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Geometría algebraica¶
Considerar un sistema de ecuaciones polinómicas
$$f_1(x_1,\ldots,x_n)$$ $$f_2(x_1,\ldots,x_n)$$ $$\vdots$$ $$f_m(x_1,\ldots,x_m)$$
El conjunto $V$ de sus soluciones forman una variedad algebraica.
Problema general de la geometría algebraica¶
Estudiar la geometría de $V$ usando la estructura algebraica de las ecuaciones que la definen.
Nos vamos a restringir a los casos más fáciles:
- $m=1, n=2$ (curvas planas)
- $\mathbb{K}=\mathbb{C}$
Resultados clásicos conocidos¶
- Si la curva es lisa: teoría de las superficies de Riemann
- Superficies de género $g=\frac{d(d-1)}{2}$
Ejemplo: $y^2= 1-x^2$
La proyección sobre el eje $x$ es $2:1$ excepto cuando $1-x^2=0$
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