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TFG_Sixto_José_Martínez_Gan.tex
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@ -73,6 +73,7 @@
\usepackage{url}
\usepackage[pdftex, colorlinks=true, citecolor=cyan, linkcolor=black,
urlcolor=black]{hyperref}
\newcommand{\referenciamodomatematico}[2]{\hyperref[#2]{#1 \ref*{#2}}}
%------ Cabeceras y pies de página
\usepackage{titleps}
@ -158,6 +159,11 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\newcommand{\derivaciones}[1]{\ensuremath{\text{Der}\!\left( #1 \right)}}
\newcommand{\nombrefuncionexterior}[2]{\ensuremath{\bigwedge^{#1} #2}}
\newcommand{\funcionexterior}[3]{\ensuremath{\nombrefuncionexterior{#1}{#2}\!\left( #3 \right)}}
\newcommand{\cuerpofracciones}[1]{\ensuremath{\mathrm{Q}\!\left( #1 \right)}}
\begin{document}
\frontmatter % Parte primera del texto
@ -234,7 +240,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
\chapter{Módulos}
\section{Conceptos básicos}
Como hemos podido ver, los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
Los conjuntos con los que estamos trabajando son una generalización de los espacios vectoriales donde los coeficientes pertenecen a un anillo en vez de a un cuerpo. A esta generalización la llamamos módulo.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un conjunto sobre el que hay definidas dos operaciones: una suma, $+: M \times M \rightarrow M$; y una multiplicación escalar, $\cdot: A \times M \rightarrow M$. El conjunto $M$ es un \modulo{A} si
\begin{itemize}
@ -254,7 +260,6 @@ urlcolor=black]{hyperref}
A lo largo de este trabajo será de gran importancia el anillo de polinomios sobre un cuerpo, $\anillodepolinomios{K}{x_1, x_2, \dots, x_n}$, al que denotaremos \anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}. Sobre todo porque a partir de este construimos el conjunto de vectores de polinomios $\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}^n$, que es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{\mathbf{x}}}.
\end{ejemplo}
\todo[inline]{¿Haría falta alguna introducción o hilo conductor para esta definición o es mejor yuxtaponerlas?}
De aquí en adelante, para todos los resultados, daremos por sentado que $A$ sea un anillo y $M$ un \modulo{A}.
\begin{definicion}
@ -265,11 +270,11 @@ urlcolor=black]{hyperref}
Consideremos el \modulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} $\anillodepolinomios{\reales}{x, y}^2$ y tomemos un par de elementos, como pueden ser $\formatovector{u} := \vectordos{x^2y + xy^2}{x + y}$ y $\formatovector{v} := \vectordos{y^3}{x^3}$. El conjunto de combinaciones lineales\todo[fancyline]{¿Es necesario explicar cómo serían las combinaciones lineales de los módulos o con la analogía a espacios vectoriales hecha antes es suficiente?} de estos vectores,
\begin{equation*}
\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}},
\engendrado{\formatovector{u}, \formatovector{v}}_{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}} := \definicionconjunto{a \formatovector{u} + b\formatovector{v}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}} = \definicionconjunto{\vectordos{a\left( x^2y + xy^2 \right) + by^3}{a\left( x + y \right) + bx^3}}{a, b \in \anillodepolinomios{\reales}{x, y}}.
\end{equation*} es un \submodulo{\anillodepolinomios{\reales}{x, y}}. De hecho, a este tipo de módulos los llamaremos submódulos generados por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.
\end{ejemplo}
\begin{definicion}
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$. Diremos que $N$ está generado por $G \subseteq N$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
Sea $N$ un \submodulo{A} de $M$ y $G$ un subconjunto cualquiera de $N$. Diremos que $N$ está generado por $G$ y lo denotaremos como $N = \engendrado{G}$ si
\begin{equation*}
N = \definicionconjunto{a_1g_1 + a_2g_2 + \dots + a_kg_k}{a_i \in A, g_i \in G, k \in \naturales}.
\end{equation*}
@ -333,6 +338,10 @@ urlcolor=black]{hyperref}
[\textsc{Demostración}]
\end{proof}
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A}. Diremos que $M$ es libre de torsión si el único $m \in M$ tal que $am = 0$ para todo $a \in A$ es $0$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
Sean $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. El conjunto de homomorfismos de \modulo{A}s de $M$ a $N$ se denota por
\begin{equation*}
@ -367,6 +376,7 @@ urlcolor=black]{hyperref}
Una discusión más profunda acerca de los módulos reflexivos y sus propiedades puede encontrarse en \cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AUY}{Tag 0AUY}]{STACKS}.
