir las premisas genéricas?} Los submódulos y módulos cocientes de $M$ son también noetherianos.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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\begin{lema}
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Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Que $M$ sea noetheriano es equivalente a que toda cadena ascendente de submódulos $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \dots$ sea eventualmente estacionaria.
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\end{lema}
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\begin{proof}
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[\textsc{Demostración}]
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\end{proof}
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\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
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\chapter{El Criterio de Saito}
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\end{document} |