La sucesion look and say ordenada
Observa esta sucesión:
1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, ...
¿Sabrias decir cual es el término siguiente?
Esta sucesión fue popularizada por el matemático británico John Horton Conway. En un interesante video el propio Conway relata como un alumno le propuso un acertijo consistente en descubrir el próximo número de la sucesión siguiente:
1, 11, 21, 1211,…
Puesto que el entonces profesor de Cambridge no supo continuar inmediatamente, el alumno escribió el siguiente elemento de la sucesión:
111221
El profesor seguía sin adivinar cómo continuaba la sucesión, así que el alumno le proporcionó el siguiente término:
312211.
Como relata el propio Conway:
“I knew for the way he was saying it that, somehow, I was supposed to be able to guess. I still didn't […] in the end he had to tell me”.
El acertijo planteado por este alumno lo que actualmente se denomina sucesión look and say con raíz (primer término) el número 1.
Veamos otro ejemplo similar usando otra raíz. Consideremos una cadena de números naturales, por ejemplo:
2 4
Esta cadena se puede describir verbalmente como: “un dos y un cuatro”; es decir:
1 2 1 4
que, a su vez, se puede describir verbalmente como “un uno, un dos, un uno y un cuatro”; es decir:
1 1 1 2 1 1 1 4
Una vez descubierta la regularidad podemos pensar que nos encontramos, citando de nuevo a Conway ante “the stupidest problem you could conceivably imagine, that led to the most complicated answer that you could conceivably imagine”.
De hecho, en 1986 se publicó el trabajo The weird and wonderful chemistry of audioactive decay (Conway, 1986) en el que el autor realiza un estudio de las sucesiones look and say. Las sucesiones look and say admiten una modificación muy sencilla que da lugar a las que denominaremos versión modificada de las sucesiones look and say o sucesiones look and say ordenadas. En este caso, cada elemento de la sucesión es el número obtenido como descripción verbal del anterior, pero contando primero el número total de unos, luego el total de doses, luego el número de treses y así sucesivamente. Por ejemplo, consideremos nuevamente como primer término el 24. La descripción verbal de esta cadena es: “un dos y un cuatro”. Por tanto el segundo término de la sucesión vuelve a ser, como antes, 1214. Ahora, a diferencia de la sucesión look and say original, la descripción verbal es “dos unos, un dos y un cuatro” por lo que el término siguiente es justamente 211214. A pesar de las claras similitudes existentes, las sucesiones look and say ordenadas difieren en muchos aspectos de las sucesiones look and say originales. La principal diferencia es que las sucesiones ordenadas se “estabilizan” siempre (Bronstein y Fraenkel, 1994), esto es, después de un número finito de términos, toda sucesión look and say ordenada presenta ciclos periódicos de longitud finita.