En ocasiones, encadenaremos homomorfismos y podemos necesitar expresar las relaciones entre las imágenes y los núcleos de las distintas aplicaciones. Para expresar esto, utilizaremos las sucesiones exactas.
\begin{definicion}
Diremos que una expresión del siguiente estilo:
@ -383,6 +393,29 @@ urlcolor=black]{hyperref}
0 \rightarrow \derivaciones{f} \xrightarrow{\iota} \derivaciones{\Kx} \xrightarrow{\kappa} \Kx^n \xrightarrow{\Phi} J \xrightarrow{\pi} \frac{J}{J \cap \engendrado{f}} \rightarrow 0.
\end{equation}
La función $\iota$ es una inclusión, la función $\kappa$ es el homomorfismo que envía $\partial_i$ a \vectorbasecanonica{i}, $\Phi$ envía una derivación $\delta$ a su evaluación en $f$ ---$\delta\!\left( f \right)$--- y $\pi$ es simplemente la aplicación canónica.
Un tipo de módulo muy importante en la demostración del Criterio de Saito es el módulo proyectivo, que nos sirve en muchos casos como tipo de módulo intermedio para algunos razonamientos.
\begin{definicion} \label{Definición Módulo Proyectivo}
Un \modulo{A} $P$ es proyectivo si para cada epimorfismo de \modulo{A}s $e : M \rightarrow N$ y cada homomorfismo de \modulo{A} $h: P \rightarrow N$ existe un homomorfismo de \modulo{A}s $\phi : P \rightarrow M$ de forma que $h = e \circ \phi$.
\end{definicion}
\todo[inline]{Aquí habrá que poner el diagrama de las secuencias exactas que expresan esto como en el Lectures.}
\begin{ejemplo}
Sean $M = \cociente{\enteros}{4\enteros}$, $N = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ y $P = \cociente{\enteros}{2\enteros}$ vistos como \modulo{\enteros}s. Como $e$ es un epimorfismo de \modulo{\enteros}s, necesariamente tendremos que $e\!\left( 0 \right) = e\!\left( 2 \right) = 0$ y $e\!\left( 1 \right) = e\!\left( 3 \right) = 1$. Como $h$ simplemente tomaremos la identidad. Sea ahora $\phi$ un homomorfismo de \modulo{\enteros}s cualquiera; existen dos posibilidades para $\phi\!\left( 1 \right)$:
\begin{itemize}
\item si $\phi\!\left( 1 \right) = 0$, entonces $e\!\left( \phi\!\left( 1 \right) \right) = 0 \neq h\!\left( 1 \right)$;
\item si por el contrario $\phi\!\left( 1 \right) = 1$, entonces $\phi\!\left( 0 \right) = \phi\!\left( 2\cdot 1 \right) = 2\phi\!\left( 1 \right) = 2$ y de nuevo llegamos a que $e\!\left( \phi\!\left( 1 \right) \right) = 0 \neq h\!\left( 1 \right)$.
\end{itemize}
En conclusión, $\cociente{\enteros}{2\enteros}$ no es un \modulo{\enteros} proyectivo.
\end{ejemplo}
Damos ahora dos propiedades que nos permitirán relacionar los módulos proyectivos con los libres.
\begin{lema} \label{Lema Libre implica Proyectivo}
Todo módulo libre es proyectivo.
\end{lema}
\begin{proof}
Sea $P$ un \modulo{A} libre con base $\left\lbrace p_1, p_2, \dots, p_k \right\rbrace$ y tomemos el resto de premisas como en la definición \ref{Definición Módulo Proyectivo}. Al ser $P$ un módulo libre, cualquier homomorfismo de \modulo{A}s $\phi: P \rightarrow N$ está unívocamente determinado por las imágenes de la base de $P$. Sean $m_1, m_2, \dots, m_k$ elementos de $M$ de forma que $e\!\left( m_i \right) = h\!\left( p_i \right)$, cuya existencia está garantizada por ser $e$ un epimorfismo. Definiendo $\phi\!\left(p_i \right) := m_i$ tenemos que $e\!\left( \phi\!\left( p_i \right) \right) = h\!\left( p_i \right)$ por lo que $e \circ \phi = h$.
