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Geometría algebraica¶
Considerar un sistema de ecuaciones polinómicas
$$f_1(x_1,\ldots,x_n)$$ $$f_2(x_1,\ldots,x_n)$$ $$\vdots$$ $$f_m(x_1,\ldots,x_m)$$
El conjunto $V$ de sus soluciones forman una variedad algebraica.
Problema general de la geometría algebraica¶
Estudiar la geometría de $V$ usando la estructura algebraica de las ecuaciones que la definen.
Nos vamos a restringir a los casos más fáciles:
- $m=1, n=2$ (curvas planas)
- $\mathbb{K}=\mathbb{C}$
Resultados clásicos conocidos¶
- Si la curva es lisa: teoría de las superficies de Riemann
- Superficies de género $g=\frac{d(d-1)}{2}$
La proyección sobre el eje $x$ es $2:1$ excepto en $x=\pm 1$
Ejemplo¶
Ejemplo¶
Topología del encaje¶
$C\subseteq \mathbb{C}^2$
Codimensión 2: situación análoga a los nudos
Uno de los invariantes principales es el grupo fundamental del complementario $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C)$
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Lema
Esta construcción determina un morfismo de grupos $\pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\longrightarrow B_d$.
Definición
Este morfismo recibe el nombre de monodromía de trenzas de la curva.
Se puede representar como una lista de trenzas correspondientes a una base geométrica de $\pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)$
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Monodromía de trenzas¶
Teorema (Zariski-Van Kampen)
El grupo fundamental del complementario $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C)$ es el cociente del grupo libre $F_d$ por la acción de la monodromía de trenzas.
Teorema
La monodromía de trenzas determina completamente la topología del par $(\mathbb{C}^2,C)$.
Pares de Zariski¶
La monodromía de trenzas es un objeto algebraico (morfismo de grupos) definido a partir de otro objeto algebraico (ideal en el anillo de polinomios).
Definición
Dos curvas algebraicas $C_1$ y $C_2$ forman un par de Zariski aritmético si
- Los polinomios que las definen $f_1,f_2$ son conjugados de Galois.
- Los grupos fundamentales $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C_1)$ y $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C_2)$ son no isomorfos.
Pares de Zariski¶
Teorema (ACG_)
Existen pares de Zariski aritméticos
Esto implica que la monodromía de trenzas (o el grupo fundamental) no se puede calcular de manera puramente algebraica.
Se necesitan cálculos numéricos, pero certificados.
Cálculo de la monodromía de trenzas¶
Primer paso: elegir los caminos
El Diagrama de Voronoi nos da segmentos que rodean los puntos del discriminante, acercándose lo menos posible.
Cálculo de la trenza sobre un segmento¶
Mediante cambio de variable, podemos normalizar a $[0,1]$
Aritmética intervalar¶
Definición
Un intervalo complejo es un conjunto $$[r_0,r_1]+[i_0,i_1]\cdot i:=\{a+b\cdot i \mid a \in [r_0,r_1], b\in [i_0,i_1]\}\subseteq \mathbb{C}$$
Definición
Dado $Y\subseteq \mathbb{C}$, su clausura intervalar $[Y]$ es el menor intervalo que lo contiene.
Se puede operar con intervalos tomando la clausura intervalar de las operaciones punto a punto.
Los intervalos con estas operaciones no forman un anillo (pero para ciertos efectos, se puede operar como si lo fuera).
Criterio del intervalo de Newton¶
Teorema
Sea $Y$ un intervalo complejo, $y_0\in Y$. Sea $f: Y\longrightarrow \mathbb{C}$ una función holomorfa, tal que $0\in [f'(Y)]$. Si $$ N(f,y_0,Y):=y_0-\frac{f(y_0)}{[f'(Y)]}\subseteq Y $$ entonces $f$ tiene un único cero en $Y$. Además, este cero está en $N(f,y_0,Y)$.
Podemos usar este teorema para asegurar que tenemos un entorno alrededor de una raíz aproximada, que contiene a la raíz auténtica, pero sin tocar a las demás raíces.
Notar que, ya que estamos operando con intervalos, podemos usar intervalos en los propios coeficientes.
Ejemplo¶
$$f = [0.9,1.1]\cdot y^2-1-x$$ $$y_0=1$$ $$Y=[0.5,1.5]$$ $$x_0=0$$
$$N(f,y_0,Y)=1-\frac{[0.9,1.1]-1}{2\cdot[0.9,1.1][0.5,1.5]}=$$
$$=1-\frac{[-0.1,0.1]}{[0.9,3.3]}\approx [0.888,1.111]$$
Ejemplo: extender $x$ a un intervalo¶
$$f = [0.9,1.1]\cdot y^2-1-x$$ $$y_0=1$$ $$Y=[0.5,1.5]$$ $$x=[0,0.25]$$
$$N(f,y_0,Y)=1-\frac{[0.9,1.1]-1-[0,0.25]}{2\cdot[0.9,1.1][0.5,1.5]}=$$
$$=1-\frac{[-0.35,0.1]}{[0.9,3.3]}\approx [0.888,1.13888]$$
Cálculo numérico certificado de la trenza¶
Cálculo numérico certificado de la trenza¶
Cálculo numérico certificado de la trenza¶
Cálculo numérico certificado de la trenza¶
Cálculo numérico certificado de la trenza¶
Cálculo numérico certificado de la trenza¶
SIROCCO: demostración¶
A.<x,y> = AffineSpace(QQ,2) C = A.curve(y^2-x^3-x^2) C.plot((x,-3,3),(y,-3,3))
show(C.fundamental_group())
SIROCCO: demostración¶
C2 = A.curve((x^2+y^2)^2+18*(x^2+y^2) - 27 -8*(x^3-3*x*y^2)) C2.plot((x,-3,3),(y,-3,3))
show(C2.fundamental_group())
Diagramas de Rudolf¶
Definición
Sea $f\in\mathbb{C}[x,y]$, su diagrama de Rudolf es el conjunto $$\{x\in\mathbb{C} \mid \exists y_0\neq y_1, Re(y_0)=Re(y_1), f(x,y_0)=f(x,y_1)=0\}$$
- Como conjunto de $\mathbb{R}^2\cong \mathbb{C}$, es un conjunto semialgebraico
- En general, son difíciles de calcular
Diagramas de Rudolf¶
Diagrama de Rudolf de $(4z^3+12z+3-w^2)^2-8w-48z+52$
Diagramas de Rudolf¶
Diagramas de Rudolf¶
