Rubio_de_francia/castellon.ipynb

Antes de empezar¶

Gracias por la invitación.

Trabajo incipiente.

Motivación, resultados previos e ideas para seguir.

Problema¶

Dada una curva algebraica plana $\mathcal{C}$, estudiar la topología del par $(\mathbb{C}^2,\mathcal{C})$.

Resultados clásicos conocidos¶

• Si la curva es lisa: teoría de las superficies de Riemann
  • Superficies de género $g=\frac{d(d-1)}{2}$

Ejemplo¶

$y^2= x^2-1$

La proyección sobre el eje $x$ es $2:1$ excepto en $x=\pm 1$

Ejemplo¶

Ejemplo¶

Topología del encaje¶

$C\subseteq \mathbb{C}^2$

Codimensión 2: situación análoga a los nudos

Uno de los invariantes principales es el grupo fundamental del complementario $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C)$

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Lema

Esta construcción determina un morfismo de grupos $\pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)\longrightarrow B_d$.

Definición

Este morfismo recibe el nombre de monodromía de trenzas de la curva.

Se puede representar como una lista de trenzas correspondientes a una base geométrica de $\pi_1(\mathbb{C}\setminus \Delta)$

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Monodromía de trenzas¶

Teorema (Zariski-Van Kampen)

El grupo fundamental del complementario $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C)$ es el cociente del grupo libre $F_d$ por la acción de la monodromía de trenzas.

Teorema

La monodromía de trenzas determina completamente la topología del par $(\mathbb{C}^2,C)$.

Pares de Zariski¶

La monodromía de trenzas es un objeto algebraico (morfismo de grupos) definido a partir de otro objeto algebraico (ideal en el anillo de polinomios).

Definición

Dos curvas algebraicas $C_1$ y $C_2$ forman un par de Zariski aritmético si

• Los polinomios que las definen $f_1,f_2$ son conjugados de Galois.
• Los grupos fundamentales $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C_1)$ y $\pi_1(\mathbb{C}^2\setminus C_2)$ son no isomorfos.

Pares de Zariski¶

Teorema (ACG_)

Existen pares de Zariski aritméticos

Esto implica que la monodromía de trenzas (o el grupo fundamental) no se puede calcular de manera puramente algebraica.

Se necesitan cálculos numéricos, pero certificados.

Cálculo de la monodromía de trenzas¶

Primer paso: elegir los caminos

Cálculo de la monodromía de trenzas¶

Primer paso: elegir los caminos

El Diagrama de Voronoi nos da segmentos que rodean los puntos del discriminante, acercándose lo menos posible.

Cálculo de la trenza sobre un segmento¶

Mediante cambio de variable, podemos normalizar a $[0,1]$

Cálculo de la trenza sobre un segmento¶

Mediante cambio de variable, podemos normalizar a $[0,1]$

Cálculo de la trenza sobre un segmento¶

Mediante cambio de variable, podemos normalizar a $[0,1]$

SIROCCO¶

Biblioteca en C++ para calcular trenzas sobre segmentos.

Cálculo numérico, pero certificado mediante aritmética intervalar.

Integrada en SageMath como paquete opcional.

In [1]:

A.<x,y> = AffineSpace(QQ,2)
C = A.curve(y^2-x^3-x^2)
C.plot((x,-3,3),(y,-3,3))  

Out[1]:

In [2]:

show(C.fundamental_group())

<html></html>

SIROCCO: demostración¶

In [3]:

C2 = A.curve((x^2+y^2)^2+18*(x^2+y^2) - 27 -8*(x^3-3*x*y^2))
C2.plot((x,-3,3),(y,-3,3))

Out[3]:

In [4]:

show(C2.fundamental_group())

<html></html>

Diagramas de Rudolf¶

Volviendo a las superficies de Riemann:

Diagramas de Rudolf¶

Volviendo a las superficies de Riemann:

Diagramas de Rudolf¶

Definición

Sea $f\in\mathbb{C}[x,y]$, su diagrama de Rudolf es el conjunto $$\{x\in\mathbb{C} \mid \exists y_0\neq y_1, Re(y_0)=Re(y_1), f(x,y_0)=f(x,y_1)=0\}$$

• En general, son difíciles de calcular

Diagramas de Rudolf¶

Diagrama de Rudolf de $(4z^3+12z+3-w^2)^2-8w-48z+52$

Propiedades de los diagramas de Rudolf¶

• Como conjunto de $\mathbb{R}^2\cong \mathbb{C}$, es un conjunto semialgebraico

• Tienen al discriminante como puntos límite

• Localmente vienen dados por ceros de funciones holomorfas

Casos degenerados¶

• Considerar $y\cdot(x+y)\cdot(x-y)$.

• Para cada $x$, $y\in\{0,x,-x\}$.

• Si dos de estos valores tienen la misma parte real, los tres la tienen.

• Luego el diagrama de Rudolf tiene tres segmentos superpuestos (incluso después de cambio de proyección).

Casos no degenerados¶

Con un cambio de proyección, se pueden suavizar los cruces del mismo par fuera del discriminante:

Casos no degenerados¶

Cruces consecutivos

Propiedades de los diagramas de Rudolf no degenerados¶

• Unión de segmentos lisos que van del infinito al discriminante.

• Cruces triples consecutivos, o simples no consecutivos

• La trenza correspondiente a un camino cerrado:
  • Si no rodea puntos del discriminante, es trivial
  • Si rodea a un punto del discriminante, es la trenza local de la singularidad (determina Puiseux)
  • Modificar el camino para atravesar un cruce, da un movimiento de Tietze en la trenza.

Movimientos de Tietze¶

Diagramas de Rudolf¶

Diagramas de Rudolf¶

Muchas gracias¶

In [ ]:

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