\end{proof}
Una discusión más exhaustiva acerca de los módulos proyectivos en \cite{LIBROPROYECTIVOS}.
\chapter{Bases de Gröbner y Syzygias}
A partir de este momento nos fijaremos en $\Kx^n$ ya que sus elementos son los involucrados en el módulo de derivaciones. En particular nos fijaremos en sus submódulos.
@ -712,9 +745,132 @@ urlcolor=black]{hyperref}
En este capítulo explicaremos la demostración de este resultado que aparecen en [\textsc{Referencia al artículo de Vallés}]. Pero primero, deberemos ilustrar algunas construcciones que se utilizan en dicha demostración.
\section{Producto Exterior}
De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos
De cara a la demostración del Criterio de Saito, utilizaremos una operación que nos será de gran ayuda: el producto exterior. Para entender esta, necesitaremos entender primero el producto tensorial. En esencia, el producto tensorial aparece en el siguiente contexto: supongamos que $M$, $N$ y $O$ son \modulo{A}s donde $A$ es un anillo y tenemos una aplicación $b : M \times N \rightarrow O$ que es bilineal, o sea, que $b\left( \bullet, n \right)$ y $b\left( m, \bullet \right)$ son homorfismos de \modulo{A}s para cualquier $m \in M$ y $n \in N$; nos gustaría encontrar un \modulo{A} $E$ a partir de $M \times N$ en el cual exista un homomorfismo de \modulo{A}s $b' : E \rightarrow O$ que se comporte como $b$. En resumen, queremos que para cada $\left( m, n \right)$ en $M \times N$ exista un elemento $m * n$ en $E$ de forma que $b'\left( m*n \right) = b\left( m, n \right)$. Esta es la motivación de la construcción del producto tensorial.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ y $N$ dos \modulo{A}s. Tomemos $E$ al \modulo{A} definido como $\bigoplus_{\substack{m \in M \\ n \in N}} A \cdot \vectorbasecanonica{m, n}$ donde \vectorbasecanonica{m, n} debe entenderse como la tupla $\left( m, n \right)$ sin ningún tipo de operación asociada, es decir, no debemos pensar que $\vectorbasecanonica{m, n} + \vectorbasecanonica{m', n'} = \vectorbasecanonica{m+m', n+n'}$ al igual que no pensamos que $\euno + \edos = \etres$. Ahora, consideremos dentro $E$ el \submodulo{A} $S$ definido por
\begin{equation*}
S = \engendrado{ \left.\begin{gathered}
\vectorbasecanonica{m + m', n} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m', n}, \quad
\vectorbasecanonica{m, n + n'} - \vectorbasecanonica{m, n} - \vectorbasecanonica{m, n'}, \\
\vectorbasecanonica{am, n} - a\vectorbasecanonica{m, n}, \quad
\vectorbasecanonica{m, an} - a\vectorbasecanonica{m, n}
\end{gathered} \right\rvert a \in A, m \in M, n \in N}.
\end{equation*}
Definimos el producto tensorial de $M$ por $N$ como $M \otimes N := \cociente{E}{S}$ y denotaremos a la clase de equivalencia de cada $\vectorbasecanonica{m, n}$ como $m \otimes n$.
\end{definicion}
\begin{ejemplo}
Quizás el ejemplo más natural sea el producto escalar. Así pues, tomemos la aplicación $\productoescalarantilambda{\bullet}{\bullet} : \reales^3 \times \reales^3 \rightarrow \reales$. En este caso, todo elemento de $\reales^3 \otimes \reales^3$ es de la siguiente forma ---entendiendo $S$ como en la definición de antes---:
\begin{equation}\label{Desglose Producto Tensorial}
\begin{aligned}
\vectortres{a}{b}{c} \otimes \vectortres{d}{e}{f} + S &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \otimes \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) + S \\
&= ad \euno\otimes\euno + ae\euno\otimes\edos + af\euno\otimes\etres + bd\edos\otimes\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\otimes\edos + bf\edos\otimes\etres + cd\etres\otimes\euno + ce\etres\otimes\edos + cf\etres\otimes\etres + S
\end{aligned}
\end{equation}
(De aquí en adelante omitiremos los <<$+S$>> o similares sumas por el \submodulo{A} que estemos haciendo el cociente.)
Vemos pues que \definicionconjunto{\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j}}{ i, j \in \conjunto{1, 2, 3}} es una base de $\reales^3 \otimes \reales^3$. Por lo tanto, para encontrar una aplicación lineal $\phi : \reales^3 \otimes \reales^3 \rightarrow \reales$ que coincida con el producto escalar debemos dar las imágenes de la base. En este caso,
\begin{equation*}
\phi\!\left(\vectorbasecanonica{i} \otimes \vectorbasecanonica{j} \right) = \productoescalarantilambda{\vectorbasecanonica{i}}{\vectorbasecanonica{j}} = \begin{cases}
1 &\text{si $i = j$;}\\
0 &\text{si $i \neq j$.}
\end{cases}
\end{equation*}
Si evaluamos esta aplicación lineal $f$ en el producto anterior veremos que, en efecto, nos devuelve el valor que queremos. Por lo tanto, gracias al producto tensorial hemos convertido una aplicación bilineal en una aplicación lineal a costa de tener un dominio algo más complicado.
\end{ejemplo}
Ahora supongamos que aquello en lo que queremos trabajar son aplicaciones bilineales alternadas, es decir, $b : M \times M \rightarrow N$ donde $b\!\left(m, m'\right) = -b\!\left( m', m \right)$. En esta situación tendremos que imponer que $m \otimes n = - n\otimes m$.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $M$ un \modulo{A}. Consideremos el \submodulo{A} $T$ de $M \otimes M$ definido como
\begin{equation*}
T = \engendrado{m \otimes m' - m' \otimes m \vert m, m' \in M}.
\end{equation*}
Definiremos el producto exterior de $M$ por $M$ como $M \wedge M := \cociente{\left( M \otimes M \right)}{T}$ y denotaremos la clase de equivalencia de cada $\left( m, m' \right)$ como $m \wedge m'$.
\end{definicion}
Nótese que ahora $m \wedge m = 0$.
\begin{ejemplo}
El ejemplo natural en el caso de aplicaciones bilineales alternadas es el producto vectorial $\bullet \times \bullet : \reales^3 \times \reales \rightarrow \reales^3$. Podemos aplicar el mismo proceso que en \eqref{Desglose Producto Tensorial}.
\begin{align*}
\vectortres{a}{b}{c} \wedge \vectortres{d}{e}{f} &= \left( a\euno + b\edos + c\etres \right) \wedge \left( d\euno + e\edos + f\etres \right) \\
&= ad \euno\wedge\euno + ae\euno\wedge\edos + af\euno\wedge\etres + bd\edos\wedge\euno \\ &\phantom{text} + be\edos\wedge\edos + bf\edos\wedge\etres + cd\etres\wedge\euno + ce\etres\wedge\edos + cf\etres\wedge\etres; \\
\intertext{suprimimos los elementos de la forma $\vectorbasecanonica{i} \wedge \vectorbasecanonica{i}$ y ponemos todas las parejas $\vectorbasecanonica{i} \wedge \vectorbasecanonica{j}$ de forma que $i < j$;}
&= ae\euno\wedge\edos + af\euno\wedge\etres - bd\euno\wedge\edos + bf\edos\wedge\etres - cd\euno\wedge\etres - ce\edos\wedge\etres \\
&= \left( ae - bd \right)\euno\wedge\edos + \left( af - cd \right)\euno\wedge\etres + \left( bf - ce \right)\edos\wedge\etres.
\end{align*}
Vemos por lo tanto que $\reales^3 \wedge \reales^3$ tiene como base $\left\lbrace \euno\wedge\edos, \euno\wedge\etres, \edos\wedge\etres \right\rbrace$ y las imágenes de estos son
\begin{equation*}
\phi\!\left( \euno\wedge\edos \right) = \euno \times \edos = \etres, \quad \phi\!\left( \euno\wedge\etres \right) = \euno \times \etres = -\edos \ \text{y} \ \phi\!\left( \edos\wedge\etres \right) = \edos \times \etres = \euno.
\end{equation*}
Vemos de nuevo que la aplicación $\phi$ es lineal y nos devuelve el producto vectorial.
\end{ejemplo}
Estas mismas ideas pueden extenderse a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} para construir productos como $\bigotimes^n M = M \otimes M \otimes \dots \otimes M$ y, consecuentemente a aplicaciones \nolbreaks{$n$-lineales} alternadas para construir $\bigwedge^n M := M \wedge M \wedge \dots \wedge M$.
Aunque pueda parecer que los productos exteriores hacen un espacio <<más grande>>, esto no tiene por qué ser así.
\begin{ejemplo}
Consideremos $\reales^3 \wedge \reales^3 \wedge \reales^3$. Los elementos son de la forma
\begin{align}
\vectortres{a}{b}{c} \wedge \vectortres{d}{e}{f} \wedge \vectortres{g}{h}{i} &= aei\euno\wedge\edos\wedge\etres + afh\euno\wedge\etres\wedge\edos + bdi\edos\wedge\euno\wedge\etres \nonumber \\
&\phantom{text} + bfg\edos\wedge\etres\wedge\euno + cdh\etres\wedge\euno\wedge\edos + ceg\etres\wedge\edos\wedge\euno; \nonumber \\
\intertext{donde podemos ver que, por ejemplo, $\edos\wedge\etres\wedge\euno = -\edos\wedge\euno\wedge\etres = \euno\wedge\edos\wedge\etres$ y así expresamos todos estos productos en términos de $\euno\wedge\edos\wedge\etres$;}
&= \left( aei + bfg + cdh - \left( ceg + afh + bdi \right) \right) \euno\wedge\edos\wedge\etres. \label{Producto Exterior Como Determinante}
\end{align}
Vemos, por lo tanto, que $\reales^3\wedge\reales^3\wedge\reales^3$ es en realidad $\reales\left( \euno\wedge\edos\wedge\etres \right)$, un espacio isomorfo a \reales.
\end{ejemplo}
Lo que ocurre en estos casos es que los distintos órdenes en los que pongamos los elementos de un producto exterior $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_k$ solo lo cambian en signo.
\begin{lema}
Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$. Entonces, $\dim \bigwedge^k V = \binom{n}{k}$.
\end{lema}
Por otro lado, podemos extender los homomorfismos de \modulo{A}s que ya conocemos a productos exteriores de una forma natural.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo, $M$ y $N$ dos \modulo{A}s y $\phi : M \rightarrow N$ un homomorfismo de \modulo{A}s. Definimos la aplicación $\bigwedge^k \phi: \bigwedge^k M \rightarrow \bigwedge^k N$ como sigue:
\begin{equation*}
m_1\wedge m_2 \wedge \dots \wedge m_k \longmapsto \phi\!\left( m_1 \right)\wedge \phi\!\left( m_2 \right) \wedge \dots \wedge \phi\!\left( m_k \right).
\end{equation*}
\end{definicion}
Un fenómeno relevante ocurre cuando tenemos dos espacios vectoriales $V$ y $W$ de la misma dimensión cada uno con una base \conjunto{v_1, v_2, \dots, v_n} y \conjunto{w_1, w_2, \dots, w_n} y una aplicación lineal $\phi : V \rightarrow W$ entre ellos. Escribiendo las coordenadas en función de estas bases, la aplicación lineal $\phi$ tiene asociada una matriz $P$ de forma que las coordenadas de la imagen de $v_i$ a través de $\phi$ son la \nolbreaks{$i$-ésima} columna de $P$. Ahora bien, $\wedge^n V$ y $\wedge^n W$ son espacios vectoriales de dimensión $1$ con base $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ y $w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n$, respectivamente. Por lo tanto, la aplicación $\nombrefuncionexterior{n}{\phi} : \bigwedge^n V \rightarrow \bigwedge^n W$ simplemente será multiplicar por un escalar. Evaluémosla en $v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n$ para ver exactamente cuál es. Pero antes, démonos cuenta de que en \eqref{Producto Exterior Como Determinante} la forma de simplificar construía el determinate, lo cual es cierto en general; por ende,
\begin{equation*}
\funcionexterior{n}{\phi}{v_1\wedge v_2\wedge \dots \wedge v_n} = P_1 \wedge P_2 \wedge \dots \wedge P_n = \left( \det P \right) w_1\wedge w_2\wedge \dots \wedge w_n.
\end{equation*}
\section{Demostración del Criterio de Saito}
A lo largo de esta demostración, utilizaremos fuertemente el hecho de que \derivaciones{f} es un \modulo{\Kx} reflexivo. Esto se debe a que podemos encontrar ciertas relaciones entre los módulos reflexivos y los módulos libres. Por un lado, tenemos la siguiente relación:
\begin{gather*}
\text{$M$ módulo libre} \xRightarrow{\text{\referenciamodomatematico{lema}{Lema Libre implica Proyectivo}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xRightarrow{\phantom{fd}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\text{$M$ módulo libre} \xLeftarrow[\text{Teorema de Quillen-Suslin}]{\text{si $M$ es un \modulo{\Kx}}} \text{$M$ módulo proyectivo} \xLeftarrow{\text{si $M$ es un \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}}} \text{$M$ módulo reflexivo} \\
\end{gather*}
\todo[inline]{¿Lo de que reflexivo implica proyectivo es si es un módulo de con como mucho dos variables o que es de rango 2? ¿Y la referencia dónde está?}
Gracias a estas implicaciones podemos asegurar que todo módulo libre es reflexivo. Sin embargo, solo podemos asegurar que los módulos reflexivos sean libres cuando son \modulo{\anillodepolinomios{K}{x, y}}, es decir, cuando admitan la estructura de módulo asociada a un anillo de polinomios en dos variables. Esto, por lo tanto, nos garantiza que \derivaciones{f} es siempre libre cuando $f \in \anillodepolinomios{K}{x,y}$.
En un módulo libre, la noción de rango es simplemente la cantidad de elementos que tiene la base. Pero como ya hemos visto a lo largo de este trabajo, hay módulos que no tienen por qué ser libres. Por ende, necesitamos generalizar la noción de rango para poder tratar con estos.
\begin{definicion}
Sea $A$ un anillo y $\sim$ la relación de equivalencia sobre $A\times \left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)$ dada por $\left( a, b \right) \sim \left( \alpha, \beta \right) \iff a\beta = \alpha b$. A la clase de equivalencia de $\left( a, b \right)$ la denotaremos $\frac{a}{b}$. El conjunto
\begin{equation*}
\cuerpofracciones{A} := \cociente{A\times \left( A \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace \right)}{\sim}
\end{equation*}
junto con las operaciones
\begin{equation*}
\frac{a}{b} + \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\beta + \alpha b}{b\beta} \quad \text{y} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{\alpha}{\beta} := \frac{a\alpha}{b\beta}
\end{equation*}
forma un cuerpo al cual llamaremos cuerpo de fracciones de $A$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
Sea $M$ un \modulo{A} finitamente generado. Diremos que $M$ tiene rango $r$ si $M \otimes \cuerpofracciones{A}$ es un \modulo{\cuerpofracciones{A}} libre de rango $r$.
\end{definicion}
En general, la cadena de implicaciones que nos serán útiles a lo largo de la demostración del Criterio de Saito serán las siguientes:
\begin{gather}
\left.\begin{aligned}
\left.\begin{aligned}
\text{$M$ módulo reflexivo} \xRightarrow{\text{\cite[\href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AV0}{Tag 0AV0}]{STACKS}}} \text{$M$ libre de torsión}& \\
\text{$M$ de rango 1}&
\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un ideal de $\Kx$}& \\
\text{$M$ es reflexivo}
\end{aligned}\right\rbrace \implies \text{$M$ es un módulo libre}
\end{gather}
\cite{SINGULAR}
\todo[inline]{Demostrar que Der R es reflexivo. Propiedades de los modulos reflexivos (libre implica proyectivo implica reflexivo y los conversos condicionados), reflexivo implica libre de torsión, etc como esquema.}

21
bibliografia.bib
View File

@ -12,6 +12,7 @@
shorthand = "CoCoA1",
author= "Martin Kreuzer and Lorenzo Robbiano",
title= "Computational Commutative Algebra 1",
edition= {1},
publisher= "Springer Berlin, Heidelberg",
year= "2000",
isbn= "978-3-540-67733-8",
@ -28,6 +29,26 @@
doi = {https://doi.org/10.1007/978-3-319-16721-3},
series = {Undergraduate Texts in Mathematics}
}
@Book{ALGEBRA,
shorthand = {Lang},
author = {Serge Lang},
title = {Algebra},
edition = {3},
publisher = {Springer New York},
year = {2002},
isbn = {978-0-387-95385-4},
doi = {https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0},
series = {Graduate Texts in Mathematics}}
@Book{LIBROPROYECTIVOS,
shorthand = {Lectures},
author = {T. Y. Lam},
title = {Lectures on Modules and Rings},
edition = {1},
publisher = {Springer New York},
year = {1998},
isbn = {978-0-387-98428-5},
doi = {https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0525-8},
series = {Graduate Texts in Mathematics}}
% El lugar donde se puede encontrar publicado el artículo de Saito es aquí: https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39646.
@article{SAITO,
shorthand = {Saito},